斜波产生的根源
普朗特 — 梅耶膨
胀波
斜激波关系式
流过尖楔与圆锥
的超音速流
激波干扰与反射
脱体激波
激波 -膨胀波理论及其在
超音速翼型中的应用
图 9.5 第九章路线图
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22
1
22
1
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M
M
(9.22)
(9.23)
方程 (9.23) 被称为 θ-β-M 关系式，它限定了 θ 为 M1和 β
的唯一函数。 这是分析斜激波特性的最重要的关系式，
其结果在图 9.7中给出（ γ=1.4）。
1、对于一个给定的波前马赫数，存在一个 θmax,θ <θmax存在
贴体直线斜激波； θ >θmax出现弯的脱体激波。
0
m a x 5.45lim
1
?
??
?
M
2、对应一个 θ值（ <θmax）,存在两个 β值 。 不同 M1对应的
θmax组成的连线上部分对应强解，下部分对应弱解。另外一
条稍低于 θmax连线的曲线为 M2=1的连线，上部分对应波后为
亚音速流情况，下部分对应波后为超音速流情况。
3,θ=00,对应 β=900 和 β=μ。
4,对于相同的 θ,波前马赫数 M1越大, 激波角 β越小, Mn1越
大，所以激波越强。
5,对于相同的波前马赫数 M1, θ越大, 激波角 β越大, Mn1越
大，所以激波越强。
9.3 SUPERSONIC FLOW OVER WEDGES AND CONES
流过尖楔和圆锥的超音速流
比较两个流动，共同之处是都有一个由头部开始的贴体直
斜激波．不同之处可归纳为如下三点,
（１）圆锥上的激波较弱
（２）圆锥表面的压强较小
（３）圆锥表面上方的流线是弯的,
原因：三维效应 （ three-dimensional relieving effect)
9.4 SHOCK INTERACTIONS AND REFLECTIONS
激波干扰与反射
如上图所示的斜激波在真实情况下有时会碰到固壁或与其它激
波、膨胀波相交，进而发生相互作用，这种现象称为激波的干
扰与反射。本节的目的就是要定性地讨论激波的干扰问题。
入射激波 (Incident shock wave),点 A处产生的斜激波
反射激波（ Reflected shock wave),入射激波打到水平壁面 B点，
不会自动消失，而是产生另外一个由 B点发出的斜激波，以保
证激波后流动满足流线与物面相切的边界条件。这个由 B点发
出的斜激波就是反射激波。
讨论,
?The strength of the reflected shock wave is weaker than the
incident shock,反射激波的强度比入射激波弱。
Why? Since the deflection angles are the same,whereas the
reflected shock sees a lower upstream Mach number,这是因
为对应相同的偏转角 θ，反射激波的 波前马赫数较小。
?The angle the reflected shock makes with the upper wall,Φ,is
not equals to β1; i.e.,the wave reflection is not specular,反射
激波与上壁面的夹角 Φ 不等于入射激波的激波角 β1，即反射
不是镜像反射。
? 反射激波后的流动特性以及反射波与上壁面的夹角 Φ可以由 M1
和 θ唯一确定。具体步骤如下,
1,由给定的 M1和 θ计算 2区的流动特性。特别是求出 M2的值。
2,由上一步求出的 M2和已知的 θ值计算区域 3的流动特性。
例 9.6 假设由 10o偏转角压缩而产生一斜激波。波前马赫数为 3.6，
气体压强和温度均为海平面标准状况。这个斜激波碰到在压缩角
上方的一直壁。此流动如图 9.17所示。计算反射激波与直壁的夹
角 Φ，反射激波之后的压强、温度和马赫数。
解：由 图 9.7，对于 M1=3.6,θ=10o,我们可查出, β1=24o。
因此,Mn,1=M1Sinβ1=3.6Sin24o=1.464
查附表 B，则得,
2 9 4.1 32.2 7 1 5 7.0
1
2
1
2
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1
2,
2 ????? ??
nMM
因此有,
至此，我们得到了入射激波之后的流动特性。即完成了步骤 1。
我们在上面求出的入射激波后的流动特性即为反射激波前的流
动条件。我们同时知道通过反射激波流动必须偏转 10度以满足
上壁面边界条件。由反射激波前马赫数 M2=2.96，偏转角
θ=10o,查 θ-β-M图（ 9.7图 )，可得 β2=27.3o。 由图 9.17可以看
出,
Φ=β2-θ=27.3o-10o=17.3o
同样，由反射激波前的法向马赫数分量 Mn,2=M2Sinβ2=1.358,查
附表 B可得,
7572.0 229.1 991.1 3,
2
3
2
3 ???
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因此有,55.2
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7 5 7 2.0
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3 ????? ??
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对于海平面标准大气条件,p1=1atm,T1=288K,因此有,
458)288)(294.1)(229.1(
62.4)1)(32.2)(991.1(
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激波反射与干扰多种多样，在本节中我们给出如下几种常见
类型,
?马赫反射（ Mach Reflection)
在给定偏转角 θ的条件下，假设 M1稍稍大于能在压缩拐角
处产生直的斜激波所需要的最小马赫数值，这时，在角点处
会存在一个直的入射斜激波。然而，我们知道通过激波马赫
数下降，即 M2<M1,这一下降会使 M2小于使气流通过直的反
射激波偏转 θ角度所需的最小马赫数。在这种情况下，我们由
斜激波理论可知没有直的反射激波存在。图 9.17所示的常规反
射将不可能出现。实际发生的情形如图 9.18所示，由角点发出
的直入射斜激波在上壁面附近弯曲，并在上壁面变成一正激
波。这个正激波保证了上壁面处的壁面边界条件。另外，由
正激波上分支出一个弯的反射激波向下游传播。如图 9.18所示
的这种波型，称为 马赫反射 。
反射波后的特性没有理论方法求解，可采用数值解法求解。
马赫反射图示
?右行、左行激波干扰 (Intescetion of right- and left-running
shock waves)
A:左行波
B:右行波
EF:滑移线
C:激波 B的折射波
D:激波 A的折射波
折射,Refracted
滑移线,Slip line
滑移线,
滑移线将 4和 4’ 区分开，通过滑移线压强不变，,速度
的方向相同,平行于滑移线，但大小不一定相同。所有其它特性
均不相同，特别是熵不相等,。
*由滑移线处的条件以及已知的 M1,θ 1,θ 2 可以唯一确定如图 9.19
的激波干扰问题。
44 'pp ?
44 'ss ?
? 两左行激波干扰
两同向激波相交形成一更强的激波 CD,同时伴随一个弱反
射波 CE。这一反射波是必须的，以调节保证滑移线 CF分
开的 4区和 5区速度方向相同 。
9.5 DTACHED SHOCK WAVE IN FRONT OF A BLUNT BODY
钝头体前的脱体激波
Shock detachment distance,激波脱体距离； Sonic line:音速线
在图 9.21中，点 a处激波与来流垂直。离开点 a,激波逐渐变弯变
弱，最后在远离物体的地方变为马赫波（图 9.21中的 e点）。
A curved bow shock wave is one of the instances in nature when
you can observe all possible oblique shock solutions at once for a
given freestream Mach number,M1,This takes place between
points a to e,弯曲弓形激波是可让你观察到在同一来流马赫数下
所有 可能的斜激波解的例子之一。对应由 a 至 e之间的各点,
a-c,对应强解；
c,对应最大偏转角 θmax 点。
c-c’,对应波后马赫数小于 1的弱解。
c’,对应激波之后气流速度为音速的点。
c’-e,对应激波之后马赫数大于 1的弱解。
弓形激波与钝头体之间的流动为超音速流和亚音速流的混合
区。亚音速区与超音速区的分界线被称为音速线。
脱体激波的形状，激波脱体距离 δ，以及整个流场的解由来流
马赫数，钝头体的尺寸与形状确定。采用数值求解技术可以
得到该流场的解。
9.6 PRANDTL-MEYER EXPANSION WAVES
普朗特 -梅耶膨胀波
特别要注意：膨胀过程是一个等熵过程。
要解决的问题是：已知上游马赫数 M1及其它流动特性 (区域 1），
求通过偏转角 θ膨胀后的下游（区域 2）的特性。
考虑一个以无限小的偏转 dθ 引起的非常弱的波，如上图所示。这
个波实际上就是与上游速度夹角为 μ的马赫波。我们前面已经证明
了通过斜波波前波后的切向速度分量保持不变。所以将波前速度 的
大小与方向用 AB矢量线段表示画在波后，就与表示波后速度大小
和方向的 AC矢量线段构成一个三角形 ABC。三个内角的大小如图
所示。 注意,波前波后切向速度分量不变保证了 CB垂直于马赫波。
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1
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(9.24)
对 ΔABC应用正弦定理,
(9.25)
(9.26)
(9.27)
(9.28)
对于无限小的 dθ,Sin dθ≈dθ,Cosdθ≈1,所以有,
????????? 3211 1 xxxx
??????? ?? t a n11 dVdV
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tppD )(' 32 ??
因为,
所以,(9.29)
(9.30)
(9.31)
V
dVMd 12 ???
(9.32)
Equation (9.23) relates the infinitesimal change in velocity,dV,
to the infinitesimal deflection across a wave of vanishing
strength,In the precise limit of a Mach wave,of course dV and
hence are zero,In this case,Eq,(9.32) is an approximate
equation for a finite,but it becomes a true equality
as, Since the expansion fan illustrated in Figs,9.1b and
9.23 is a region of an infinite number of Mach waves,Eq,(9.32)
is a differential equation which precisely describes the flow
inside the expansion wave,
方程 (9.32)式将无限小的速度变化 dV与通过无限弱强度波的气
流偏转角 相联系。在对应精确马赫波的情况下,dV=0,因
此 。 (9.32)式对于有限值 是一个近似方程，而当
时，是一个精确等式。由于图 9.1b 和 9.23 中的扇形膨胀波是
由无穷多个马赫波组成，因此,(9.32)式是一个精确描述膨胀
波内部变化的微分方程。
?d
?d
?d
?d
0??d
0??d ?d 0??d
?? ??? 21 120 MM VdVMd ???
参照图 9.23,将 (9.32)式从偏角为零，马赫数为 M1的区域 1，积分
到偏角为 θ，马赫数为 M2的区域 2,
V
dVMd 12 ???
(9.32)
(9.33)
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2
0
2
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a
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M
dM
V
dV ??
为积分（ 9.33)式，我们必须将 dV/V 用马赫数 M表示,
因为,
所以,
因为,
所以,
（ 9.34)
（ 9.35)
（ 9.36)
（ 9.37)
（ 9.38)
（ 9.39)
? ?? ?? 21 2
2
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1M
M M
dM
M
M
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将 (9.39)式代入到（ 9.33)式，得到,
（ 9.40)
? ?? ?? MdMMMM 2
2
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1t a n)1(11t a n11)( 2121 ???????? ?? MMM ?????
（ 9.41)
被称为 Prandtl-Meyer函数，其具体表达式如下,)(M?
（ 9.42)
因此，（ 9.40)的积分可以表示为,
)()( 12 MM ??? ?? （ 9.43)
)()( 12 MM ??? ??
（ 9.43)
is given by Eq,(9.42) for a calorically perfect gas,
The Prandtl-Meyer function is very important; it is the
key to calculation of changes across an expansion wave,
Because of its importance,is tabulated as a function of M
in App,C,For convenience,values of are also
tabulated in App.C,
对于量热完全气体,由 (9.42)式给定。 Prandtl-Meyer
函数 非常重要，它是计算通过膨胀波气体特性变化的
关键；由于其重要性,作为马赫数 M的函数在附录 C中
以列表形式给出。同时马赫角 作为 M的函数也在附录 C
中给出。
)(M?
?
?
)(M?
?
?
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2
2
2
1
1,01
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M
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pp
pp
p
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下面我们应用以上结果给出求解图 9.23
所示问题的具体步骤,
1.对于给定 M1，由附录 C查得 。
2.由 计算 。
3.根据第 2步计算出的,查附录
C得到 M2。
4.因为膨胀波是等熵的，因此 p0和 T0通过膨胀波保持不变。即
T0,1=T0,2,p0,1=p0,2。由 (8.40)式,(8.42)式，我们有
（ 9.44）
（ 9.45）
)( 1M?
??? ?? )()( 12 MM )( 2M?
)( 2M?
例 9.7 马赫数、压强、温度分别为 1.5,1atm,288K的超音速气流流
过如图 9.23偏转角为 15o的凸角，计算 M2,T2,p0,2,T0,2以及前马
赫波及后马赫波与上游来流的夹角。
解,
1.对于给定 M1=1.5，查附录 C得 。
2.由 (9.43)式计算得 。
3.由 查附录 C得到 M2=2.0。 (近似）
4.由附录 A,对应 M1=1.5，有 p0,1/p1=3.671,T0,1/T1=1.45
对应 M2=2.0，有 p0,2/p2=7.824,T0,2/T2=1.8
因为流动是等熵的，所以 T0,2=T0,1,p0,2=p0,1
所以,
01 91.11??
012 91.261591.11 ????? ???
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1
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前马赫波与上游来流夹角 =
后马赫波与上游来流夹角 =
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1 81.415.1
1a r c s in ???
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2 15150.2
1a r c s i n ???? ??
普朗特 — 梅耶膨
胀波
斜激波关系式
流过尖楔与圆锥
的超音速流
激波干扰与反射
脱体激波
激波 -膨胀波理论及其在
超音速翼型中的应用
图 9.5 第九章路线图
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1
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1
s i n)1(
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(9.22)
(9.23)
方程 (9.23) 被称为 θ-β-M 关系式，它限定了 θ 为 M1和 β
的唯一函数。 这是分析斜激波特性的最重要的关系式，
其结果在图 9.7中给出（ γ=1.4）。
1、对于一个给定的波前马赫数，存在一个 θmax,θ <θmax存在
贴体直线斜激波； θ >θmax出现弯的脱体激波。
0
m a x 5.45lim
1
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M
2、对应一个 θ值（ <θmax）,存在两个 β值 。 不同 M1对应的
θmax组成的连线上部分对应强解，下部分对应弱解。另外一
条稍低于 θmax连线的曲线为 M2=1的连线，上部分对应波后为
亚音速流情况，下部分对应波后为超音速流情况。
3,θ=00,对应 β=900 和 β=μ。
4,对于相同的 θ,波前马赫数 M1越大, 激波角 β越小, Mn1越
大，所以激波越强。
5,对于相同的波前马赫数 M1, θ越大, 激波角 β越大, Mn1越
大，所以激波越强。
9.3 SUPERSONIC FLOW OVER WEDGES AND CONES
流过尖楔和圆锥的超音速流
比较两个流动，共同之处是都有一个由头部开始的贴体直
斜激波．不同之处可归纳为如下三点,
（１）圆锥上的激波较弱
（２）圆锥表面的压强较小
（３）圆锥表面上方的流线是弯的,
原因：三维效应 （ three-dimensional relieving effect)
9.4 SHOCK INTERACTIONS AND REFLECTIONS
激波干扰与反射
如上图所示的斜激波在真实情况下有时会碰到固壁或与其它激
波、膨胀波相交，进而发生相互作用，这种现象称为激波的干
扰与反射。本节的目的就是要定性地讨论激波的干扰问题。
入射激波 (Incident shock wave),点 A处产生的斜激波
反射激波（ Reflected shock wave),入射激波打到水平壁面 B点，
不会自动消失，而是产生另外一个由 B点发出的斜激波，以保
证激波后流动满足流线与物面相切的边界条件。这个由 B点发
出的斜激波就是反射激波。
讨论,
?The strength of the reflected shock wave is weaker than the
incident shock,反射激波的强度比入射激波弱。
Why? Since the deflection angles are the same,whereas the
reflected shock sees a lower upstream Mach number,这是因
为对应相同的偏转角 θ，反射激波的 波前马赫数较小。
?The angle the reflected shock makes with the upper wall,Φ,is
not equals to β1; i.e.,the wave reflection is not specular,反射
激波与上壁面的夹角 Φ 不等于入射激波的激波角 β1，即反射
不是镜像反射。
? 反射激波后的流动特性以及反射波与上壁面的夹角 Φ可以由 M1
和 θ唯一确定。具体步骤如下,
1,由给定的 M1和 θ计算 2区的流动特性。特别是求出 M2的值。
2,由上一步求出的 M2和已知的 θ值计算区域 3的流动特性。
例 9.6 假设由 10o偏转角压缩而产生一斜激波。波前马赫数为 3.6，
气体压强和温度均为海平面标准状况。这个斜激波碰到在压缩角
上方的一直壁。此流动如图 9.17所示。计算反射激波与直壁的夹
角 Φ，反射激波之后的压强、温度和马赫数。
解：由 图 9.7，对于 M1=3.6,θ=10o,我们可查出, β1=24o。
因此,Mn,1=M1Sinβ1=3.6Sin24o=1.464
查附表 B，则得,
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至此，我们得到了入射激波之后的流动特性。即完成了步骤 1。
我们在上面求出的入射激波后的流动特性即为反射激波前的流
动条件。我们同时知道通过反射激波流动必须偏转 10度以满足
上壁面边界条件。由反射激波前马赫数 M2=2.96，偏转角
θ=10o,查 θ-β-M图（ 9.7图 )，可得 β2=27.3o。 由图 9.17可以看
出,
Φ=β2-θ=27.3o-10o=17.3o
同样，由反射激波前的法向马赫数分量 Mn,2=M2Sinβ2=1.358,查
附表 B可得,
7572.0 229.1 991.1 3,
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对于海平面标准大气条件,p1=1atm,T1=288K,因此有,
458)288)(294.1)(229.1(
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激波反射与干扰多种多样，在本节中我们给出如下几种常见
类型,
?马赫反射（ Mach Reflection)
在给定偏转角 θ的条件下，假设 M1稍稍大于能在压缩拐角
处产生直的斜激波所需要的最小马赫数值，这时，在角点处
会存在一个直的入射斜激波。然而，我们知道通过激波马赫
数下降，即 M2<M1,这一下降会使 M2小于使气流通过直的反
射激波偏转 θ角度所需的最小马赫数。在这种情况下，我们由
斜激波理论可知没有直的反射激波存在。图 9.17所示的常规反
射将不可能出现。实际发生的情形如图 9.18所示，由角点发出
的直入射斜激波在上壁面附近弯曲，并在上壁面变成一正激
波。这个正激波保证了上壁面处的壁面边界条件。另外，由
正激波上分支出一个弯的反射激波向下游传播。如图 9.18所示
的这种波型，称为 马赫反射 。
反射波后的特性没有理论方法求解，可采用数值解法求解。
马赫反射图示
?右行、左行激波干扰 (Intescetion of right- and left-running
shock waves)
A:左行波
B:右行波
EF:滑移线
C:激波 B的折射波
D:激波 A的折射波
折射,Refracted
滑移线,Slip line
滑移线,
滑移线将 4和 4’ 区分开，通过滑移线压强不变，,速度
的方向相同,平行于滑移线，但大小不一定相同。所有其它特性
均不相同，特别是熵不相等,。
*由滑移线处的条件以及已知的 M1,θ 1,θ 2 可以唯一确定如图 9.19
的激波干扰问题。
44 'pp ?
44 'ss ?
? 两左行激波干扰
两同向激波相交形成一更强的激波 CD,同时伴随一个弱反
射波 CE。这一反射波是必须的，以调节保证滑移线 CF分
开的 4区和 5区速度方向相同 。
9.5 DTACHED SHOCK WAVE IN FRONT OF A BLUNT BODY
钝头体前的脱体激波
Shock detachment distance,激波脱体距离； Sonic line:音速线
在图 9.21中，点 a处激波与来流垂直。离开点 a,激波逐渐变弯变
弱，最后在远离物体的地方变为马赫波（图 9.21中的 e点）。
A curved bow shock wave is one of the instances in nature when
you can observe all possible oblique shock solutions at once for a
given freestream Mach number,M1,This takes place between
points a to e,弯曲弓形激波是可让你观察到在同一来流马赫数下
所有 可能的斜激波解的例子之一。对应由 a 至 e之间的各点,
a-c,对应强解；
c,对应最大偏转角 θmax 点。
c-c’,对应波后马赫数小于 1的弱解。
c’,对应激波之后气流速度为音速的点。
c’-e,对应激波之后马赫数大于 1的弱解。
弓形激波与钝头体之间的流动为超音速流和亚音速流的混合
区。亚音速区与超音速区的分界线被称为音速线。
脱体激波的形状，激波脱体距离 δ，以及整个流场的解由来流
马赫数，钝头体的尺寸与形状确定。采用数值求解技术可以
得到该流场的解。
9.6 PRANDTL-MEYER EXPANSION WAVES
普朗特 -梅耶膨胀波
特别要注意：膨胀过程是一个等熵过程。
要解决的问题是：已知上游马赫数 M1及其它流动特性 (区域 1），
求通过偏转角 θ膨胀后的下游（区域 2）的特性。
考虑一个以无限小的偏转 dθ 引起的非常弱的波，如上图所示。这
个波实际上就是与上游速度夹角为 μ的马赫波。我们前面已经证明
了通过斜波波前波后的切向速度分量保持不变。所以将波前速度 的
大小与方向用 AB矢量线段表示画在波后，就与表示波后速度大小
和方向的 AC矢量线段构成一个三角形 ABC。三个内角的大小如图
所示。 注意,波前波后切向速度分量不变保证了 CB垂直于马赫波。
)2/s in (
)2/s in (
???
??
dV
dVV
??
???
????? c o s)2s i n ()2s i n ( ????
????????? dddd s i ns i nc o sc o s)c o s ()2s i n ( ??????
????
?
ddV
dV
s ins inc o sc o s
c o s1
???
?????
?
t a n1
1
s inc o s
c o s1
ddV
dV
?????
(9.24)
对 ΔABC应用正弦定理,
(9.25)
(9.26)
(9.27)
(9.28)
对于无限小的 dθ,Sin dθ≈dθ,Cosdθ≈1,所以有,
????????? 3211 1 xxxx
??????? ?? t a n11 dVdV
?? t a n
/ VdVd ?
1
1t a n
2 ?? M?
cppR )(' 23 ??
?co s)(' 23 cppL ??
?s in)(' 23 cppD ??
2)(2)s i ns i n(2' 3232 tpplplpD ???? ??
tppD )(' 32 ??
因为,
所以,(9.29)
(9.30)
(9.31)
V
dVMd 12 ???
(9.32)
Equation (9.23) relates the infinitesimal change in velocity,dV,
to the infinitesimal deflection across a wave of vanishing
strength,In the precise limit of a Mach wave,of course dV and
hence are zero,In this case,Eq,(9.32) is an approximate
equation for a finite,but it becomes a true equality
as, Since the expansion fan illustrated in Figs,9.1b and
9.23 is a region of an infinite number of Mach waves,Eq,(9.32)
is a differential equation which precisely describes the flow
inside the expansion wave,
方程 (9.32)式将无限小的速度变化 dV与通过无限弱强度波的气
流偏转角 相联系。在对应精确马赫波的情况下,dV=0,因
此 。 (9.32)式对于有限值 是一个近似方程，而当
时，是一个精确等式。由于图 9.1b 和 9.23 中的扇形膨胀波是
由无穷多个马赫波组成，因此,(9.32)式是一个精确描述膨胀
波内部变化的微分方程。
?d
?d
?d
?d
0??d
0??d ?d 0??d
?? ??? 21 120 MM VdVMd ???
参照图 9.23,将 (9.32)式从偏角为零，马赫数为 M1的区域 1，积分
到偏角为 θ，马赫数为 M2的区域 2,
V
dVMd 12 ???
(9.32)
(9.33)
20
2
0
2
11 M
T
T
a
a ?????
?
??
?
? ?
2
1
2
0 )2
11( ???? Maa ?
dMMMada 12 )2 11(2 1 ????
?
??
?
? ??? ??
M
dM
MV
dV
2)]1[(1
1
??? ?
MaV ?
aMV lnlnln ??
a
da
M
dM
V
dV ??
为积分（ 9.33)式，我们必须将 dV/V 用马赫数 M表示,
因为,
所以,
因为,
所以,
（ 9.34)
（ 9.35)
（ 9.36)
（ 9.37)
（ 9.38)
（ 9.39)
? ?? ?? 21 2
2
]2/)1[(1
1M
M M
dM
M
M
??
将 (9.39)式代入到（ 9.33)式，得到,
（ 9.40)
? ?? ?? MdMMMM 2
2
]2/)1[(1
1)(
??
1t a n)1(11t a n11)( 2121 ???????? ?? MMM ?????
（ 9.41)
被称为 Prandtl-Meyer函数，其具体表达式如下,)(M?
（ 9.42)
因此，（ 9.40)的积分可以表示为,
)()( 12 MM ??? ?? （ 9.43)
)()( 12 MM ??? ??
（ 9.43)
is given by Eq,(9.42) for a calorically perfect gas,
The Prandtl-Meyer function is very important; it is the
key to calculation of changes across an expansion wave,
Because of its importance,is tabulated as a function of M
in App,C,For convenience,values of are also
tabulated in App.C,
对于量热完全气体,由 (9.42)式给定。 Prandtl-Meyer
函数 非常重要，它是计算通过膨胀波气体特性变化的
关键；由于其重要性,作为马赫数 M的函数在附录 C中
以列表形式给出。同时马赫角 作为 M的函数也在附录 C
中给出。
)(M?
?
?
)(M?
?
?
?
2
2
2
1
1,01
2,02
1
2
]2/)1[(1
]2/)1[(1
/
/
M
M
TT
TT
T
T
??
????
?
?
)1/(
2
2
2
1
1,01
2,02
1
2
]2/)1[(1
]2/)1[(1
/
/ ?
???
?
???
?
??
???? ??
?
?
M
M
pp
pp
p
p
下面我们应用以上结果给出求解图 9.23
所示问题的具体步骤,
1.对于给定 M1，由附录 C查得 。
2.由 计算 。
3.根据第 2步计算出的,查附录
C得到 M2。
4.因为膨胀波是等熵的，因此 p0和 T0通过膨胀波保持不变。即
T0,1=T0,2,p0,1=p0,2。由 (8.40)式,(8.42)式，我们有
（ 9.44）
（ 9.45）
)( 1M?
??? ?? )()( 12 MM )( 2M?
)( 2M?
例 9.7 马赫数、压强、温度分别为 1.5,1atm,288K的超音速气流流
过如图 9.23偏转角为 15o的凸角，计算 M2,T2,p0,2,T0,2以及前马
赫波及后马赫波与上游来流的夹角。
解,
1.对于给定 M1=1.5，查附录 C得 。
2.由 (9.43)式计算得 。
3.由 查附录 C得到 M2=2.0。 (近似）
4.由附录 A,对应 M1=1.5，有 p0,1/p1=3.671,T0,1/T1=1.45
对应 M2=2.0，有 p0,2/p2=7.824,T0,2/T2=1.8
因为流动是等熵的，所以 T0,2=T0,1,p0,2=p0,1
所以,
01 91.11??
012 91.261591.11 ????? ???
02 91.26??
a tm.
a tmp
p
p
p
p
p
p
p
4690
)1)(671.93)1(
824.7
1
1
1
1,0
1,0
2,0
2,0
2
2
?
????
K
KT
T
T
T
T
T
T
T
2 3 2
)2 8 8)(45.1)(1(
8.1
1
1
1
1,0
1,0
2,0
2,0
2
2
?
????
KKT
T
T
TT
a tmp
p
p
pp
7.4 1 6)2 8 8(45.1
6 7 1.3
1
1
1,0
1,02,0
1
1
1,0
1,02,0
????
???
前马赫波与上游来流夹角 =
后马赫波与上游来流夹角 =
0
1 81.415.1
1a r c s in ???
00
2 15150.2
1a r c s i n ???? ??
