斜波产生的根源
普朗特 — 梅耶膨
胀波
斜激波关系式
流过尖楔与圆锥
的超音速流
激波干扰与反射
脱体激波
激波 -膨胀波理论及其在
超音速翼型中的应用
图 9.5 第九章路线图
入射激波 (Incident shock wave),点 A处产生的斜激波
反射激波（ Reflected shock wave),入射激波打到水平壁面 B点，
不会自动消失，而是产生另外一个由 B点发出的斜激波，以保
证激波后流动满足流线与物面相切的边界条件。这个由 B点发
出的斜激波就是反射激波。
激波反射与干扰多种多样，在本节中我们给出如下几种常见
类型,
?马赫反射（ Mach Reflection)
在给定偏转角 θ的条件下，假设 M1稍稍大于能在压缩拐角
处产生直的斜激波所需要的最小马赫数值，这时，在角点处
会存在一个直的入射斜激波。然而，我们知道通过激波马赫
数下降，即 M2<M1,这一下降会使 M2小于使气流通过直的反
射激波偏转 θ角度所需的最小马赫数。在这种情况下，我们由
斜激波理论可知没有直的反射激波存在。图 9.17所示的常规反
射将不可能出现。实际发生的情形如图 9.18所示，由角点发出
的直入射斜激波在上壁面附近弯曲，并在上壁面变成一正激
波。这个正激波保证了上壁面处的壁面边界条件。另外，由
正激波上分支出一个弯的反射激波向下游传播。如图 9.18所示
的这种波型，称为 马赫反射 。
反射波后的特性没有理论方法求解，可采用数值解法求解。
马赫反射图示
?右行、左行激波干扰 (Intescetion of right- and left-running
shock waves)
A:左行波
B:右行波
EF:滑移线
C:激波 B的折射波
D:激波 A的折射波
折射,Refracted
滑移线,Slip line
? 两左行激波干扰
两同向激波相交形成一更强的激波 CD,同时伴随一个弱反
射波 CE。这一反射波是必须的，以调节保证滑移线 CF分
开的 4区和 5区速度方向相同 。
9.5 DTACHED SHOCK WAVE IN FRONT OF A BLUNT BODY
钝头体前的脱体激波
Shock detachment distance,激波脱体距离； Sonic line:音速线
特别要注意：膨胀过程是一个 等熵 过程。
要解决的问题是：已知上游马赫数 M1及其它流动特性 (区域 1），
求通过偏转角 θ膨胀后的下游（区域 2）的特性。
9.6 PRANDTL-MEYER EXPANSION WAVES
普朗特 -梅耶膨胀波
考虑一个以无限小的偏转 dθ 引起的非常弱的波，如上图所示。这
个波实际上就是与上游速度夹角为 μ的马赫波。我们前面已经证明
了通过斜波波前波后的切向速度分量保持不变。所以将波前速度 的
大小与方向用 AB矢量线段表示画在波后，就与表示波后速度大小
和方向的 AC矢量线段构成一个三角形 ABC。三个内角的大小如图
所示。 注意,波前波后切向速度分量不变保证了 CB垂直于马赫波。
?? ??? 21 120 MM VdVMd ???
参照图 9.23,将 (9.32)式从偏角为零，马赫数为 M1的区域 1，积分
到偏角为 θ，马赫数为 M2的区域 2,
V
dVMd 12 ???
(9.32)
(9.33)
? ?? ?? 21 2
2
]2/)1[(1
1M
M M
dM
M
M
??
将 (9.39)式代入到（ 9.33)式，得到,
（ 9.40)
? ?? ?? MdMMMM 2
2
]2/)1[(1
1)(
??
1t a n)1(11t a n11)( 2121 ???????? ?? MMM ?????
（ 9.41)
被称为 Prandtl-Meyer函数，其具体表达式如下,)(M?
（ 9.42)
因此，（ 9.40)的积分可以表示为,
)()( 12 MM ??? ?? （ 9.43)
)()( 12 MM ??? ??
（ 9.43)
is given by Eq,(9.42) for a calorically perfect gas,
The Prandtl-Meyer function is very important; it is the
key to calculation of changes across an expansion wave,
Because of its importance,is tabulated as a function of M
in App,C,For convenience,values of are also
tabulated in App.C,
对于量热完全气体,由 (9.42)式给定。 Prandtl-Meyer
函数 非常重要，它是计算通过膨胀波气体特性变化的
关键；由于其重要性,作为马赫数 M的函数在附录 C中
以列表形式给出。同时马赫角 作为 M的函数也在附录 C
中给出。
)(M?
?
?
)(M?
?
?
?
2
2
2
1
1,01
2,02
1
2
]2/)1[(1
]2/)1[(1
/
/
M
M
TT
TT
T
T
??
????
?
?
)1/(
2
2
2
1
1,01
2,02
1
2
]2/)1[(1
]2/)1[(1
/
/ ?
???
?
???
?
??
???? ??
?
?
M
M
pp
pp
p
p
下面我们应用以上结果给出求解图 9.23
所示问题的具体步骤,
1.对于给定 M1，由附录 C查得 。
2.由 计算 。
3.根据第 2步计算出的,查附录
C得到 M2。
4.因为膨胀波是等熵的，因此 p0和 T0通过膨胀波保持不变。即
T0,1=T0,2,p0,1=p0,2。由 (8.40)式,(8.42)式，我们有
（ 9.44）
（ 9.45）
)( 1M?
??? ?? )()( 12 MM )( 2M?
)( 2M?
9.7 SHOCK-EXPANSION THEORY,
APPLICATIONS TO SUPERSONIC AIRFOILS
激波 —— 膨胀波理论及其对超音速翼型的应用
例 1 平板翼型,
?
?
s in)('
c o s)('
)('
23
23
23
???
???
??
cppD
cppL
cppR
(9.46)
(9.47)
(9.48)
(9.46)-(9.48)式中,p3 由斜激波特性计算而得,p2由膨胀
波特性计算而得。象这样由 激波 -膨胀波理论 (shock-
expansion theory)计算得到解是精确解。
图 9.26中,平板翼型上表面为前缘处膨胀波后的压强 p2,
下表面为前缘处斜激波后的压强 p3,p3 >p2，因此平板翼
型受到合力 R’的作用，可分解为升力 L’和阻力 D’,
?什么情况下可以利用激波 -膨胀波理论来求解翼型的气
动特性？
Whenever we have a body made up of straight-line
segments and the deflection angles are small enough so
that no detached shock waves occur,the flow over the
body goes through a series of distinct oblique shock and
expansion waves,and the pressure distribution on the
surface (hence the lift and drag) can be obtained exactly
from both the shock- and expansion wave theories
discussed in this chapter,只要翼型是由直线段组成的，
且流动偏转角足够小能保证没有脱体激波出现，那么
绕翼型的超音速流动就是由一系列斜激波、膨胀波组
成的，因此，我们可以应用激波 -膨胀波理论精确地求
解翼型表面的压力分布进而翼型的升力和阻力。
例 2：对称菱形翼型（ Diamond-shape airfoil)
受力分析,a,c面压强均匀相等，用表示 p2，为压缩偏转角为
ε 的斜激波后的压强； b,d面压强均匀相等,用 p3表示,为膨胀
偏转角为 2ε的膨胀波后的压强。
因为流动是上下 对称的，所以 L’=0；而由于 p2>p3,所以会
有阻力分量 D’。
2
)(2)s i ns i n(2' 3232 tpplplpD ???? ??
tppD )(' 32 ??
即,（ 9.49)
(9.49)式中,p2 由斜激波特性计算而得,p3由膨胀波特性
计算而得。而且这些压强是超音速无粘流绕菱形翼型的
精确值。
计算翼型气动力的一般公式复习,
?? s in'c o s'' ANL ??
（ 1.1)
?? c o s's in'' AND ??
（ 1.2)
ll
TE
LE luu
TE
LE u dspdspN )s i nc o s()s i nc o s(' ?????? ????? ??
（ 1.7)
ll
TE
LE luu
TE
LE u dspdspA )c o ss i n()c o ss i n(' ?????? ????? ??
（ 1.8)
讨论,
这一节的结果说明了无粘、超音速流动的一个非常
重要的特征。由（ 9.48)式和 (9.49)式可以看出,二维
翼型在超音速流中将受到一定的阻力 。这和我们在
第 3,4章中讨论的低速不可压缩流动绕二维物体阻
力为零的结果恰恰相反。
在超音速流中，二维物体要受到的阻力的作用，这
一阻力被称为 波阻 。降低波阻是超音速翼型设计中
的一个重要考虑因素。波阻的存在在本质上与翼型
产生的激波有关，即与通过激波的熵增和总压损失
有关。
在同样来流马赫数下，翼型的厚度越大，其零升波
阻越大。
例 9.8 计算来流马赫数为 3，迎角为 5o的平板翼型的升
力系数和阻力系数。
解,
根据图 9.26,首先计算上表面的 p2/p1,由 M1=3,查附表
C，得 。由 及,
得 ；查附表 C得 M2=3.27。
所以,
其中,p0,1/p1 与 p0,2/p2均由附表 A查得。
01 76.49?? ??? ?? 12 ?? ?
02 76.54??
668.0
55
73.36
2
2,0
1
1,0
1
2 ???
p
p
p
p
p
p
第二步，计算下表面的 p3/p1。由图 9.7可知，对于
M1=3，,β=23.10,因此
查附表 B，对于 Mn,1=1.177,p3/p1=1.458。
05?? ??
177.11.23s i n3s i n 011,??? ?MM n
?co s)(' 23 ??? cppL
1 2 5.05c o s)6 6 8.04 5 8.1(
3)4.1(
2
c o s)(
2
2
''
0
2
1
2
1
3
2
1
2
11
1
??
?
?
???? ?
?? p
p
p
p
M
cMp
L
Sq
L
c
l
?s i n)(' 23 ??? cppD
0 1 1.05s in)6 6 8.04 5 8.1(
3)4.1(
2
s in)(
2
2
''
0
2
1
2
1
3
2
1
2
11
1
??
?
?
???? ?
?? p
p
p
p
M
cMp
D
Sq
D
c
d
本例的阻力系数还可利用下面关系简便求解,
?t a n?
l
d
c
c
011.05t a n125.0t a n 0 ??? ?ld cc
因此,
习题 9.7
半顶角为 30.2。 的尖楔放入 和
的自由流中。 Pitot管放在尖楔上表面的激波后面，计算
Pitot管所测得的压强的大小?
解,
由 图
可知：,
5.3??M
M?? ??
?48??
60.248s i n11 ??? ?MM n
? ? ? ?
6 4 8.1
2.3048s in
5 0 3 9.0
s in
5 0 3 9.0,4 6 0 1.0
2
2
2
0
02
?
?
?
?
?
??
?
??
??
n
n
M
M
M
p
p由附录 A.2得,
查附录 A.2得,
当 M=3.5时，查表 A.1,
则,
876.0,648.1
02
03
2 ?? p
pM
27.760 ?
?
?
p
p
03p
a tm
p
p
p
p
p
p
p
p
37.15
)5.0)(27.76)( 4601.0)(876.0(
0
0
02
02
03
03
?
?
?
?
?
?
?
习题 9.14 考虑一个如图 9.27所示的对称菱形翼型，半顶角 为
10。,翼型攻角 为 15。, 来流马赫数 3。计算翼型的升力和
波阻系数。
For region 2,
1=49.76。
2= 1+ =49.760+50=54.760
?
?
?
?
? ?
?
?
83.407:78.4
78.476.742076.54
:3r e g io n F o r
76.54 27.3
73.36,3MF o r
3, 2 7M
3
03
3
323
2
02
2
1
01
1
2
??
???????
??
??
??
p
p
MF o r
Mvv
p
F o r
p
p
M
p
。。
?
1 6 5.5,69.18,
7 3 3.1
)2544s i n (
5 6 4 3.0
)s i n (
6 8 3 5.0 5 6 4 3.0,8 8 1.4
08.244s i n3s i n
4425 3
:4 r e g i o n F o r
4
04
4
4
4
01
04
4
1
4
11
1
??
?
?
?
?
?
???
???
????
p
p
vT h u s
M
M
p
p
a n dM
p
MM
a n dM
n
n
n
p
。。
。
。。
??
?
??
6 7 0 7.0)73.36)(1)(
76.54
1
(
56.16
48.269.382069.18
:5r e g i o n F o r
1
01
01
02
02
2
1
2
5
05
545
???
?
???????
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
Mvv
压力比：
。。。
?
09.0)76.54)(1)(
83.4 0 7
1
)(6 7 0 7.0(
2
02
02
03
03
3
1
2
2
3
1
2
1
3 ????
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
516.1)73.36)(6835.0)(1(
56.16
1
881.4
1
01
01
04
04
05
05
5
1
5
1
4
??
?
?
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
令 为对称菱形的边的长度 ?
。。
。。。。
）（ 5c o s25c o s)(
25c o s5c o s5c o s25c o s
2534
'
3254
'
lpplppL
plplplpL
????
????
5 0 7 7.0
10c o s2
1
,10c o s
2/
823.0
]5c o s6 7 0 7.01 5 1 6.125c o s)09.0881.4[(
)3)(4.1(
2
]5c o s25c o s)[(
2
2
2
1
2
1
5
1
3
1
4
2
1
2
11
''
?????
????
??????
?
。
。
。。
。。
）（
）（
c
l
l
c
c
l
C
c
l
C
p
p
p
p
p
p
p
p
c
l
M
cMp
L
Sq
L
C
l
l
l
?
??
169.0)5077.0(333.0333.0
]5s i n6707.0516.125s i n)09.0881.4[(
)2)(4.1(
2
]5s i n25s i n)[(
2
5s i n25s i n)(
418.0)5077.0)(823.0(
2
1
2
1
5
1
3
1
4
2
1
'
2534
'
???
????
?????
????
??
?
c
l
C
c
l
C
p
p
p
p
p
p
p
p
c
l
MSq
D
C
lpplppD
C
d
d
d
l
。。
。。
。。
）（
）（
）（
?
习题 9.16 考虑一个体轴与来流垂直的圆柱体和一
个迎角为零、半顶角为 50的对称菱形翼型。菱形翼
型厚度与圆柱的直径相同。圆柱的阻力系数为 4/3
（基于迎风投影面积），计算圆柱阻力与对称菱形
翼型的阻力的比。由本题计算结果（比较超音速流
中的钝头体和尖头细长体的气动性能），可以得出
什么结论？
d t
d=t
解,
对于 基于迎风投影面积 的阻力系数为 Cd圆柱体，
其阻力为,
? ? ? ?? ? ? ? ??? ??? qdldqSCqD dc y l 3434'
对于对称菱形翼型,
? ? ? ?tppD w 32' ??
? ?
? ?
? ?
? ?tpp
qd
D
D
w
c y l
32
'
'
3
4
?
?
?
2
112,Mpqtd
???
??
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
3
1
2
2
1
1
3
1
2
2
1
'
'
3
2
23
4
p
p
p
p
M
p
p
p
p
M
D
D
w
cyl
?
?
To calculate p2/ p1,we have,for M1 =5 and
?5?? ?1.15??
? ? 303.11.15s i n5s i n11,??? ??MM n
From Appendix B,for 3 0 3.1
1,?nM 8 0 5.1,
1
2 ?
p
p
Also,
? ? ? ? 48.451.15s in
7 8 6.0
s in
2,
2 ????? ??
nMM
To calculate
48.42 ?M
,the flow is expended through an angle of ?10
From Table C,for
1
3
p
p
83.712 ?? ?
?38.811083.71
23 ????? ???
Hence,
6.53 ?M
(nearest entry)
From Appendix A,for
1.5 2 9,5
1
01
1 ?? p
pM
for 37.1,6.5
3
03
3 ?? p
pM
From Appendix B,
9 7 9 4.0,303.1F o r
01
02
1,?? p
pM
n
Thus,
1
01
01
02
02
03
03
3
1
3
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p ?
? ?? ?? ? 5.01.5299794.011037 1 ??
?
?
??
??
因此
? ?
? ?
? ?? ?
? ?
9.17
5.0805.1
54.1
3
2
3
2 2
1
3
1
2
2
1
'
'
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
p
p
p
p
M
D
D
w
cyl
?
提示：钝头体的阻力要大得多，这就是我们为什么
在超音速飞行器中避免使用钝头前缘的原因。（而
在超高音速条件下，钝头前缘可以减小气动热）
9.9 小结
超音速多维流动中的无限微弱扰动产生与来流
夹角为马赫角 μ的马赫波。马赫角的定义如下,
( 9, 1 )
1s i n 1
M
???
通过斜激波流动特性的变化由斜激波前的法向速
度分量决定。对于量热完全气体，上游法向马赫数是
决定性参数。通过斜激波的流动参数变化可利用第 8
章中的正激波关系式对应波前法向马赫数 Mn,1求得。
通过斜激波的气体特性变化取决于两个参数,M1,β或
M1,θ。图 9.7给出了 M1,β,θ曲线，必须仔细地研究它。
( 9, 1 3 ) s i n11,?MM n ?
斜激波入射到固壁表面上将会从表面反射,反
射波以保证物面处流动相切条件的形式出现,不同
斜激波会相互干扰,起干扰结果取决于激波的具体
形式,
决定中心膨胀波的参数是普朗特 -梅耶函数
ν(M)。联系下、上游马赫数 M1,M2及偏转角 θ
的重要方程是,
( 9, 4 3 ) )()( 12 MM ??? ??
由直线段组成的超音速翼型的压强分布可
以用斜激波、膨胀波理论精确地计算出来。
普朗特 — 梅耶膨
胀波
斜激波关系式
流过尖楔与圆锥
的超音速流
激波干扰与反射
脱体激波
激波 -膨胀波理论及其在
超音速翼型中的应用
图 9.5 第九章路线图
入射激波 (Incident shock wave),点 A处产生的斜激波
反射激波（ Reflected shock wave),入射激波打到水平壁面 B点，
不会自动消失，而是产生另外一个由 B点发出的斜激波，以保
证激波后流动满足流线与物面相切的边界条件。这个由 B点发
出的斜激波就是反射激波。
激波反射与干扰多种多样，在本节中我们给出如下几种常见
类型,
?马赫反射（ Mach Reflection)
在给定偏转角 θ的条件下，假设 M1稍稍大于能在压缩拐角
处产生直的斜激波所需要的最小马赫数值，这时，在角点处
会存在一个直的入射斜激波。然而，我们知道通过激波马赫
数下降，即 M2<M1,这一下降会使 M2小于使气流通过直的反
射激波偏转 θ角度所需的最小马赫数。在这种情况下，我们由
斜激波理论可知没有直的反射激波存在。图 9.17所示的常规反
射将不可能出现。实际发生的情形如图 9.18所示，由角点发出
的直入射斜激波在上壁面附近弯曲，并在上壁面变成一正激
波。这个正激波保证了上壁面处的壁面边界条件。另外，由
正激波上分支出一个弯的反射激波向下游传播。如图 9.18所示
的这种波型，称为 马赫反射 。
反射波后的特性没有理论方法求解，可采用数值解法求解。
马赫反射图示
?右行、左行激波干扰 (Intescetion of right- and left-running
shock waves)
A:左行波
B:右行波
EF:滑移线
C:激波 B的折射波
D:激波 A的折射波
折射,Refracted
滑移线,Slip line
? 两左行激波干扰
两同向激波相交形成一更强的激波 CD,同时伴随一个弱反
射波 CE。这一反射波是必须的，以调节保证滑移线 CF分
开的 4区和 5区速度方向相同 。
9.5 DTACHED SHOCK WAVE IN FRONT OF A BLUNT BODY
钝头体前的脱体激波
Shock detachment distance,激波脱体距离； Sonic line:音速线
特别要注意：膨胀过程是一个 等熵 过程。
要解决的问题是：已知上游马赫数 M1及其它流动特性 (区域 1），
求通过偏转角 θ膨胀后的下游（区域 2）的特性。
9.6 PRANDTL-MEYER EXPANSION WAVES
普朗特 -梅耶膨胀波
考虑一个以无限小的偏转 dθ 引起的非常弱的波，如上图所示。这
个波实际上就是与上游速度夹角为 μ的马赫波。我们前面已经证明
了通过斜波波前波后的切向速度分量保持不变。所以将波前速度 的
大小与方向用 AB矢量线段表示画在波后，就与表示波后速度大小
和方向的 AC矢量线段构成一个三角形 ABC。三个内角的大小如图
所示。 注意,波前波后切向速度分量不变保证了 CB垂直于马赫波。
?? ??? 21 120 MM VdVMd ???
参照图 9.23,将 (9.32)式从偏角为零，马赫数为 M1的区域 1，积分
到偏角为 θ，马赫数为 M2的区域 2,
V
dVMd 12 ???
(9.32)
(9.33)
? ?? ?? 21 2
2
]2/)1[(1
1M
M M
dM
M
M
??
将 (9.39)式代入到（ 9.33)式，得到,
（ 9.40)
? ?? ?? MdMMMM 2
2
]2/)1[(1
1)(
??
1t a n)1(11t a n11)( 2121 ???????? ?? MMM ?????
（ 9.41)
被称为 Prandtl-Meyer函数，其具体表达式如下,)(M?
（ 9.42)
因此，（ 9.40)的积分可以表示为,
)()( 12 MM ??? ?? （ 9.43)
)()( 12 MM ??? ??
（ 9.43)
is given by Eq,(9.42) for a calorically perfect gas,
The Prandtl-Meyer function is very important; it is the
key to calculation of changes across an expansion wave,
Because of its importance,is tabulated as a function of M
in App,C,For convenience,values of are also
tabulated in App.C,
对于量热完全气体,由 (9.42)式给定。 Prandtl-Meyer
函数 非常重要，它是计算通过膨胀波气体特性变化的
关键；由于其重要性,作为马赫数 M的函数在附录 C中
以列表形式给出。同时马赫角 作为 M的函数也在附录 C
中给出。
)(M?
?
?
)(M?
?
?
?
2
2
2
1
1,01
2,02
1
2
]2/)1[(1
]2/)1[(1
/
/
M
M
TT
TT
T
T
??
????
?
?
)1/(
2
2
2
1
1,01
2,02
1
2
]2/)1[(1
]2/)1[(1
/
/ ?
???
?
???
?
??
???? ??
?
?
M
M
pp
pp
p
p
下面我们应用以上结果给出求解图 9.23
所示问题的具体步骤,
1.对于给定 M1，由附录 C查得 。
2.由 计算 。
3.根据第 2步计算出的,查附录
C得到 M2。
4.因为膨胀波是等熵的，因此 p0和 T0通过膨胀波保持不变。即
T0,1=T0,2,p0,1=p0,2。由 (8.40)式,(8.42)式，我们有
（ 9.44）
（ 9.45）
)( 1M?
??? ?? )()( 12 MM )( 2M?
)( 2M?
9.7 SHOCK-EXPANSION THEORY,
APPLICATIONS TO SUPERSONIC AIRFOILS
激波 —— 膨胀波理论及其对超音速翼型的应用
例 1 平板翼型,
?
?
s in)('
c o s)('
)('
23
23
23
???
???
??
cppD
cppL
cppR
(9.46)
(9.47)
(9.48)
(9.46)-(9.48)式中,p3 由斜激波特性计算而得,p2由膨胀
波特性计算而得。象这样由 激波 -膨胀波理论 (shock-
expansion theory)计算得到解是精确解。
图 9.26中,平板翼型上表面为前缘处膨胀波后的压强 p2,
下表面为前缘处斜激波后的压强 p3,p3 >p2，因此平板翼
型受到合力 R’的作用，可分解为升力 L’和阻力 D’,
?什么情况下可以利用激波 -膨胀波理论来求解翼型的气
动特性？
Whenever we have a body made up of straight-line
segments and the deflection angles are small enough so
that no detached shock waves occur,the flow over the
body goes through a series of distinct oblique shock and
expansion waves,and the pressure distribution on the
surface (hence the lift and drag) can be obtained exactly
from both the shock- and expansion wave theories
discussed in this chapter,只要翼型是由直线段组成的，
且流动偏转角足够小能保证没有脱体激波出现，那么
绕翼型的超音速流动就是由一系列斜激波、膨胀波组
成的，因此，我们可以应用激波 -膨胀波理论精确地求
解翼型表面的压力分布进而翼型的升力和阻力。
例 2：对称菱形翼型（ Diamond-shape airfoil)
受力分析,a,c面压强均匀相等，用表示 p2，为压缩偏转角为
ε 的斜激波后的压强； b,d面压强均匀相等,用 p3表示,为膨胀
偏转角为 2ε的膨胀波后的压强。
因为流动是上下 对称的，所以 L’=0；而由于 p2>p3,所以会
有阻力分量 D’。
2
)(2)s i ns i n(2' 3232 tpplplpD ???? ??
tppD )(' 32 ??
即,（ 9.49)
(9.49)式中,p2 由斜激波特性计算而得,p3由膨胀波特性
计算而得。而且这些压强是超音速无粘流绕菱形翼型的
精确值。
计算翼型气动力的一般公式复习,
?? s in'c o s'' ANL ??
（ 1.1)
?? c o s's in'' AND ??
（ 1.2)
ll
TE
LE luu
TE
LE u dspdspN )s i nc o s()s i nc o s(' ?????? ????? ??
（ 1.7)
ll
TE
LE luu
TE
LE u dspdspA )c o ss i n()c o ss i n(' ?????? ????? ??
（ 1.8)
讨论,
这一节的结果说明了无粘、超音速流动的一个非常
重要的特征。由（ 9.48)式和 (9.49)式可以看出,二维
翼型在超音速流中将受到一定的阻力 。这和我们在
第 3,4章中讨论的低速不可压缩流动绕二维物体阻
力为零的结果恰恰相反。
在超音速流中，二维物体要受到的阻力的作用，这
一阻力被称为 波阻 。降低波阻是超音速翼型设计中
的一个重要考虑因素。波阻的存在在本质上与翼型
产生的激波有关，即与通过激波的熵增和总压损失
有关。
在同样来流马赫数下，翼型的厚度越大，其零升波
阻越大。
例 9.8 计算来流马赫数为 3，迎角为 5o的平板翼型的升
力系数和阻力系数。
解,
根据图 9.26,首先计算上表面的 p2/p1,由 M1=3,查附表
C，得 。由 及,
得 ；查附表 C得 M2=3.27。
所以,
其中,p0,1/p1 与 p0,2/p2均由附表 A查得。
01 76.49?? ??? ?? 12 ?? ?
02 76.54??
668.0
55
73.36
2
2,0
1
1,0
1
2 ???
p
p
p
p
p
p
第二步，计算下表面的 p3/p1。由图 9.7可知，对于
M1=3，,β=23.10,因此
查附表 B，对于 Mn,1=1.177,p3/p1=1.458。
05?? ??
177.11.23s i n3s i n 011,??? ?MM n
?co s)(' 23 ??? cppL
1 2 5.05c o s)6 6 8.04 5 8.1(
3)4.1(
2
c o s)(
2
2
''
0
2
1
2
1
3
2
1
2
11
1
??
?
?
???? ?
?? p
p
p
p
M
cMp
L
Sq
L
c
l
?s i n)(' 23 ??? cppD
0 1 1.05s in)6 6 8.04 5 8.1(
3)4.1(
2
s in)(
2
2
''
0
2
1
2
1
3
2
1
2
11
1
??
?
?
???? ?
?? p
p
p
p
M
cMp
D
Sq
D
c
d
本例的阻力系数还可利用下面关系简便求解,
?t a n?
l
d
c
c
011.05t a n125.0t a n 0 ??? ?ld cc
因此,
习题 9.7
半顶角为 30.2。 的尖楔放入 和
的自由流中。 Pitot管放在尖楔上表面的激波后面，计算
Pitot管所测得的压强的大小?
解,
由 图
可知：,
5.3??M
M?? ??
?48??
60.248s i n11 ??? ?MM n
? ? ? ?
6 4 8.1
2.3048s in
5 0 3 9.0
s in
5 0 3 9.0,4 6 0 1.0
2
2
2
0
02
?
?
?
?
?
??
?
??
??
n
n
M
M
M
p
p由附录 A.2得,
查附录 A.2得,
当 M=3.5时，查表 A.1,
则,
876.0,648.1
02
03
2 ?? p
pM
27.760 ?
?
?
p
p
03p
a tm
p
p
p
p
p
p
p
p
37.15
)5.0)(27.76)( 4601.0)(876.0(
0
0
02
02
03
03
?
?
?
?
?
?
?
习题 9.14 考虑一个如图 9.27所示的对称菱形翼型，半顶角 为
10。,翼型攻角 为 15。, 来流马赫数 3。计算翼型的升力和
波阻系数。
For region 2,
1=49.76。
2= 1+ =49.760+50=54.760
?
?
?
?
? ?
?
?
83.407:78.4
78.476.742076.54
:3r e g io n F o r
76.54 27.3
73.36,3MF o r
3, 2 7M
3
03
3
323
2
02
2
1
01
1
2
??
???????
??
??
??
p
p
MF o r
Mvv
p
F o r
p
p
M
p
。。
?
1 6 5.5,69.18,
7 3 3.1
)2544s i n (
5 6 4 3.0
)s i n (
6 8 3 5.0 5 6 4 3.0,8 8 1.4
08.244s i n3s i n
4425 3
:4 r e g i o n F o r
4
04
4
4
4
01
04
4
1
4
11
1
??
?
?
?
?
?
???
???
????
p
p
vT h u s
M
M
p
p
a n dM
p
MM
a n dM
n
n
n
p
。。
。
。。
??
?
??
6 7 0 7.0)73.36)(1)(
76.54
1
(
56.16
48.269.382069.18
:5r e g i o n F o r
1
01
01
02
02
2
1
2
5
05
545
???
?
???????
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
Mvv
压力比：
。。。
?
09.0)76.54)(1)(
83.4 0 7
1
)(6 7 0 7.0(
2
02
02
03
03
3
1
2
2
3
1
2
1
3 ????
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
516.1)73.36)(6835.0)(1(
56.16
1
881.4
1
01
01
04
04
05
05
5
1
5
1
4
??
?
?
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
令 为对称菱形的边的长度 ?
。。
。。。。
）（ 5c o s25c o s)(
25c o s5c o s5c o s25c o s
2534
'
3254
'
lpplppL
plplplpL
????
????
5 0 7 7.0
10c o s2
1
,10c o s
2/
823.0
]5c o s6 7 0 7.01 5 1 6.125c o s)09.0881.4[(
)3)(4.1(
2
]5c o s25c o s)[(
2
2
2
1
2
1
5
1
3
1
4
2
1
2
11
''
?????
????
??????
?
。
。
。。
。。
）（
）（
c
l
l
c
c
l
C
c
l
C
p
p
p
p
p
p
p
p
c
l
M
cMp
L
Sq
L
C
l
l
l
?
??
169.0)5077.0(333.0333.0
]5s i n6707.0516.125s i n)09.0881.4[(
)2)(4.1(
2
]5s i n25s i n)[(
2
5s i n25s i n)(
418.0)5077.0)(823.0(
2
1
2
1
5
1
3
1
4
2
1
'
2534
'
???
????
?????
????
??
?
c
l
C
c
l
C
p
p
p
p
p
p
p
p
c
l
MSq
D
C
lpplppD
C
d
d
d
l
。。
。。
。。
）（
）（
）（
?
习题 9.16 考虑一个体轴与来流垂直的圆柱体和一
个迎角为零、半顶角为 50的对称菱形翼型。菱形翼
型厚度与圆柱的直径相同。圆柱的阻力系数为 4/3
（基于迎风投影面积），计算圆柱阻力与对称菱形
翼型的阻力的比。由本题计算结果（比较超音速流
中的钝头体和尖头细长体的气动性能），可以得出
什么结论？
d t
d=t
解,
对于 基于迎风投影面积 的阻力系数为 Cd圆柱体，
其阻力为,
? ? ? ?? ? ? ? ??? ??? qdldqSCqD dc y l 3434'
对于对称菱形翼型,
? ? ? ?tppD w 32' ??
? ?
? ?
? ?
? ?tpp
qd
D
D
w
c y l
32
'
'
3
4
?
?
?
2
112,Mpqtd
???
??
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
3
1
2
2
1
1
3
1
2
2
1
'
'
3
2
23
4
p
p
p
p
M
p
p
p
p
M
D
D
w
cyl
?
?
To calculate p2/ p1,we have,for M1 =5 and
?5?? ?1.15??
? ? 303.11.15s i n5s i n11,??? ??MM n
From Appendix B,for 3 0 3.1
1,?nM 8 0 5.1,
1
2 ?
p
p
Also,
? ? ? ? 48.451.15s in
7 8 6.0
s in
2,
2 ????? ??
nMM
To calculate
48.42 ?M
,the flow is expended through an angle of ?10
From Table C,for
1
3
p
p
83.712 ?? ?
?38.811083.71
23 ????? ???
Hence,
6.53 ?M
(nearest entry)
From Appendix A,for
1.5 2 9,5
1
01
1 ?? p
pM
for 37.1,6.5
3
03
3 ?? p
pM
From Appendix B,
9 7 9 4.0,303.1F o r
01
02
1,?? p
pM
n
Thus,
1
01
01
02
02
03
03
3
1
3
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p ?
? ?? ?? ? 5.01.5299794.011037 1 ??
?
?
??
??
因此
? ?
? ?
? ?? ?
? ?
9.17
5.0805.1
54.1
3
2
3
2 2
1
3
1
2
2
1
'
'
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
p
p
p
p
M
D
D
w
cyl
?
提示：钝头体的阻力要大得多，这就是我们为什么
在超音速飞行器中避免使用钝头前缘的原因。（而
在超高音速条件下，钝头前缘可以减小气动热）
9.9 小结
超音速多维流动中的无限微弱扰动产生与来流
夹角为马赫角 μ的马赫波。马赫角的定义如下,
( 9, 1 )
1s i n 1
M
???
通过斜激波流动特性的变化由斜激波前的法向速
度分量决定。对于量热完全气体，上游法向马赫数是
决定性参数。通过斜激波的流动参数变化可利用第 8
章中的正激波关系式对应波前法向马赫数 Mn,1求得。
通过斜激波的气体特性变化取决于两个参数,M1,β或
M1,θ。图 9.7给出了 M1,β,θ曲线，必须仔细地研究它。
( 9, 1 3 ) s i n11,?MM n ?
斜激波入射到固壁表面上将会从表面反射,反
射波以保证物面处流动相切条件的形式出现,不同
斜激波会相互干扰,起干扰结果取决于激波的具体
形式,
决定中心膨胀波的参数是普朗特 -梅耶函数
ν(M)。联系下、上游马赫数 M1,M2及偏转角 θ
的重要方程是,
( 9, 4 3 ) )()( 12 MM ??? ??
由直线段组成的超音速翼型的压强分布可
以用斜激波、膨胀波理论精确地计算出来。
