对定积分的 补充规定,
( 1 )当 ba ? 时,0)( ?? ba dxxf ;
( 2 )当 ba ? 时,?? ?? abba dxxfdxxf )()(,
说明 在下面的性质中,假定定积分都存
在,且不考虑积分上下限的大小,
一、基本内容
证 ? ?ba dxxgxf )]()([
iii
n
i
xgf ??? ?
??
)]()([l i m
10
??
?
ii
n
i
xf ?? ?
??
)(lim
10
?
? ii
n
i
xg ?? ?
??
)(lim
10
?
?
?? ba dxxf )(,)(?? ba dxxg
? ?ba dxxgxf )]()([ ?? ba dxxf )( ?? ba dxxg )(,
(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)
性质 1
?? ? baba dxxfkdxxkf )()( ( k 为常数 ).
证 ?ba dxxkf )( ii
n
i
xkf ?? ?
??
)(lim
10
?
?
ii
n
i
xfk ?? ?
??
)(l i m
10
?
? ii
n
i
xfk ?? ?
??
)(lim
10
?
?
.)(?? ba dxxfk
性质 2
? ba dxxf )( ?? ?? bcca dxxfdxxf )()(,
补充,不论 的相对位置如何,上式总成立, cba,,
例 若,cba ??
?ca dxxf )( ?? ?? cbba dxxfdxxf )()(
?ba dxxf )( ?? ?? cbca dxxfdxxf )()(
.)()( ?? ?? bcca dxxfdxxf
(定积分对于积分区间具有可加性)

假设 bca ??性质 3
dxba ?? 1 dxba?? ab ??,
则 0)( ?? dxxfba, )( ba ?
证,0)( ?xf?,0)( ??? if ),,2,1( ni ??
,0?? ix?,0)(
1
???? ?
?
ii
n
i
xf
},,,m a x { 21 nxxx ???? ??
ii
n
i
xf ?? ?
??
)(lim
10
?
?,0)(? ??
b
a dxxf
性质 4
性质 5 如果在区间 ],[ ba 上 0)( ?xf,
例 1 比较积分值 dxe x? ? 20 和 dxx? ? 20 的大小,
解 令,)( xexf x ?? ]0,2[??x
,0)( ?xf?,0)(0 2 ??? ?? dxxe x
dxe x??? 02,02 dxx???
于是 dxe x??20,20 dxx???
性质 5的推论,
证 ),()( xgxf ??,0)()( ??? xfx
,0)]()([ ??? ? dxxfxgba
,0)()( ?? ?? baba dxxfdxxg
于是 dxxfba? )( dxxgba?? )(,
则 dxxfba? )( dxxgba?? )(, )( ba ?
如果在区间 ],[ ba 上 )()( xgxf ?,( 1)
dxxfba? )( dxxfba?? )(,)( ba ?
证,)()()( xfxfxf ????
,)()()( dxxfdxxfdxxf bababa ??? ????
即 dxxfba? )( dxxfba?? )(,
说明,可积性是显然的, | )( xf | 在区间 ],[ ba 上的
性质 5的推论,
( 2)
设 M 及 m 分别是函数
证,)( Mxfm ???
,)( ??? ??? bababa M d xdxxfdxm
).()()( abMdxxfabm ba ???? ?
(此性质可用于估计积分值的大致范围)
则 )()()( abMdxxfabm ba ???? ?,
)( xf 在区间 ],[ ba 上的最大值及最小值,
性质 6
例 2 估计积分 dxx? ? ?
0 3s i n3
1 的值,
解,s i n3 1)( 3 xxf ?? ],,0[ ??? x
,1s i n0 3 ?? x,31s i n3 141 3 ??? x
,31s in3 141 00 30 dxdxxdx ??? ??? ???
.3s i n3 14 0 3 ?????? ? ? dxx
例 3 估计积分 dx
x
x
?
?
?
2
4
s i n
的值,
解,s i n)( x xxf ?
2
s i nco s)(
x
xxxxf ???
2
)ta n(co s
x
xxx ??
]2,4[ ???x
,0?
)( xf 在 ]2,4[ ?? 上单调下降,
故 4??x 为极大点,2??x 为极小点,
,22)4( ???? fM,2)2( ???? fm
,442 ??????? ab?
,422s i n42 2
4
??
???
??
?? ?
?
? dxx
x
.2 2s i n21 2
4
??? ?
?
? dxx
x
如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续,

Mdxxfabm ba ???? ? )(1
)()()( abMdxxfabm ba ???? ??
由闭区间上连续函数的介值定理知
则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点 ?,
使 dxxfba? )( ))(( abf ?? ?, )( ba ?? ?
性质 7(定积分中值定理)
积分中值公式
在区间 ],[ ba 上至少存在一个点 ?,
使,)(1)( ???? ba dxxfabf
dxxfba? )( ))(( abf ?? ?,)( ba ?? ?
在区间 ],[ ba 上至少存在一
个点 ?,

积分中值公式的几何解释,
x
y
o a b?
)(?f 使得以区间 ],[ ba 为以曲线 )( xfy ?底边,
为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为 )( ?f
的一个矩形的面积。
例 4 设 )( xf 可导,且 1)(l i m ?
???
xf
x

求 dttf
t
t
x
xx ?
?
???
2
)(
3
s i nl i m,
解 由积分中值定理知有 ],2,[ ??? xx
使 dttfttxx? ? 2 )(3s i n ),2)((3s i n xxf ??????
dttfttxx
x ?
?
???
2 )(3s i nlim )(3s i nlim2 ?
??? f????
)(3l i m2 ?? f????,6?
1.定积分的性质
(注意估值性质、积分中值定理的应用)
2.典型问题
(1)估计积分值;
(2)不计算定积分比较积分大小,
二、小结
思考题
定积分性质中指出,若 )(),( xgxf 在 ],[ ba
上都可积,则 )()( xgxf ? 或 )()( xgxf 在 ],[ ba
上也可积。这一性质之逆成立吗?为什么?
思考题解答
由 )()( xgxf ? 或 )()( xgxf 在 ],[ ba 上可
积,不能断言 )(),( xgxf 在 ],[ ba 上都可积。
??
??
为无理数,
为有理数
x
xxf
0
,1)(
??
??
为无理数,
为有理数
x
xxg
1
,0)(
显然 )()( xgxf ? 和 )()( xgxf 在 ]1,0[ 上可积,但
)(),( xgxf 在 ]1,0[ 上都不可积。

一,填空题:
1, 如果积分区间 ? ?ba,被点 c 分成 ? ? ? ?bcca,,与,则
定积分的可加性为
?
?
b
a
dxxf )( _ ___ ___ __ _ ;
2, 如果 ? ?baxf,)( 在 上的最大值与最小值分别 为
M m与
,则
?
a
b
dxxf )( 有如下估计式,_ ___ ___ __
_ ___ ___ ___ ___ ___ __ ___ __ ;
3,
时当 ba ?
,我们规定
?
b
a
dxxf )( 与
?
a
b
dxxf )( 的关
系是 ___ __ ___ ___ __ ___ ___ ___ ;
4, 积分中值公式
? ?
b
a
dxxf )( )(,))(( baabf ??? ?? 的几何意义是
_ ___ ___ ___ ___ __ ;
练 习 题
5, 下列两积分的大小关系是:
( 1 ) ?
1
0
2
dxx ___ _ _ ?
1
0
3
dxx
( 2 ) ?
2
1
ln x d x ___ _ __ _ ?
2
1
2
)(l n dxx
( 3 ) dxe
x
?
1
0
___ _ __ _ ? ?
1
0
)1( dxx
二,证明,? ??
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()( ( 是常数k ),
三,估计下列积分 ?
3
3
3 c o t x d xx a r c 的值,
四、证明不等式,? ??
2
1
21 dxx,
六、用定积分定义和性质求极限,
1, )
2
1
.,,
2
1
1
1
(l i m
nnn
n
??
?
?
?
??;
2.,
?
??
4
0
s i nlim
?
xdx
n
n
.
七、设
)( xf

? ?baxg,)( 在
上连续,证明:
1, 若在
? ?ba,

0)( ?xf
,且
?
?
b
a
dxxf 0)(,则在
? ?ba,

0)( ?xf;
2,若在
? ?ba,
上,
0)( ?xf
,且
)( xf

0恒等于
,则
? ?
b
a
dxxf 0)( ;
3, 若在
? ?ba,

)()( xgxf ?
,且
? ?
?
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
,则在
? ? )()(,xgxfba ?上
,
一,1,
??
?
b
c
c
a
dxxfdxxf )()( ;
2, baabMdxxfabm
b
a
?????
?
,)()()( ;
3,
?
b
a
dxxf )(
?
??
a
b
dxxf )( ;
4,曲边梯形各部分面积的代数和等于
为邻与 abf ?)( ? 边的矩形面积;
5, (1)> ; (2 )> ; ( 3) >.
三,1, ?
?
3
2
a r c ta n
9
3
3
1
??
?
xdxx ;
2,
5
3
a r c s i n
242
1
32
1
0
?
???
?
?
xxx
dx
.
练习题答案