定义 1 设函数 )( xf 在区间 ),[ ??a 上连续，取
ab ?,如果极限 ?
???
b
ab
dxxf )(lim 存在，则称此极
限为函数 )( xf 在无穷区间 ),[ ??a 上的广义积
分，记作 ?
??
a
dxxf )(,
? ??a dxxf )( ????? bab dxxf )(l i m
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散,
一、无穷限的广义积分
类似地，设函数 )( xf 在区间 ],( b?? 上连续，取
ba ?,如果极限 ?
???
b
aa
dxxf )(lim 存在，则称此极
限为函数 )( xf 在无穷区间 ],( b?? 上的广义积
分，记作 ?
??
b
dxxf )(,
? ??b dxxf )( ????? baa dxxf )(lim
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散,
设函数 )( xf 在区间 ),( ???? 上连续,如果
广义积分 ?
??
0
)( dxxf 和 ?
??
0
)( dxxf 都收敛，则
称上述两广义积分之和为函数 )( xf 在无穷区间
),( ???? 上的广义积分，记作 ?
??
??
dxxf )(,
? ???? dxxf )( ? ??? 0 )( dxxf ? ??? 0 )( dxxf
????? 0 )(l i m aa dxxf ????? bb dxxf0 )(lim
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散,
例 1 计算广义积分,1 2? ???? ? xdx
解 ? ???? ? 21 xdx ? ?? ?? 0 21 xdx? ?? ?? 0 21 xdx
? ?? ??? 0 21 1l i m aa dxx? ?? ??? bb dxx0 21 1lim
? ?0a rct a nlim aa x???? ? ?bb x 0a rc t a nlim ????
aa a r c t a nlim ????? bb a r c t a nlim ????,22 ?????????? ????
例 2 计算广义积分
解
.1s i n12 2? ??
?
dxxx
? ??
?
2
1s i n1
2 dxxx ?
??
?
???????? 2 11s i n xdx
?
?
???????? ???
b
b x
dx2 11s i nl im
b
b
?
??
?
??
??
??? 2
1co slim
??
?
??
? ??
??? 2
c o s1c o slim ?b
b,1?
例 3 证明广义积分 ?
??
1
1
dx
x p
当 1?p 时收敛，
当 1?p 时发散,
证,1)1( ?p ? ??1 1 dxx p ? ??? 1 1 dxx ? ? ??? 1ln x,???
,1)2( ?p ? ??1 1 dxx p
???
??
?
??
?
?
?
1
1
1 p
x p
??
?
?
?
?
?
???
?
1,
1
1
1,
p
p
p
因此当 1?p 时广义积分收敛，其值为
1
1
?p；
当 1?p 时广义积分发散,
例 4 证明广义积分 ?
?? ?
a
px dxe 当 0?p 时收敛，
当 0?p 时发散,
证 ? ?? ?
a
px dxe ? ?
????
b
a
px
b dxel i m
b
a
px
b p
e
??
?
??
? ?? ?
???
l i m
?
?
??
?
? ?? ??
??? p
e
p
e pbpa
b
lim ?
?
?
?
?
??
?
?
?
0,
0,
p
p
p
e ap
即当 0?p 时收敛，当 0?p 时发散,
定义 2 设函数 )( xf 在区间 ],( ba 上连续，而在
点 a 的右邻域内无界．取 0??,如果极限
?
???
b
a
dxxf
??
)(lim
0
存在，则称此极限为函数 )( xf
在区间 ],( ba 上的广义积分，记作 ?
b
a
dxxf )(,
?ba dxxf )( ? ???? ba dxxf?? )(l i m 0
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散,
二、无界函数的广义积分
类似地，设函数 )( xf 在区间 ),[ ba 上连续，
而在点 b 的左邻域内无界, 取 0??,如果极限
?
?
??
?
?
b
a
dxxf )(lim
0
存在，则称此极限为函数 )( xf
在区间 ),[ ba 上的广义积分，
记作 ?
b
a
dxxf )( ?
?
??
?
?
?
b
a
dxxf )(l i m
0
.
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散,
设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上除点 )( bcac ?? 外连
续，而在点 c 的邻域内无界, 如果两个广义积分
?
c
a
dxxf )( 和 ?
b
c
dxxf )( 都收敛，则定义
? ba dxxf )( ?? ca dxxf )( ?? bc dxxf )(
? ???? ?? ca dxxf )(l i m 0 ? ?????? bc dxxf?? )(l i m 0
否则，就称广义积分 ? ba dxxf )( 发散,
定义中 C为 瑕点,以上积分称为 瑕积分,
例 5 计算广义积分
解
).0(
0 22
??? axa dxa
,1lim 22
0
????
?? xaax
?
ax ?? 为被积函数的无穷间断点,
? ?a xa dx0 22 ? ??? ?? ?? a xa dx0 220l i m
?
?
?
?? ??
?
??
?? a
a
x
00
a r c s i nl i m ?
?
?
??
? ???
??
0a r c s i nl i m
0 a
a ?
?
.2??
例 6 证明广义积分 ?
1
0
1
dx
x q
当 1?q 时收敛，当
1?q 时发散,
证,1)1( ?q ?? 10 1 dxx ? ?10ln x?,???
,1)2( ?q ?10 1 dxx q
1
0
1
1 ??
?
??
?
?
?
?
q
x q
??
?
?
?
?
?
???
?
1,
1
1
1,
q
q
q
因此当 1?q 时广义积分收敛，其值为
q?1
1；
当 1?q 时广义积分发散,
?10 1 dxx q
例 7 计算广义积分
解
.ln21? xx dx
?21 ln xx dx ? ???? 210 lnlim ?? xx dx
? ???? 210 ln )(l nl i m ?? xxd ? ? 210 )l n(l nlim ?? ???? x
? ?))1l n ( l n ()2l n ( l nlim 0 ?? ??? ??
.?? 故原广义积分发散,
例 8 计算广义积分
解
.
)1(
3
0 32? ?x
dx 1?x
瑕点
? ?30 32)1( x dx ? ? ??? 10 31
3
2)1()( x
dx
? ?10 32)1( x dx ? ??? ?? ?? 100
3
2)1(lim x
dx3?
? ?31 32)1( x dx ? ??? ?? 310 32)1(lim ?? x dx,23 3??
? ?? 30 32)1( x dx ).21(3 3??
无界函数的广义积分（ 瑕积分 ）
无穷限的广义积分
? ???? dxxf )( ? ??b dxxf )( ? ??a dxxf )(
? ?? ?? ca bcba dxxfdxxfdxxf )()()(
（ 注意,不能忽略内部的瑕点）
?ba dxxf )(
三、小结
思考题
积分 的瑕点是哪几点？ ? ?10 1ln dxx x
思考题解答
积分 可能的瑕点是 ? ?10 1ln dxx x 1,0 ?? xx
1
lnl i m
1 ?? x
x
x
?,11lim
1
??
? xx 1?? x 不是瑕点,
? ?? 10 1ln dxx x的瑕点是,0?x
一,填空题：
1, 广义积分
?
??
1
p
x
dx
当 _______ 时收敛；当 __ _ __ _ 时
发散；
2, 广义积分 ?
1
0
q
x
dx
当 _______ 时收敛；当 __ _ __ __ 时发
散；
3, 广义积分 ?
??
2
)(l n
k
xx
dx
在 ______ 时收敛；在 __ __ __ _
时发散；
4,广义积分 ? ?? ?? ? dxxx 21 =____ ；
练 习 题
5, 广义积分 ?
?
?
1
0 21 x
x d x
_ _ _ _ _ _ __ ；
6, 广义积分 ?
??
x
dttf )( 的几何意义是 ______ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二,判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计
算广义积分的值：
1, ?
??
?
0
c o s h t d te
pt
)1( ?p ； 2, ?
??
??
?? 22
2
xx
dx；
3, ?
??
?
0
dxex
xn
（ 为自然数n ）； 4, ?
?
2
0
2
)1( x
dx；
5,
?
?
2
1
1x
xdx； 6,
?
??
?
0
22
)1(
ln
dx
x
xx；
7,
?
1
0
ln x d x
n
.
三,求当 为何值时k,广义积分 )(
)(
ab
ax
dxb
a
k
?
?
?
收敛？又 为何值时k,这广义积分发散？
四,已知
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
?
x
xx
x
xf
2,1
20,
2
1
0,0
)(,试用分段函数表示
?
??
x
dttf )(
.
一,1, 1,1 ?? pp ； 2, 1,1 ?? qq ； 3, 1,1 ?? kk ；
4,发散； 5, 1 ； 6,过点 轴平行于 yx 的直
线左边,曲线 )( xfy ? 轴和 x 所围图形的面积,
二,1,
1
2
?p
p； 2,
?； 3,
!n； 4,发散；
5,
3
2
2 ； 6, 0 ； 7, !)1( n
n
?,
三、当
1?k
时收敛于
k
ab
k
?
?
?
1
)(
1
1； 当
1?k
时发散,
四、
?
?
?
?
?
?
?
??
??
????
?
?
??
xx
xx
x
dttf
x
2,1
20,
4
1
0,0
)(
2
.
练习题答案
