设函数 )( xu, )( xv 在区间 ? ?ba,上具有连续
导数，则有 ? ? ?? ??
b
a
b
a
b
a
v d uuvu d v,
定积分的分部积分公式
推导 ? ?,vuvuuv ????? ? ?,)( baba uvdxuv? ??
? ?,?? ???? bababa dxvudxvuuv
? ?,?? ??? bab
a
b
a v d uuvu d v
一、分部积分公式
例 1 计算,a rc s i n210? x d x
解 令,a r c s i n xu ?,dxdv ?
,1 2xdxdu ??,xv ?
? 210 a rc s i n x d x? ? 210a r c s i n xx? ? ?? 2
1
0 21 x
x d x
62
1 ??? )1(
1
1
2
1 2
0 2
2
1
xdx ??? ?
12
?? ? ? 21
021 x??,12
3
12 ???
?
则
例 2 计算
解
.2co s140? ? ? xx d x
,co s22co s1 2 xx ???
? ? ?? 40 2co s1 xxdx? ?? 40 2c o s2 xxdx ? ?xdx t a n240? ??
? ? 40t a n21 ?? xx x d xt a n21 40? ??
? ? 40s ecln218 ???? x.4 2ln8 ???
例 3 计算
解
.)2( )1l n (1
0 2? ?
? dx
x
x
? ? ?10 2)2( )1l n ( dxx x ? ???? 10 2 1)1l n( xdx
1
02
)1ln (
??
?
??
?
?
???
x
x? ?
??
1
0 )1l n(2
1 xd
x
3
2ln?? dx
xx? ????
1
0 1
1
2
1 xx ??? 2 11 1
? ? 10)2l n()1l n(3 2ln xx ??????,3ln2ln35 ??
例 4 设 求
解
?? 21,s i n)( x dtt txf,)(10? dxxxf
因为
t
ts i n
没有初等形式的原函数，
无法直接求出 )( xf,所以采用分部积分法
?10 )( dxxxf ?? 10 2 )()(21 xdxf
? ?102 )(21 xfx? ?? 10 2 )(21 xdfx
)1(21 f? ? ?? 10 2 )(21 dxxfx
?? 21,s i n)( x dtt txf?
,s in22s in)(
2
2
2
x
xx
x
xxf ????
?? 10 )( dxxxf )1(21 f? ? ?? 10 2 )(21 dxxfx
??? 10 2s i n221 dxxx ??? 10 22s i n21 dxx
? ?102c o s21 x? ).11( co s21 ??
,0s i n)1( 11? ?? dtt tf
例 5 证明定积分公式
?? ?? ?? 22 00 c o ss i n xdxxdxI nnn
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
,
3
2
5
4
2
31
,
22
1
4
3
2
31
?
?
?
为正偶数
为大于 1的正奇数
证 设,s i n 1 xu n ??,s i n xdxdv ?
,c o ss i n)1( 2 xdxxndu n ???,c o s xv ??
? ? dxxxnxxI nnn ? ?? ?? ???? 22 0 2201 c o ss i n)1(c o ss i n
x2s in1 ?0
dxxndxxnI nnn ?? ???? ? 22 00 2 s i n)1(s i n)1( ??
nn InIn )1()1( 2 ???? ?
2
1
?
??
nn In
nI 积分 关于下标的递推公式
nI
42 2
3
?? ?
??
nn In
nI,?? 直到下标减到 0或 1为止
,21436522 322 12 02 ImmmmI m ????????? ?
,32547612 2212 2 112 Immm mI m ?????????? ?
),2,1( ??m
,2200 ??? ? ? dxI,1s i n201 ?? ? ? x d xI
,221436522 322 122 ??????????? ?mmmmI m
.32547612 2212 212 ?????????? ?mmm mI m
于是
定积分的分部积分公式
? ?,?? ?? bab
a
b
a v d uuvud v
二、小结
（注意与不定积分分部积分法的区别）
思考题
设 )( xf ?? 在 ? ?1,0 上连续，且 1)0( ?f,
3)2( ?f, 5)2( ??f,求 ? ??1
0
)2( dxxfx,
思考题解答
? ??10 )2( dxxfx ? ?? 10 )2(21 xfxd
? ? ? ???? 1
0
1
0 )2(2
1)2(
2
1 dxxfxfx
? ?10)2(41)2(21 xff ???
? ?)0()2(4125 ff ???,2?
一,填空题：
1,设 n 为正奇数，则 ?
?
?
2
0
s i n x d x
n
____ ____ ___ ；
2,设 n 为正偶数，则
?
?
2
0
co s xdx
n
= ___ ____ _ __ _ ；
3, ?
?
?
dxxe
x
1
0
_____ ___ ____ __ ；
4, ?
?
e
x d xx
1
ln _____ ___ ____ _ ；
5, ??
1
0
a r c ta n x d xx ____________,
二,计算下列定积分：
1, ?
e
dxx
1
)s i n (l n ； 2, ?
e
e
dxx1 ln ；
练 习 题
3, ?
?
?
0
s i n)( x d xxmJ
m
,（ m 为自然数）
4, ?
?
?
?
0
1
)1c o s (s i n xdxnx
n
.
三、已知 xxf 2t a n)( ?,求 ?
?
???4
0 )()( dxxfxf,
四、若 ? ??,0)( 在xf ?? 连续，,1)(,2)0( ??? ff
证明,3s i n])()([
0
????? x d xxfxf?,
一,1,
!!
!)!1(
n
n ?； 2,
2!!
!)!1( ?
?
?
n
n； 3,
e
2
1 ? ；
4, )1(
4
1
2
?e ； 5,
2
3
ln
2
1
)
9
3
4
1
( ???,
二,1,
2
11c o s1s i n ?? ee； 2, )
1
1(2
e
? ；
练习题答案
3,
?
?
?
??
?
?
???
??
???
?
?
??
???
?
为奇数
为偶数
1,
531
)1(642
,
2642
)1(531
)(
2
m
m
m
m
m
m
mJ
?
?
?
?；
4,
?
?
?
?
?
?
?
为正偶数时当
为正奇数时当
n
n
n
n
,
!!
!)!1(2
,0；
5, 0.
三,8.