由物理学知道，如果物体在作直线运动的
过程中有一个不变的力 F 作用在这物体上，且
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在
物体移动了距离 s 时，力 F 对物体所作的功为
sFW ??, 如果物体在运动的过程中所受的力是变化
的，就不能直接使用此公式，而采用, 微元法,
思想,
一、变力沿直线所作的功
例 1 把一个带 q? 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电
荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷
放在这个电场中距离原点为
r
的地方，那么电场
对它的作用力的大小为
2
r
q
kF ? （ k 是常数），当
这个单位正电荷在电场中从
ar ?
处沿
r
轴移动
到
br ?
处时，计算电场力 F 对它所作的功．
解 取 r 为积分变量,ro?q? ?a ?b? ? ? ? ???1?r
],,[ bar ?
? drr?
取任一小区间 ],[ drrr ?,功元素,2 drrkqdw ?
所求功为 drrkqw ba?? 2
b
ar
kq ?
?
?
??
??? 1
.11 ?????? ?? bakq
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
drrkqw a? ??? 2
??
??
?
??
???
ar
kq 1.
a
kq?
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例 2 一圆柱形蓄水池
高为 5 米，底半径为
3 米，池内盛满了水,
问要把池内的水全部
吸出，需作多少功？
解 建立坐标系如图
x
ox
dxx?取 x 为积分变量,]5,0[?x
5取任一小区间 ],[ dxxx ?,
x
ox
dxx?
5
这一薄层水的重力为
dx238.9 ??
功元素为,2.88 dxxdw ????
dxxw ???? ? 2.8850
5
0
2
2
2.88 ?
?
?
??
??? x
3462? (千焦 ),
解 设木板对铁钉的阻力为,)( kxxf ?
第一次锤击时所作的功为 ?? 1
01 )( dxxfw,2
k?
.)(0?? hh dxxfw
例 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻
力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次
锤击时将铁钉击入 1厘米，若每次锤击所作的功
相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？ n
设 次击入的总深度为 厘米 hn
次锤击所作的总功为 n
?? hh kxdxw 0,2 2kh?
依题意知，每次锤击所作的功相等,
1nww h ? ? 2
2kh
,2kn??
,nh ?
.1?? nn
次击入的总深度为 n
第 次击入的深度为 n
由物理学知道，在水深为 h 处的压强为
hp ??,这里 ? 是水的比重．如果有一面积为 A
的平板水平地放置在水深为 h 处，那么，平板一
侧所受的水压力为 ApP ??,
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同
的点处压强 p 不相等，平板一侧所受的水压力
就不能直接使用此公式，而采用, 微元法,思
想．
二、水压力
例 4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，
设桶的底半径为 R,水的比重为 ?,计算桶的一端面
上所受的压力．
解 在端面建立坐标系如图
x
o
取 x 为积分变量,],0[ Rx ?
取任一小区间 ],[ dxxx ?
x dxx?小矩形片上各处的压强近
似相等
小矩形片的面积为,2 22 dxxR ?
,xp ??
小矩形片的压力元素为 dxxRxdP 222 ?? ?
端面上所受的压力
dxxRxP R 220 2 ?? ? ?
)( 220 22 xRdxRR ???? ??
? ? RxR
0
322
3
2
??
?
??
? ??? ?
.32 3R??
例 5 　将直角边各为 a 及 a2 的直角三角形薄板
垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水
面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边
长，求薄板所受的侧压力．
解 建立坐标系如图
x
oa2 a2a
面积微元,)(2 dxxa ?
dxxaaxdP ??????? 1)(2)2(
dxxaaxP a ?))(2(20 ??? ?,37 3a??
由物理学知道，质量分别为
21
,mm 相距为
r 的两个质点间的引力的大小为
2
21
r
mm
kF ?,
其中 k 为引力系数，引力的方向沿着两质点的
连线方向．
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，
那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化
的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，
就不能用此公式计算．
三、引力
例 6 有一长度为 l,线密度为 ? 的均匀细棒，
在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质点
M,计算该棒对质点 M 的引力．
2l
2l?
? x
y
o Ma
解 建立坐标系如图
取 y 为积分变量
取任一小区间 ],[ dyyy ?
,2,2 ???????? lly
将典型小段近似看成质点
小段的质量为,dy?
ry dyy?
小段与质点的距离为,22 yar ??
引力,22 ya dymkF ??? ?
水平方向的分力元素,)(
2
322 ya
dyamkdF
x ???
?
2
3
2
2 )( 22 ya
dyamkF l
lx ??? ??
?
,
)4(
2
2
122 laa
lkm
?
?? ?
由对称性知，引力在铅直方向分力为,0?yF
利用,微元法,思想求变力作功、
水压力和引力等物理问题,
（注意熟悉相关的物理知识）
四、小结
思考题
一球完全浸没水中，问该球面所受的总
压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总
压力与它在水中受到的浮力有何关系？
思考题解答
该球面所受的总压力方向向上（下半球
面所受的压力大于上半球面），其值为该球
排开水的重量，即球的体积，也就是它在水
中受到的浮力．因此该球面所受的总压力与
球浸没的深度无关,
一,直径为 20 厘米，高为 80 厘米的圆柱体内充满压强
为 310
厘米
牛 的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽
体积缩小一半，问需要作多少功？
二,一物体按规律
3
tcx ? 作直线运动，媒质的阻力与
速度的平方成正比，计算物体由 0?x 移至 ax ?
时，克服媒质阻力所作的功,
三,有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长 610 米和
米，高为 20 米，较长的底边与水面相齐, 计算闸门
的一侧所受的水压力,
练 习 题
四,半径为 的球沉r 入水中，球的上部与水面相切，
球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作
多少功？
五,一块 a高为, b底为 的等腰三角形薄板，垂直地
沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄
板每面所受的压力,
六,设有一半
R径为
，中心
?角为
的圆弧形细棒，其
线密度为
?常数
，在圆心处有一质
的量为 m
质点
M
，试求这细棒对质
M点
的引力,
七,油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流
速越小，实验测定，某处的流 与速 v 流处到管子
中心的距 之间离 r 有关系式 )(
22
rakv ??,其中
为比例k 常数,为油管a 半径, 求通过油管的流
量 （注：当流速为常量时，流量 = 流速 ? 截面积）,
一,2ln800 ? ( 焦耳 ).
二、
3
7
3
2
7
25
akc ( 其 为中 k 比例常数 ),
三,143 73 ( 千牛 ), 四,gr
4
3
4
?, 五,?ba
2
6
1
.
六、引力的大小为
2
s i n
2 ??
R
km
,方向 指为 M 向圆弧
的中心,
七、
4
2
a
k ?
.
练习题答案