xo
y
0MA?
nMB?1M
2M 1?nM设 A, B 是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点
BMM
MMMA
nn
i
?
?
?,,
,,,
1
10
?
?
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目
无限增加且每个小弧段都缩向一点时,此折线的长 ||
1
1?
?
?
n
i
ii MM 的极限存在，则称此极限为
曲线弧 AB 的弧长,
一、平面曲线弧长的概念
设曲线弧为 )( xfy ?
)( bxa ??,其中 )( xf
在 ],[ ba 上有一阶连续导数
xo
y
a bx dxx?
取积分变量为 x,在 ],[ ba
上任取小区间 ],[ dxxx ?,
以对应小切线段的长代替小弧段的长
?dy
小切线段的长 22 )()( dydx ? dxy 21 ???
弧长元素 dxyds 21 ??? 弧长,1 2 dxys ba? ???
二、直角坐标情形
例 1 计算曲线 2
3
3
2
xy ? 上相应于 x 从 a 到b 的一段
弧的长度,
解,21xy ???
dxxds 2)(1 21???,1 dxx??
所求弧长为
dxxs ba? ?? 1 ].)1()1[(32 2323 ab ????
a b
例 2 计算曲线 ?? dny n
x?
? 0 s in 的弧长 )0( ??? nx,
解 nnxny 1s i n ???,s in nx?
dxys ba? ??? 21 dxnxn? ? ?? 0 s in1
ntx ? n d tt ??? ?
0 s in1
dtttttn ? ? ??
?
??
?
???
?
??
?
??
0
22
2co s2s i n22co s2s i n
dtttn ? ? ?????? ?? 0 2c o s2s in.4n?
曲线弧为,)(
)(
??
?
?
?
ty
tx
?
?
)( ?? ?? t
其中 )(),( tt ?? 在 ],[ ?? 上具有连续导数,
22 )()( dydxds ?? 222 ))](()([ dttt ?? ????
dttt )()( 22 ?? ????
弧长,)()( 22 dttts ? ???? ?
? ??
三、参数方程情形
例 3 求星形线 3
2
3
2
3
2
ayx ?? )0( ?a 的全长,
解 星形线的参数方程为
?
?
?
?
?
tay
tax
3
3
s i n
c o s
)20( ??? t
根据对称性 14ss ?
? ? ? ? dtyx? ? ???? 2
0
224 dttta?
?
? 2
0
co ss i n34
.6a?
第一象限部分的弧长
例 4 证明正弦线 xay s i n? )20( ??? x 的弧长
等于椭圆
?
?
?
??
?
tay
tx
s i n1
c o s
2
)20( ??? t 的周长,
证 设正弦线的弧长等于 1s
dxys ? ? ??? 20 21 1 dxxa? ? ?? 20 22 c o s1
设椭圆的周长为 2s
,c o s12 0 22 dxxa? ? ??
? ? ? ?,20 222 dtyxs ? ? ????
根据椭圆的对称性知
? ? ? ?? ? dttats ? ? ??? 0 2222 c o s1s in2
dxxa? ? ?? 0 22 c o s12,1s?
故原结论成立,
dtta? ? ?? 0 22 c o s12
曲线弧为 )( ??? ??)(?rr ?
其中 )( ?? 在 ],[ ?? 上具有连续导数,
??
?
?
?
??
??
s i n)(
c o s)(
ry
rx?
)( ??? ??
22 )()( dydxds ???,)()( 22 ??? drr ???
弧长,)()( 22 ????
? drrs ? ???
四、极坐标情形
例 5 求极坐标系下曲线
3
3
s i n ?
?
??
?
?? ?ar 的长,
)0( ?a
解
????? drrs ? ???? )()( 22
3
1
3c o s3s i n3
2
?????????? ??ar?,3c o s3s i n
2 ??
???????? a
.23 a??
???? daa
24
2
6
2
3co s3s i n3s i n ??
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?? ?? 3
0
?? d
2
3s in ??
??
?
?? ?? 3
0a
?? ?0( )3?
例 6 求阿基米德螺线 ?ar ? )0( ?a 上相应于
? 从 0 到 ?2 的弧长,
解,ar ???
????? drrs ? ???? )()( 22
? ?.)412l n (4122 22 ????????? a
? ?? 20 ?? daa 222 ? ? ?? 20a ?? d12 ?
平面曲线弧长的概念
直角坐标系下
参数方程情形下
极坐标系下
弧微分的概念
求弧长的公式 ?
?
?
?
?
五、小结
思考题
闭区间 ],[ ba 上的连续曲线 )( xfy ?
是否一定可求长？
思考题解答
不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证
曲线光滑才可求长,
一,填空题：
1, 曲线 xy ln? 上相应于 83 ?? x 的一段弧长为
__ __ _ __ _ __ __ ；
2, 渐伸线 )si n( c o s tttax ??, )c o s( si n tttay ??
上相应于 变到从 0t
?
的一段弧长为 __ _ __ _ ；
3, 曲线
1??r
自
4
3
?? 至
3
4
?? 一 段 弧 长 为
__ __ _ __ _ __ __,
二,计算半立方抛物线
32
)1(
3
2
?? xy 被抛物线
3
2 x
y ?
截得的一段弧的长度,
三,计算星形线 tax
3
c o s?, tay
3
s i n? 的全长,
练 习 题
四,求心形线 )c o s1( ??? ar 的全长,
五,证明：曲线 xy si n? )20( ??? x 的弧长等于椭圆
22
22
?? yx 的周长,
六,在摆线 ),si n( ttax ?? )c o s1( tay ?? 上求分摆
线第一拱成 3:1 的点的坐标,
练习题答案
一,1,
2
3
ln
2
1
1 ? ； 2,
2
2
?
a； 3,
2
3
ln
12
5
?,
二,]1)
2
5
[(
9
8
2
3
?,
三,a6, 四,a8,
六,)
2
3
,)
2
3
3
2
(( aa??,