第 十 章 拉普拉斯变换
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
拉氏变换是研究线性定常网络的非常重要
和有效的工具。它将时域中的微分、积分问
题，变换成复频域中的代数运算，因此，在
五十年代、六十年代，人们难以区分电路理
论和拉氏变换间的差别，可见拉氏变换在电
路理论中的重要性。但是，拉氏变换对时变
和非线性网络却是无能为力的，而状态方程
正好能借助于计算机来较好地解决这一类问
题，这也是状态方程被重视的原因。现在拉
氏变换虽不象当初所处地位，但在线性定常
网络中，对它的作用是不能低估的。
拉氏变换的定义和性质
定义 有时域函数 f(t) 则
0( ) ( )
stF s f t e d t? ?
??
也可表示成 F(s)= ?[f(t)]
拉氏反变换 f(t)= ?-1[F(s)]
其中 s=?+j? 是复数,f(t)称原函数 F(s)称象函数。
① 积分下限为何为 0-
f(t)=?(t)+u(t)
取积分下限为 0-,使积
分中包含了冲击函数。
t()ft10
② 存在性问题
数学上拉氏变换的存在是有条件的 (满足绝对
可积 )。函数 随时间增长的速度比 2() tf t e? ste?
随时间衰减得快,当 t→ ?，被积函数的积分式
2
0
t ste e d t? ?
? ???
，所以函数 2() tf t e? 没有拉氏变换
但在工程上，即在电路问题中，由于激励总有
起始时间，响应总对应某一时刻，所以有办法
用拉氏变换求上述函数的响应。
设
2
1
1
1
01()
01
te t t
ft tt? ???? ? ??
??
t1可任意大，但总对应
一具体时间位置。
设
2
1
1
1
01()
01
te t t
ft tt? ???? ? ???
?
t1可任意大，但总对应
一具体时间位置。
如果在 t<t1+1
那么在 t<t1+1
则 y2(t)=y1(t)
这说明，只要 t<t1+1，则任意网络对 f1(t)的响应
和对 2() tf t e? 的响应是相同的。
所以拉氏变换在电路中总是存在的，变换就具
有普遍性。
1()ft1()ytN2te 2()2te10t1lt ?
唯一性 原函数和象函数是一一对应关系
( ) ( ),( ) ( )f t F s F s f t??唯一地 唯一地
现在有
10
( ) 0.5 0
00
t
f t t
t
??
???
?
? ??
10
( ) 1 0
00
t
g t t
t
??
???
?
? ??
从表达式中可看出,f(t)与 g(t)是有区别的，数
学上认为是两个函数。但在工程上,f(t)=u(t)，
?[f(t)]=1/s； g(t)=u(t),?[g(t)]=1/s
在工程上，这是 无关紧要 的差别。
直线性（线性性）
()it()vt??R
?[c1f1(t)+c2f2(t)]=c1?[f1(t)]+c2?[f2(t)]
其中 c1,c2是任意常数。
拉氏变换是线性函数，由若干原函数组合的象
函数，等于各原函数的象函数的同样形式的线
性组合。
v(t)=Ri(t) ?[v(t)]= ?[Ri(t)]=R?[i(t)]
V(s)=RI(s) ()
()
VsR
Is? ()Is()Vs??R
微分规则
1 ( ) ( )tf t e u t???te??10
若 f(t)→F(s) 则 ? [ f(t)]=sF(s)-f(0-) d
dt
时域中的求导运算，相当于复频域中乘以 s的运
算，并以 f(0-)计入初始条件。
以上三个函数在 t>0时是一样的，但在 t=0点各不
相同，它们的拉氏变换是相同的。
2 ( ) ( ) ( )tf t u t e u t??? ? ? ?te??11?t0
3 () tf e ???te?01t
以上三个函数在 t>0时是一样的，但在 t=0点各
不相同，它们的拉氏变换相同
?[f1(t)]= ?[f2(t)]=
?[f3(t)]=
1
s ??
但它们微分的拉氏变换各不相同
1[ ( ) ] 0
dsft
d t s ????￡ 2[ ( ) ] 1
dsft
d t s ????￡ 3[ ( )] 1
dsft
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() tdf t e
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1'()0t 2'()t 3'()0t
① 一个函数 f(t)如果在 t=0点发生跳变，虽然函数
本身的拉氏变换是无关紧要的，但它的导数的
拉氏变换却是 举足轻重 的。
② 运用微分规则解题，当 f(0+)≠f(0-)时，由于微分
规则已经计入了初始条件，即已经考虑到了跳
变因素，因此在解题时不必另外再考虑响应中
是否包含冲击函数的问题。
()() L
L
di tv t L
dt?
L
()it()Lvt??
( ) ( ) ( 0 )L L LV s L s I s L i ??? L s
Is()LVs??(0 )LLi ?
L s
()Is()LVs?
这就是电感在复频域中的形式,Ls称运算感抗
()() L
L
di tv t L
dt? L
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()() C
C
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( ) ( ) ( 0 )C C CI s C s V s C v ???
Cs
()Is()CVs? (0 )CCv ?
Cs
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这就是电容在复频域中的形式,Cs称运算容纳
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
拉氏变换是研究线性定常网络的非常重要
和有效的工具。它将时域中的微分、积分问
题，变换成复频域中的代数运算，因此，在
五十年代、六十年代，人们难以区分电路理
论和拉氏变换间的差别，可见拉氏变换在电
路理论中的重要性。但是，拉氏变换对时变
和非线性网络却是无能为力的，而状态方程
正好能借助于计算机来较好地解决这一类问
题，这也是状态方程被重视的原因。现在拉
氏变换虽不象当初所处地位，但在线性定常
网络中，对它的作用是不能低估的。
拉氏变换的定义和性质
定义 有时域函数 f(t) 则
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也可表示成 F(s)= ?[f(t)]
拉氏反变换 f(t)= ?-1[F(s)]
其中 s=?+j? 是复数,f(t)称原函数 F(s)称象函数。
① 积分下限为何为 0-
f(t)=?(t)+u(t)
取积分下限为 0-,使积
分中包含了冲击函数。
t()ft10
② 存在性问题
数学上拉氏变换的存在是有条件的 (满足绝对
可积 )。函数 随时间增长的速度比 2() tf t e? ste?
随时间衰减得快,当 t→ ?，被积函数的积分式
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但在工程上，即在电路问题中，由于激励总有
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一具体时间位置。
如果在 t<t1+1
那么在 t<t1+1
则 y2(t)=y1(t)
这说明，只要 t<t1+1，则任意网络对 f1(t)的响应
和对 2() tf t e? 的响应是相同的。
所以拉氏变换在电路中总是存在的，变换就具
有普遍性。
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唯一性 原函数和象函数是一一对应关系
( ) ( ),( ) ( )f t F s F s f t??唯一地 唯一地
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从表达式中可看出,f(t)与 g(t)是有区别的，数
学上认为是两个函数。但在工程上,f(t)=u(t)，
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在工程上，这是 无关紧要 的差别。
直线性（线性性）
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其中 c1,c2是任意常数。
拉氏变换是线性函数，由若干原函数组合的象
函数，等于各原函数的象函数的同样形式的线
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v(t)=Ri(t) ?[v(t)]= ?[Ri(t)]=R?[i(t)]
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微分规则
1 ( ) ( )tf t e u t???te??10
若 f(t)→F(s) 则 ? [ f(t)]=sF(s)-f(0-) d
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算，并以 f(0-)计入初始条件。
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相同，它们的拉氏变换是相同的。
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以上三个函数在 t>0时是一样的，但在 t=0点各
不相同，它们的拉氏变换相同
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① 一个函数 f(t)如果在 t=0点发生跳变，虽然函数
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② 运用微分规则解题，当 f(0+)≠f(0-)时，由于微分
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