第 十 章 拉普拉斯变换
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
网络函数的频率特性
网络函数的频率特性也称网络的频率响应。若
将网络函数 H(s)中的 s 改为 j?,那么就得到网络
的频率响应 H(j?)=A(?)??(?),其中 A(?)称幅频
特性,?(?)称相频特性。
频率响应的重要性在于通过它可以确定网络在
任一频率下的正弦稳态响应。另外，频率响应
便于人们以较高的精度测量得到。
频率响应的两条曲线可用纯计算的方法算出不
同 ?下的 A(?)和 ?(?),也可用实验方法求得。
还可用前面讲到的极零图得到，这种方法便于
我们讨论网络函数极零点对频率响应的影响。
一阶网络函数的频率响应
这部分内容在正弦稳态电路中已经讲过，主要
涉及的概念有一阶低通和高通函数，低通、高
通滤波器，滞后、超前网络，半功率点、截止
频率,3dB频率、通频带等。
二阶网络函数的频率响应
以二阶 RLC串联电路来讨论
二阶网络函数的频率响应
① 低通函数
RLs1Cs ()CVs1()Vs
2
1 1 2
1
() 1 1 1()
1( ) 1 ( ) ( )
CVs CsHs
V s L C s R C s L C s p s pR L s
Cs
? ? ? ?
? ? ? ???
电压传输函数
① 低通函数 RLs
1Cs ()
CVs1()Vs
2
1 1 2
1
() 1 1 1()
1( ) 1 ( ) ( )
CVs CsHs
V s L C s R C s L C s p s pR L s
Cs
? ? ? ?? ? ? ?
??
式中极点 2
1,2
1
22 d
RRpj
L L LC ??
??? ? ? ? ? ? ???
??
其中 22 00
00
1,,,
d
L
LR CQ
L R RLC
??? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ?
2200
2 2 20 1 2
1()
1 2 ( ) ( )Hs L C s R C s s s s p s p
??
??? ? ?? ? ? ? ? ?
j?××?0dj
dj??
0
0j
1p
2p0??ab 0???设 0 1LC? ? 为定值，调变电阻 R,即调变 ?，因而网络函数的极点在
s平面上的位置也随之移动。
2200
2 2 20 1 2
1()
1 2 ( ) ( )Hs L C s R C s s s s p s p
??
??? ? ?? ? ? ? ? ?
j?××?0dj
dj??
0
0j
1p
2p0
???ab
0???
当 R=0，极点落在 j?轴的 ?j?0点上，
当 R值增加，实部 -?变为负值，两
个极点将沿半园的轨迹移动。
当 ?=?0时,?d=0,p1=p2=-?,两个极点重合
在负实轴上，此时电阻 2/R L C? 为临界状态。
当 R继续增加,2/R L C? 两个极点成为不相
等的负实数，如上图 a,b点。
现取以下三种情况分析频率特性
2 / 1 / 2R L C Q?①
2 / 1 / 2R L C Q? ? ?②
2 / 1 / 2R L C Q? ? ?③
令网络函数 H(s)中的 s=j?，有频率响应
2200
12
() ( ) ( ) ( ) ( )
dd
Hj j p j p j j j j??? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?
得上述三种情况的极零图
j××?0dj
dj??
1d
2??
j1pp???2d j?××?0dj
dj??
1
2??
1pp???
2d×?01d2??1pp
为求幅频特性，在虚轴上任取一点 j?，并从 p1和 p2点
到点 j?作矢量 j?-(-?+j?d)和 j?-(-?-j?d),二矢量的长度
为 d1,d2,幅角为 ?1,?2，于是
j?××?0dj
dj??
1d
2??
j?1pp???2d j?××?0dj
dj??
1
2??
j?1pp???2d j?×?01d2??j1pp
为求幅频特性，在虚轴上任取一点 j?，并从 p1和 p2
点到点 j?作矢量 j?-(-?+j?d)和 j?-(-?-j?d),二矢量的
长度为 d1,d2,幅角为 ?1,?2，于是
20
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1()Hj
L C j p j p L C d d d d????? ? ???
12( ) ( )? ? ? ?? ? ?
对不同的 ?算出 d1,d2和 ?1,?2，再根据上式求出 |H(j?)|
和 ?(?)便可作出幅频特性曲线和相频特性曲线。
j?××?0dj
dj??
1d2??j?1pp???2d
1 1 2
2
0
1 2 1 2
() 11()
()
1 1 1
CVsHj
V s LC j p j p
LC d d d d
?
??
?
??
??
??
12( ) ( )? ? ? ?? ? ?
()???045?90?
135?180?
0?③②①
幅频特性曲线分析
情况 ①
当 ?从零变到 ∞的过程中,d1随 ?升高而减小,d2随 ?
升高而增大，且 d1减小的速率大于 d2增大的速率，在
?=?d时,d1到达最小值，因此在 ?d附近 (?d<?0)的
?m处 VC/V1出现峰值，当 ?>?d以后,d1,d2都随 ?升高
而增大。
()Hj?5432
10m?d0①② ③
j?××?0dj
dj??
1d
2??
j?1pp???2d j?××?0dj
dj??
1
2??
j?1pp???2d j?×?01d2??j1pp
20
1 1 2 1 2 1 2
() 1 1 1 1 1() ()CVsHj V s L C j p j p L C d d d d????? ? ? ???
情况 ② 极点 p1,p2离纵轴较远，当 ?从零增大时，
d1减小和 d2增大的速率相差不大。
情况 ③ 极点 p1,p2都落在实负轴上,d1,d2都随
?的升高而增大，只有当 ?=0时，它们才是最小值，
此时也不出现峰值。
()Hj?
?5430 m?d0①② ③
20
1 1 2 1 2 1 2
() 1 1 1 1 1()
()C
VsHj
V s L C j p j p L C d d d d?? ??? ? ? ???
从幅频特性曲线可以看到，该
网络函数是二阶低通函数，网
络为二阶低通网络。
输出振幅与输入振幅之比 │H(j?)│在高频段随 ?的
增加衰减很快，幅频特性曲线随 Q值的不同而不
同。
()Hj?
?543210 m?d0①② ③
相频特性曲线
当 ?=0时,?1为负值,?2
为正值，绝对值相等，因
此 ?=0
当 ?=?0 时,?=-90?
当 ?=∞时,?=-180?
从相频特性曲线上看出为滞后函数，且 Q 值
越大，极点距虚轴 j?越近，在 ?=?0的领域内，
曲线变化也越剧烈。
()???045?
90?135?180? 0
?③
②①
② 高通函数
该网络函数有一个位于坐标点的二重零点 (或称二阶
零点 )，同样以上述三种情况分析频率响应。
RLs1Cs ()LVs1()Vs
22
2 2 2
10
()()
1( ) 1 2
LVs Ls LCs sHs
V s LCs R Cs s sR Ls
Cs
??? ? ? ?? ? ? ???
22
12
()()
( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]dd
jHj
j p j p j j j j
???
? ? ? ? ? ? ? ?
???
? ? ? ? ? ? ? ?
2
12
2 2 2 212() ( ) ( )
dd
llHj
dd
??
? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?
111 2 1 2( ) ( ) 1 8 0 t a n t a ndd? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ????? ? ? ? ? ? ? ???
??
RLs1Cs ()LVs1()Vs 222 2 210()() 1( ) 1 2LVs Ls LCs sHs V s LCs R Cs s sR Ls Cs ??? ? ? ?? ? ? ??? 2212()() ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]ddjHj j p j p j j j j??? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ?j?××?0dj dj??1d2??j1pp???2d1l22?1 j?××?0dj dj??12??j1pp???2d1l22?1 j?×?01d2??j1pl22?
RLs1Cs ()LVs1()Vsj?××?0dj dj??1d2??j?1pp???2d1l2?j??0dj dj??12??j?1pp???2d1l2?j?×?01d2??j1pl22?()Hj??975310
0?m
①② ③ ()???4590135180
0?③
②①
j?××?0dj
dj??
1d2??j?1pp???2d1l2?j??0dj
dj??
12??j?1pp???2d1l2?j?×?01d2??j1pl22?
()Hj?
?975300?m①② ③
幅频特性曲线分析
有关极点情况同前面，由于二阶零点的出现，当 ?从
零向 ∞变化过程中,l1和 l2是相等的，同时由 0向 ∞增
大，使
峰值出现在略大于 ?0的附近 ?m。从曲线上可见，网络
函数是二阶高通函数。
0( ) 0Hj ?? ? ? ( ) 1Hj ?? ?? ?
j?××?0dj
dj??
1d2??j?1pp???2d1l2?j??0dj
dj??
12??j?1pp???2d1l2?j?×?01d2??j1pl22?
相频特性趋向的变化同前
区别在于现在是超前函数，即 ?(?)是正值。 ?=0
时 ?=180?,?=?0时 ?=90?,?=∞时 ?=0?,可见，
Q值越大，极点距虚轴 j?越近，幅频曲线的峰值
越高，相频曲线在 ?=?0处变化越剧烈。
()???0
45901351800?③②①
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
网络函数的频率特性
网络函数的频率特性也称网络的频率响应。若
将网络函数 H(s)中的 s 改为 j?,那么就得到网络
的频率响应 H(j?)=A(?)??(?),其中 A(?)称幅频
特性,?(?)称相频特性。
频率响应的重要性在于通过它可以确定网络在
任一频率下的正弦稳态响应。另外，频率响应
便于人们以较高的精度测量得到。
频率响应的两条曲线可用纯计算的方法算出不
同 ?下的 A(?)和 ?(?),也可用实验方法求得。
还可用前面讲到的极零图得到，这种方法便于
我们讨论网络函数极零点对频率响应的影响。
一阶网络函数的频率响应
这部分内容在正弦稳态电路中已经讲过，主要
涉及的概念有一阶低通和高通函数，低通、高
通滤波器，滞后、超前网络，半功率点、截止
频率,3dB频率、通频带等。
二阶网络函数的频率响应
以二阶 RLC串联电路来讨论
二阶网络函数的频率响应
① 低通函数
RLs1Cs ()CVs1()Vs
2
1 1 2
1
() 1 1 1()
1( ) 1 ( ) ( )
CVs CsHs
V s L C s R C s L C s p s pR L s
Cs
? ? ? ?
? ? ? ???
电压传输函数
① 低通函数 RLs
1Cs ()
CVs1()Vs
2
1 1 2
1
() 1 1 1()
1( ) 1 ( ) ( )
CVs CsHs
V s L C s R C s L C s p s pR L s
Cs
? ? ? ?? ? ? ?
??
式中极点 2
1,2
1
22 d
RRpj
L L LC ??
??? ? ? ? ? ? ???
??
其中 22 00
00
1,,,
d
L
LR CQ
L R RLC
??? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ?
2200
2 2 20 1 2
1()
1 2 ( ) ( )Hs L C s R C s s s s p s p
??
??? ? ?? ? ? ? ? ?
j?××?0dj
dj??
0
0j
1p
2p0??ab 0???设 0 1LC? ? 为定值，调变电阻 R,即调变 ?，因而网络函数的极点在
s平面上的位置也随之移动。
2200
2 2 20 1 2
1()
1 2 ( ) ( )Hs L C s R C s s s s p s p
??
??? ? ?? ? ? ? ? ?
j?××?0dj
dj??
0
0j
1p
2p0
???ab
0???
当 R=0，极点落在 j?轴的 ?j?0点上，
当 R值增加，实部 -?变为负值，两
个极点将沿半园的轨迹移动。
当 ?=?0时,?d=0,p1=p2=-?,两个极点重合
在负实轴上，此时电阻 2/R L C? 为临界状态。
当 R继续增加,2/R L C? 两个极点成为不相
等的负实数，如上图 a,b点。
现取以下三种情况分析频率特性
2 / 1 / 2R L C Q?①
2 / 1 / 2R L C Q? ? ?②
2 / 1 / 2R L C Q? ? ?③
令网络函数 H(s)中的 s=j?，有频率响应
2200
12
() ( ) ( ) ( ) ( )
dd
Hj j p j p j j j j??? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?
得上述三种情况的极零图
j××?0dj
dj??
1d
2??
j1pp???2d j?××?0dj
dj??
1
2??
1pp???
2d×?01d2??1pp
为求幅频特性，在虚轴上任取一点 j?，并从 p1和 p2点
到点 j?作矢量 j?-(-?+j?d)和 j?-(-?-j?d),二矢量的长度
为 d1,d2,幅角为 ?1,?2，于是
j?××?0dj
dj??
1d
2??
j?1pp???2d j?××?0dj
dj??
1
2??
j?1pp???2d j?×?01d2??j1pp
为求幅频特性，在虚轴上任取一点 j?，并从 p1和 p2
点到点 j?作矢量 j?-(-?+j?d)和 j?-(-?-j?d),二矢量的
长度为 d1,d2,幅角为 ?1,?2，于是
20
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1()Hj
L C j p j p L C d d d d????? ? ???
12( ) ( )? ? ? ?? ? ?
对不同的 ?算出 d1,d2和 ?1,?2，再根据上式求出 |H(j?)|
和 ?(?)便可作出幅频特性曲线和相频特性曲线。
j?××?0dj
dj??
1d2??j?1pp???2d
1 1 2
2
0
1 2 1 2
() 11()
()
1 1 1
CVsHj
V s LC j p j p
LC d d d d
?
??
?
??
??
??
12( ) ( )? ? ? ?? ? ?
()???045?90?
135?180?
0?③②①
幅频特性曲线分析
情况 ①
当 ?从零变到 ∞的过程中,d1随 ?升高而减小,d2随 ?
升高而增大，且 d1减小的速率大于 d2增大的速率，在
?=?d时,d1到达最小值，因此在 ?d附近 (?d<?0)的
?m处 VC/V1出现峰值，当 ?>?d以后,d1,d2都随 ?升高
而增大。
()Hj?5432
10m?d0①② ③
j?××?0dj
dj??
1d
2??
j?1pp???2d j?××?0dj
dj??
1
2??
j?1pp???2d j?×?01d2??j1pp
20
1 1 2 1 2 1 2
() 1 1 1 1 1() ()CVsHj V s L C j p j p L C d d d d????? ? ? ???
情况 ② 极点 p1,p2离纵轴较远，当 ?从零增大时，
d1减小和 d2增大的速率相差不大。
情况 ③ 极点 p1,p2都落在实负轴上,d1,d2都随
?的升高而增大，只有当 ?=0时，它们才是最小值，
此时也不出现峰值。
()Hj?
?5430 m?d0①② ③
20
1 1 2 1 2 1 2
() 1 1 1 1 1()
()C
VsHj
V s L C j p j p L C d d d d?? ??? ? ? ???
从幅频特性曲线可以看到，该
网络函数是二阶低通函数，网
络为二阶低通网络。
输出振幅与输入振幅之比 │H(j?)│在高频段随 ?的
增加衰减很快，幅频特性曲线随 Q值的不同而不
同。
()Hj?
?543210 m?d0①② ③
相频特性曲线
当 ?=0时,?1为负值,?2
为正值，绝对值相等，因
此 ?=0
当 ?=?0 时,?=-90?
当 ?=∞时,?=-180?
从相频特性曲线上看出为滞后函数，且 Q 值
越大，极点距虚轴 j?越近，在 ?=?0的领域内，
曲线变化也越剧烈。
()???045?
90?135?180? 0
?③
②①
② 高通函数
该网络函数有一个位于坐标点的二重零点 (或称二阶
零点 )，同样以上述三种情况分析频率响应。
RLs1Cs ()LVs1()Vs
22
2 2 2
10
()()
1( ) 1 2
LVs Ls LCs sHs
V s LCs R Cs s sR Ls
Cs
??? ? ? ?? ? ? ???
22
12
()()
( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]dd
jHj
j p j p j j j j
???
? ? ? ? ? ? ? ?
???
? ? ? ? ? ? ? ?
2
12
2 2 2 212() ( ) ( )
dd
llHj
dd
??
? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?
111 2 1 2( ) ( ) 1 8 0 t a n t a ndd? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ????? ? ? ? ? ? ? ???
??
RLs1Cs ()LVs1()Vs 222 2 210()() 1( ) 1 2LVs Ls LCs sHs V s LCs R Cs s sR Ls Cs ??? ? ? ?? ? ? ??? 2212()() ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]ddjHj j p j p j j j j??? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ?j?××?0dj dj??1d2??j1pp???2d1l22?1 j?××?0dj dj??12??j1pp???2d1l22?1 j?×?01d2??j1pl22?
RLs1Cs ()LVs1()Vsj?××?0dj dj??1d2??j?1pp???2d1l2?j??0dj dj??12??j?1pp???2d1l2?j?×?01d2??j1pl22?()Hj??975310
0?m
①② ③ ()???4590135180
0?③
②①
j?××?0dj
dj??
1d2??j?1pp???2d1l2?j??0dj
dj??
12??j?1pp???2d1l2?j?×?01d2??j1pl22?
()Hj?
?975300?m①② ③
幅频特性曲线分析
有关极点情况同前面，由于二阶零点的出现，当 ?从
零向 ∞变化过程中,l1和 l2是相等的，同时由 0向 ∞增
大，使
峰值出现在略大于 ?0的附近 ?m。从曲线上可见，网络
函数是二阶高通函数。
0( ) 0Hj ?? ? ? ( ) 1Hj ?? ?? ?
j?××?0dj
dj??
1d2??j?1pp???2d1l2?j??0dj
dj??
12??j?1pp???2d1l2?j?×?01d2??j1pl22?
相频特性趋向的变化同前
区别在于现在是超前函数，即 ?(?)是正值。 ?=0
时 ?=180?,?=?0时 ?=90?,?=∞时 ?=0?,可见，
Q值越大，极点距虚轴 j?越近，幅频曲线的峰值
越高，相频曲线在 ?=?0处变化越剧烈。
()???0
45901351800?③②①
