第 十 章 拉普拉斯变换
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
积分规则 若 f(t)→F(s)
← 由初始条件引起
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()[ ( ) ]t Fsf t d t
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延迟定理（时域平移性质）
电路中所讨论的函数都是有始函数 (起始函数 )，
即在 t<0时,f(t)=0，所以函数可用 f(t)u(t)表示，
当该函数延迟 ?出现，便成为 f(t-?)u(t-?)
若 f(t)→F(s) 则 [ ( ) ( ) ] ( ) sf t u t F s e ??? ?? ? ?￡
原函数在出现的时间上推迟 ?, (即其图形沿时
间轴向右移动 ?)，则其象函数乘以延时因子
象函数乘以延迟因子,其原函数在时域中平移 ?
se ??
对延迟函数的表示应注意,上述 f(t)u(t)是指上
图的 f1(t)，而其延迟函数是指 f4(t)，不要误解
为 f2(t)或 f3(t)
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3 ( ) ( ) ( )f t f t u t ????0t 4 ( ) ( ) ( )f t f t u t??? ? ??0t
复频域平移性质
若 f(t)→F(s) 则 [ ( ) ] ( )te f t F s? ?? ??￡
原函数乘以 其原函数在复频域上平移 ?
初值定理
若 f(t)→F(s),且 lim ( )
s sF s??
存在，则
0l im ( ) ( 0 ) l im ( )tsf t f s F s? ?? ? ???终值定理
若 f(t)→F(s),且 lim ( )
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存在，则
0l i m ( ) ( ) l i m ( )tsf t f sF s? ? ?? ? ?
借助于初值定理和终值定理,对某象函数 F(s),可
以不求出它的原函数 f(t),就能求出 f(0+)和 f(?)
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卷积定理 1
()Fs ()Hs( ) ( )H s F s()Ns
一个线性电路对任意激励 f(t)的零状态响应 z0(t),
等于激励函数 f(t)和该电路冲击响应 h(t)的卷积。
若 f(t)→F(s),h(t)→H(s),z0(t)→Z 0(s) 则
[ ( ) * ( ) ] ( ) ( )f t h t F s H s?￡ 0 ( ) ( ) ( )Z s F s H s?
时域中的卷积，等于复频域中的乘积
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0( ) * ( ) ( ) ( )th t f t f h t d? ? ?????
N
展开定理
展开定理可以把任一 s的有理函数分解成许多简单的单
元，这称部分分式展开。
设有有函数 1
0 1 1
1
11
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b s b s b s bPsFs
Q s s a s a s a
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式中 P(s),Q(s)都是复变量 s的多项式，系数
b0,b1,?,bm,a1,?,an 都是实数。
F(s)的另一种表示
1
0
1
()
()
()
m
i
i
n
j
j
sz
F s b
sp
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其中 zi i=1,?,m pj j=1,?,n分别称有理函数 F(s) 的零点
和极点。如果 pj是 Q(s)的单零点,称 F(s)的单极点,pk是
Q(s)的 r 阶零点,称 F(s)的 r 阶极点。
① 展开定理的第一步是把有理函数真分数化（真分式化）
若 m<n 称有理函数是真分数式
若 m? n 则 ( ) ( )?( ) ( )
( ) ( )
P s R sF s P s
Q s Q s? ? ?
R(s)是 P(s)除以 Q(s)的余数,
()()RsQs 是真分数（真分式），对此真分式
② 单极点情况
111
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) i
nn pti
i
iini
kR s R sF s f t k e
Q s s p s p s p??? ? ? ??? ????
其中 ( ) ( )
iii spk s p F s ???
?()Ps 是一个多项式，其对
应的时间函数是 ?,?’,?”等的线性组
合,
③ 共轭复根情况
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则
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④ 重极点情况
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( ) ( ) ( )
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其中 1
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② 单极点情况
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其中
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用拉氏变换求解网络的响应（运算法）
上面方法是数学方法的运用。在电路分析中, 主要采用
下面的方法,即先求得网络定律和支路关系的 ?，得到
运算电路，然后用直流或正弦稳态中所应用的方法来
求解网络。这种方法称运算法。不管哪种方法，运用
拉氏变换的目的，是要把电路在时域的微分方程化为
复频域的代数方程。
1
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节点法 ￡ 解 ￡
回路法
积分微分方程 代数方程
网络方程 网络方程
支路关系
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KCL,KVL的运算形式
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② KVL
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支路关系的运算形式
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④ 受控源
只要将电压、电流改成运算
形式即可。
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⑤ 互感支路
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时域
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频 域 1( ) ( ) ( 0 ) ; ( ) ( 0 ) ( )ds s s s sd t s s??? ? ? ? ΓV L I Li I i V
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
积分规则 若 f(t)→F(s)
← 由初始条件引起
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电路中所讨论的函数都是有始函数 (起始函数 )，
即在 t<0时,f(t)=0，所以函数可用 f(t)u(t)表示，
当该函数延迟 ?出现，便成为 f(t-?)u(t-?)
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图的 f1(t)，而其延迟函数是指 f4(t)，不要误解
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初值定理
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一个线性电路对任意激励 f(t)的零状态响应 z0(t),
等于激励函数 f(t)和该电路冲击响应 h(t)的卷积。
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展开定理
展开定理可以把任一 s的有理函数分解成许多简单的单
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和极点。如果 pj是 Q(s)的单零点,称 F(s)的单极点,pk是
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① 展开定理的第一步是把有理函数真分数化（真分式化）
若 m<n 称有理函数是真分数式
若 m? n 则 ( ) ( )?( ) ( )
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② 单极点情况
111
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③ 共轭复根情况
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④ 重极点情况
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用拉氏变换求解网络的响应（运算法）
上面方法是数学方法的运用。在电路分析中, 主要采用
下面的方法,即先求得网络定律和支路关系的 ?，得到
运算电路，然后用直流或正弦稳态中所应用的方法来
求解网络。这种方法称运算法。不管哪种方法，运用
拉氏变换的目的，是要把电路在时域的微分方程化为
复频域的代数方程。
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② KVL
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④ 受控源
只要将电压、电流改成运算
形式即可。
1()it1()vt2()it1v?2()vt1()Is1()Vs2()Is
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⑤ 互感支路
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