第 十 章 拉普拉斯变换
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
网络函数
网络函数的定义
在正弦稳态分析中，定义网络函数 ()Nj ? 输出相量
输入相量
( ) ( ) ( ) ( ) ( )N j N j A? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
其中 A(?)为 N(j?)的模，称幅频特性。
?(?)为 N(j?)的幅角，称相频特性。
学过 ?,可把网络函数的概念推广到复频域
()()
()
YsHs
Ws??
零状态响应的
输入的
￡
￡
H(s)是 N(j?)的推广,N(j?)是 H(s)的特例
网络函数的分类
1 驱动点函数 1()Is1()Vs
线性定常
双零网络 1()Is
线性定常
双零网络1()Vs
驱动点阻抗函数
1 11
1
()( ) ( )
()
VsH s Z s
Is??
驱动点导纳函数
1 11
1
()( ) ( )
()
IsH s Y s
Vs??
2 转移函数
转移阻抗函数
转移电流比 (电流放大倍数 )
1()Is
线性定常
双零网络 2 ()Vs
2()Is
线性定常
双零网络1()Vs1()Is线性定常双零网络 2()Is2 211 ()( ) ( )()VsH s Z sIs??2 211 ()( ) ( )()IsH s Y sVs?? 转移导纳函数 线性定常
双零网络1()Vs 2 ()Vs
2
1
()( ) ( )
() I
IsH s K s
Is??
转移电压比 (电压放大倍数 )
2
1
()( ) ( )
() V
VsH s K s
Vs??
网络函数的基本性质
已知 网络 具有 n+1个节点，电流源接于 i节点和
参考节点之间，求 j节点电压的节点方程
( ) ( ) ( ) ( )n n n s ns s s s??Y V I A
1
() 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
n
ij
j i ij i
inn
s
V s I s s A s
ss ?
?
? ? ?
?? ?
零状态响应 零输入响应
全响应 =零状态响应 +零输入响应
其中 △ n(s)=detYn(s),△ ij(s)为其代数余子式
( ) ( ) ( ) ( )n n n s ns s s s??Y V I A
1
() 1( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
n
ij
j i ij i
inn
sV s I s s A s
ss ?
?? ? ?
?? ?
零状态响应 零输入响应
节点运算导纳矩阵 Yn(s)的元素是由 G,Cs,1/Ls等组
成 (如有受控源,还可能包括 gm)这些元素都是实数
()
()
ij
n
s
s
??
?
一定是 s的实系数多项式之比
初态为零时，零状态响应
0
() ()[ ( ) ] ( ) ( ) ( )
( ) ( )
ij
i j i i
n
s PsZ I s V s I s I s
s Q s
?? ? ?
?
其中 P(s),Q(s),分别为 s的实系数多项式
() ()()
( ) ( )
j
i
Vs PsHs
I s Q s??
零状态响应的
输入的
￡
￡
P(s),Q(s),分别为 s的实系数多项式 () ()
() ( ) ( )j
i
Vs PsHs
I s Q s??
零状态响应的
输入的
￡
￡
网络函数的这一性质，使它具有如下形式
任一网络函数只由网络本身的结构和元件参数
所决定，与激励函数无关。
任一网络函数都是复变量 s的实系数有限函数
(是两个实系数多项式之比 )。 1
1 1 0
1
1 1 0
1 2 1
12
1
()
()
()
()
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
mm
mm
nn
nn
m
i
mi
n
n
j
j
b s b s b s bPs
Hs
Q s a s a s a s a
sz
s z s z s z
kk
s p s p s p
sp
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
??
? ? ? ?
?
? ? ?
??
? ? ?
?
?
?
式中 k=bm/an是一个实比例因子,zi 是分子多项式
的零点，当 s=zi 时,H(s)为零，称为网络函数的
零点,pj 是分母多项式的零点，当 s=pj 时,H(s)
为无穷大，称为函数的极点。
1
1 1 0
1
1 1 0
1 2 1
12
1
()
()
()
()
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
mm
mm
nn
nn
m
i
mi
n
n
j
j
b s b s b s bPs
Hs
Q s a s a s a s a
sz
s z s z s z
kk
s p s p s p
sp
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
??
? ? ? ?
?
? ? ?
??
? ? ?
?
?
?
反射性
网络函数在 s平面的任何一对共轭点上所取得的
两个值互为共轭。
( ) ( )H s H s?
极点或零点的共轭性
任一网络函数的极点 (或零点 )如果不是实数，那
么就一定以共轭复数对的形式出现。就是说，若
s1 是 H(s)的极点 (或零点 ),那么
这点由网络函数的各项系数都是实系数可知。
也是 H(s)的极
1s
点 (或零点 ),这一性质是反射性的必然结果。
在 j?轴上的对称性
对于正弦稳态的网络函数 H(j?),根据反射性有
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
H j H j
H j H j
H j H j
??
??
??
??
?
? ? ??
R e [ ( ) ] R e [ ( ) ]
I m [ ( ) ] I m [ ( ) ]
( ) ( )
( ) ( )
H j H j
H j H j
H j H j
H j H j
??
??
??
??
??
??
??
? ? ?? ?
即 H(j?)的模 │H(j?)│是 ?的偶函数,H(j?)的幅角
∠ H(j?)是 ?的奇函数，所以只要知道 ?? 0的情
况,?<0的情况可按奇偶性确定，这一性质称
H(j?)的对称性。
网络函数的图解表示方法
对已得到的网络函数 1
1
()
()
()
() ()
m
i
i
n
j
j
sz
Ps
H s k
Qs sp
?
?
?
??
?
?
?
其中 zi为 H(s)零点,pj为 H(s)的极点,k为比例常数，
若把 H(s)的所有零极点都标示在复平面上，用 o表示
零点，用 × 表示极点，则称该图为 H(s)的极零图。
2
2
2()
( 1 ) ( 4 8 )
sH s k
s s s
??
? ? ?
j??02j 2j1
2j? 2j1j?1?2
××??1p2p
3p
z
2z零点 1,2 2zj??
极点 p1=-1,p2,3=-2?j2,其极
零图如右所示
网络函数可被极点，零点和增益常数唯一地确定
下来。所以，若给定网络函数的增益常数和极零
图，则该网络函数也就唯一地确定下来了。
若在极零图上任取一点 s1=?1+j?1,则由零点 zi指
向 s1的矢量就表示 s1-zi=(s-zi)│s=s1,由极点 pj指向
s1的矢量就表示 s1-pj=(s-pj)│s=s1,如图所示。 j
p1s?×j?
izi?
j?0?
这样，网络函数 H(s)在任意
点 s1 的值 H(s1) 就可通过增
益常数 k 和极零图上的度量
确定。
设 s1-zi=li∠ ?i (i=1,2,…,m),
s1-pj=dj∠ ?j (j=1,2,…,n)
12
1
12
1
11
()
()
m
n
mn
ij
ij
l l l
H s k
d d d
H s k ??
??
?
? ? ? ? ???
可以用直尺和量角器测出 li,dj和 ?i,?j，这种方法称网络
函数的图解法；也可用代数形式求出它们。
设 (s1-zi)=ai+jbi,
(s1-pj)=aj+jbj
2 2 1
2 2 1
,ta n
,ta n
i
i i i i
i
j
j j j j
j
b
l a b
a
b
d a b
a
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
如果我们对 s 连续取不同的值，利用以上方法求得一
系列的 H(s)的模量和辐角，再利用这些值可以分别作
出 |H(s)| 和 ∠ H(s) 对 s 的曲线,当将变量 s 限制在虚轴
j?上 H(s)→H(j ?),就成为网络函数的频率特性或频率
响应。
网络函数和冲击响应
若我们用 N(s)表示网络函数，用 H(s)表示冲击响
应的 ? 即 H(s)= ?[h(t)]，其中 h(t)是网络在冲击信
号 ?(t)的作用下产生的零状态响应，那么根据网
络函数定义有
[ ( ) ] ( )( ) ( )
[ ( ) ] 1
h t H sN s H s
t?? ? ?
￡
￡
或者说 ?-1[H(s)] = ?-1[N(s)]=h(t)
总之，网络函数等于冲击响应的 ?，冲击响应就
等于网络函数的 ?反变换。
我们已经知道，网络的性质取决于网络本身的
结构和参数，冲击响应实为 t>0的零输入响应，
又是网络函数的 ? 反变换。因此，完全可以通
过对网络函数极点的分析来判定网络的性质。
若网络函数的极点全部在 s的开左半平面上，则
冲击响应随时间的增长趋于零，网络是渐近稳
定的，因为在这种情况下
h(t)= ?-1[H(s)]=k1e-?1tcos(?1t+?1)+ k2e-?2tcos(?2t+?2) +…
0
?j?11j??1??()htt0其中 ?
i>0,i=1,2,…
lim ( ) 0t ht?? ?
若网络函数的极点有一个 (实极点 )或一对 (共轭
复极点 )在 s 的开右半平面上，则冲击响应随时
间的增长趋于 ∞，网络是不稳定的，冲击响应中
含 k1e?1tcos(?1t+?1) 或 k2e?2t
lim ( )t ht??? ? ?
0
?jj 1j??1? t()ht0
若网络函数有位于 j?轴的多重极点，则无论其它
极点位置如何，冲击响应都将随时间增长而趋无
穷大，网络是不稳定的。因为与 j?轴上多重极点
相对应，冲击响应中含有 (k1+k2t+…)cos( ?1t+?1)
lim ( )t ht??? ? ?
若网络函数的极点全部在闭左半平面上，且位于
j?轴上的极点都是单极点，则冲击响应随时间的
增长趋于一恒定常量或等幅振荡，网络是稳定的
或振荡的，与 j?轴上的单极点相对应，冲击响应
中含有 k1cos(?1t+?1) l i m ( ) ( 0 )
t h t C C????? ??0
j
1j??
()htt0
因此，对于一个稳定网络来说，它的任何一个网
络函数的极点都不得位于 s 的开右半平面上,在 j?
轴上的极点必须是一阶的 (无重极点 )。
对于一个渐近稳定网络来说，它的任何一个网络
函数的极点都必须位于 s的开右半平面上。
注意：同一对端钮的驱动点阻抗函数和导纳函数
互为倒数，它们极零点互为倒置，因此，上面的
结论也适用于它们的零点。
转移函数的零点则不受此
限制。
网络函数极点的实部、
虚部的变化与冲击响应
的关系,
实部绝对值增大，衰减
(增长 )加快；虚部绝对
值增大,振荡频率增大。
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
网络函数
网络函数的定义
在正弦稳态分析中，定义网络函数 ()Nj ? 输出相量
输入相量
( ) ( ) ( ) ( ) ( )N j N j A? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
其中 A(?)为 N(j?)的模，称幅频特性。
?(?)为 N(j?)的幅角，称相频特性。
学过 ?,可把网络函数的概念推广到复频域
()()
()
YsHs
Ws??
零状态响应的
输入的
￡
￡
H(s)是 N(j?)的推广,N(j?)是 H(s)的特例
网络函数的分类
1 驱动点函数 1()Is1()Vs
线性定常
双零网络 1()Is
线性定常
双零网络1()Vs
驱动点阻抗函数
1 11
1
()( ) ( )
()
VsH s Z s
Is??
驱动点导纳函数
1 11
1
()( ) ( )
()
IsH s Y s
Vs??
2 转移函数
转移阻抗函数
转移电流比 (电流放大倍数 )
1()Is
线性定常
双零网络 2 ()Vs
2()Is
线性定常
双零网络1()Vs1()Is线性定常双零网络 2()Is2 211 ()( ) ( )()VsH s Z sIs??2 211 ()( ) ( )()IsH s Y sVs?? 转移导纳函数 线性定常
双零网络1()Vs 2 ()Vs
2
1
()( ) ( )
() I
IsH s K s
Is??
转移电压比 (电压放大倍数 )
2
1
()( ) ( )
() V
VsH s K s
Vs??
网络函数的基本性质
已知 网络 具有 n+1个节点，电流源接于 i节点和
参考节点之间，求 j节点电压的节点方程
( ) ( ) ( ) ( )n n n s ns s s s??Y V I A
1
() 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
n
ij
j i ij i
inn
s
V s I s s A s
ss ?
?
? ? ?
?? ?
零状态响应 零输入响应
全响应 =零状态响应 +零输入响应
其中 △ n(s)=detYn(s),△ ij(s)为其代数余子式
( ) ( ) ( ) ( )n n n s ns s s s??Y V I A
1
() 1( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
n
ij
j i ij i
inn
sV s I s s A s
ss ?
?? ? ?
?? ?
零状态响应 零输入响应
节点运算导纳矩阵 Yn(s)的元素是由 G,Cs,1/Ls等组
成 (如有受控源,还可能包括 gm)这些元素都是实数
()
()
ij
n
s
s
??
?
一定是 s的实系数多项式之比
初态为零时，零状态响应
0
() ()[ ( ) ] ( ) ( ) ( )
( ) ( )
ij
i j i i
n
s PsZ I s V s I s I s
s Q s
?? ? ?
?
其中 P(s),Q(s),分别为 s的实系数多项式
() ()()
( ) ( )
j
i
Vs PsHs
I s Q s??
零状态响应的
输入的
￡
￡
P(s),Q(s),分别为 s的实系数多项式 () ()
() ( ) ( )j
i
Vs PsHs
I s Q s??
零状态响应的
输入的
￡
￡
网络函数的这一性质，使它具有如下形式
任一网络函数只由网络本身的结构和元件参数
所决定，与激励函数无关。
任一网络函数都是复变量 s的实系数有限函数
(是两个实系数多项式之比 )。 1
1 1 0
1
1 1 0
1 2 1
12
1
()
()
()
()
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
mm
mm
nn
nn
m
i
mi
n
n
j
j
b s b s b s bPs
Hs
Q s a s a s a s a
sz
s z s z s z
kk
s p s p s p
sp
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
??
? ? ? ?
?
? ? ?
??
? ? ?
?
?
?
式中 k=bm/an是一个实比例因子,zi 是分子多项式
的零点，当 s=zi 时,H(s)为零，称为网络函数的
零点,pj 是分母多项式的零点，当 s=pj 时,H(s)
为无穷大，称为函数的极点。
1
1 1 0
1
1 1 0
1 2 1
12
1
()
()
()
()
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
mm
mm
nn
nn
m
i
mi
n
n
j
j
b s b s b s bPs
Hs
Q s a s a s a s a
sz
s z s z s z
kk
s p s p s p
sp
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
??
? ? ? ?
?
? ? ?
??
? ? ?
?
?
?
反射性
网络函数在 s平面的任何一对共轭点上所取得的
两个值互为共轭。
( ) ( )H s H s?
极点或零点的共轭性
任一网络函数的极点 (或零点 )如果不是实数，那
么就一定以共轭复数对的形式出现。就是说，若
s1 是 H(s)的极点 (或零点 ),那么
这点由网络函数的各项系数都是实系数可知。
也是 H(s)的极
1s
点 (或零点 ),这一性质是反射性的必然结果。
在 j?轴上的对称性
对于正弦稳态的网络函数 H(j?),根据反射性有
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
H j H j
H j H j
H j H j
??
??
??
??
?
? ? ??
R e [ ( ) ] R e [ ( ) ]
I m [ ( ) ] I m [ ( ) ]
( ) ( )
( ) ( )
H j H j
H j H j
H j H j
H j H j
??
??
??
??
??
??
??
? ? ?? ?
即 H(j?)的模 │H(j?)│是 ?的偶函数,H(j?)的幅角
∠ H(j?)是 ?的奇函数，所以只要知道 ?? 0的情
况,?<0的情况可按奇偶性确定，这一性质称
H(j?)的对称性。
网络函数的图解表示方法
对已得到的网络函数 1
1
()
()
()
() ()
m
i
i
n
j
j
sz
Ps
H s k
Qs sp
?
?
?
??
?
?
?
其中 zi为 H(s)零点,pj为 H(s)的极点,k为比例常数，
若把 H(s)的所有零极点都标示在复平面上，用 o表示
零点，用 × 表示极点，则称该图为 H(s)的极零图。
2
2
2()
( 1 ) ( 4 8 )
sH s k
s s s
??
? ? ?
j??02j 2j1
2j? 2j1j?1?2
××??1p2p
3p
z
2z零点 1,2 2zj??
极点 p1=-1,p2,3=-2?j2,其极
零图如右所示
网络函数可被极点，零点和增益常数唯一地确定
下来。所以，若给定网络函数的增益常数和极零
图，则该网络函数也就唯一地确定下来了。
若在极零图上任取一点 s1=?1+j?1,则由零点 zi指
向 s1的矢量就表示 s1-zi=(s-zi)│s=s1,由极点 pj指向
s1的矢量就表示 s1-pj=(s-pj)│s=s1,如图所示。 j
p1s?×j?
izi?
j?0?
这样，网络函数 H(s)在任意
点 s1 的值 H(s1) 就可通过增
益常数 k 和极零图上的度量
确定。
设 s1-zi=li∠ ?i (i=1,2,…,m),
s1-pj=dj∠ ?j (j=1,2,…,n)
12
1
12
1
11
()
()
m
n
mn
ij
ij
l l l
H s k
d d d
H s k ??
??
?
? ? ? ? ???
可以用直尺和量角器测出 li,dj和 ?i,?j，这种方法称网络
函数的图解法；也可用代数形式求出它们。
设 (s1-zi)=ai+jbi,
(s1-pj)=aj+jbj
2 2 1
2 2 1
,ta n
,ta n
i
i i i i
i
j
j j j j
j
b
l a b
a
b
d a b
a
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
如果我们对 s 连续取不同的值，利用以上方法求得一
系列的 H(s)的模量和辐角，再利用这些值可以分别作
出 |H(s)| 和 ∠ H(s) 对 s 的曲线,当将变量 s 限制在虚轴
j?上 H(s)→H(j ?),就成为网络函数的频率特性或频率
响应。
网络函数和冲击响应
若我们用 N(s)表示网络函数，用 H(s)表示冲击响
应的 ? 即 H(s)= ?[h(t)]，其中 h(t)是网络在冲击信
号 ?(t)的作用下产生的零状态响应，那么根据网
络函数定义有
[ ( ) ] ( )( ) ( )
[ ( ) ] 1
h t H sN s H s
t?? ? ?
￡
￡
或者说 ?-1[H(s)] = ?-1[N(s)]=h(t)
总之，网络函数等于冲击响应的 ?，冲击响应就
等于网络函数的 ?反变换。
我们已经知道，网络的性质取决于网络本身的
结构和参数，冲击响应实为 t>0的零输入响应，
又是网络函数的 ? 反变换。因此，完全可以通
过对网络函数极点的分析来判定网络的性质。
若网络函数的极点全部在 s的开左半平面上，则
冲击响应随时间的增长趋于零，网络是渐近稳
定的，因为在这种情况下
h(t)= ?-1[H(s)]=k1e-?1tcos(?1t+?1)+ k2e-?2tcos(?2t+?2) +…
0
?j?11j??1??()htt0其中 ?
i>0,i=1,2,…
lim ( ) 0t ht?? ?
若网络函数的极点有一个 (实极点 )或一对 (共轭
复极点 )在 s 的开右半平面上，则冲击响应随时
间的增长趋于 ∞，网络是不稳定的，冲击响应中
含 k1e?1tcos(?1t+?1) 或 k2e?2t
lim ( )t ht??? ? ?
0
?jj 1j??1? t()ht0
若网络函数有位于 j?轴的多重极点，则无论其它
极点位置如何，冲击响应都将随时间增长而趋无
穷大，网络是不稳定的。因为与 j?轴上多重极点
相对应，冲击响应中含有 (k1+k2t+…)cos( ?1t+?1)
lim ( )t ht??? ? ?
若网络函数的极点全部在闭左半平面上，且位于
j?轴上的极点都是单极点，则冲击响应随时间的
增长趋于一恒定常量或等幅振荡，网络是稳定的
或振荡的，与 j?轴上的单极点相对应，冲击响应
中含有 k1cos(?1t+?1) l i m ( ) ( 0 )
t h t C C????? ??0
j
1j??
()htt0
因此，对于一个稳定网络来说，它的任何一个网
络函数的极点都不得位于 s 的开右半平面上,在 j?
轴上的极点必须是一阶的 (无重极点 )。
对于一个渐近稳定网络来说，它的任何一个网络
函数的极点都必须位于 s的开右半平面上。
注意：同一对端钮的驱动点阻抗函数和导纳函数
互为倒数，它们极零点互为倒置，因此，上面的
结论也适用于它们的零点。
转移函数的零点则不受此
限制。
网络函数极点的实部、
虚部的变化与冲击响应
的关系,
实部绝对值增大，衰减
(增长 )加快；虚部绝对
值增大,振荡频率增大。
