第 十 章 拉普拉斯变换
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
欧姆定律的运算形式：运算阻抗（导纳） ()Is()Vs??
1CsRLs
在零状态下
1( ) ( ) ( ) ( )V s R L s I s Z s I s
Cs
??? ? ? ???
??
在零状态情况下的运算形式和符号形式是一样
的，只要将 s→j ?或 j?→s 即可。
从以上情况看，直流电阻网络中的公式与复频
域中的公式，在形式上完全一样。因此，可以
很自然地想到，和符号电路一样，在直流电阻
网络中的方法都能用到复频域的分析中来。
()it()vt??RLC
网络分析方法的运算形式
① 节点分析 ( ) ( ) ( ) ( )n n n s ns s s s??Y V I A
其中 Yn为节点运算导纳的矩阵,Vn为节点电压列向
量,Ins 为节点初始值列向量,An为节点初始值列向
量，元素 ai 由电容电压 CvC(0-)及电感电流 iL(0-)/s所
决定，上述矩阵或列向量诸元素均为 s 的函数。
② 网孔分析 ( ) ( ) ( ) ( )m m m s ms s s s??Z I V B
其中 Zm为网络运算阻抗矩阵,Im为网络电流列向量，
Vms为网络电压源列向量,Bm为网络初始值列向量，
元素 bi 由电感电流 LiL(0-)及电容电压 vC(0-)/s所决定，
这些矩阵或列向量诸元素都是 s的函数。
③ 回路分析
LN ?
含源
RLCM 含受控源
初态 0()Vs
Is??④ 割集分析 ( ) ( ) ( ) ( )l l l s ls s s s??Z I V B( ) ( ) ( ) ( )t t t s ts s s s??Y V I A戴维宁定理 在直流电阻网络中的网络定理，也适用于复频域
其中 Zeq(s)是双零条件下 (独立源置零，初态置零 )的等
值运算阻抗，受控源保留,Voc(s)是独立源和初态共同
作用下的端口开路电压。
LN()eqZsVsIsocVs????
互易定理在复频域分析中的应用
互易定理适用于网络方程的系数矩阵具有对称性
的网络，也就是说，一般情况下互易定理适用于
由电阻、电容、电感、耦合电感和理想变压器等
组成的处于零状态的线性定常网络，网络中一般
不能有回转器，受控源和独立电源，满足这些条
件的网络称互易网络。
互易定理之一
21
()()
()
IsYs
Vs???
12
? ()()
? ()
IsYs
Vs
?
?
?
互易定理之一告知
Y21(s)=Y12(s)
或若 ? ( ) ( )V s V s
???
则 ? ( ) ( )I s I s
???
互易定理之二
21
()()
()
VsZs
Is
?
?
?
12
? ()()
? ()
VsZs
Is
?
?
?
互易定理之二告知
Z21(s)=Z12(s)
或若 ? ( ) ( )I s I s???
则 ? ( ) ( )V s V s???
?'? ?'? ()Is?()Vs? N??'? '?Is
? ? ()Vs?N'? ?'?()
?()Is? N??'? '?Vs
? ? ()Is?N??
互易定理之三
互易定理之三告知
H21(s)=H12(s)
或若
则
21
()()
()
IsHs
Is
?
?
?
12
? ()()
? ()
VsHs
Vs
?
?
?
? ( ) ( )V s I s???的值 的值
? ( ) ( )V s I s???的值 的值
改进的节点分析法
改进的节点分析法的特点是将网络的独立节点
电压及难处理支路的电流共同作为待求变量，
去建立电路的节点方程，然后分析求解。
?'? ?'? ()Is?()Is? N? ()Vs
?'??Vs?N????
例 ① SV6I 2I 7I 1mngV3I5mrI4I② ③
1Ls1G 5GCs????
右图为左图的运算电路图，拟用节点分析法，因
支路 6和 7为难处理支路，故除 Vn1,Vn2,Vn3为独立
节点电压外,I6和 I7也作为待求变量。
对支路 6,rmI5=Vn2,I5=G5(Vn1-Vn3)
Vn2=rmG5(Vn1-Vn3) ? rmG5Vn1-Vn2- rmG5Vn3=0
对支路 7,Vs=Vn1
① Sv6i 2i 7i 1mngv3i5mri4i② ③1R 5RCL??
改进的节点分析方程 (受控电流源当作独立源处理 )
支路 6,rmG5Vn1-Vn2- rmG5Vn3=0
支路 7,Vs=Vn1
1 5 1 5
1
11
2
3155
6
55
7
01
0
0 1 0
0
1
0 0 0
0
1 0 0
1 0 0 0 0
n
n
n m n
mm
S
G G G G
V
G G C s
V
V g VGG
Ls
I
r G r G
IV
? ? ???
? ? ? ???
?? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ??????
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ??? ? ? ? ?
??
将受控源参数移到方程左边
1 5 1 5
1
11
2
355
6
55
7
01
0
0 1 0
0
1
00 0 0
0
1 0 0
1 0 0 0 0
n
n
nm
mm
S
G G G G
V
G G C s
V
Vg G G
Ls
I
r G r G
IV
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? ? ? ?
? ? ? ??? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ???
? ? ? ?? ? ? ?
??
① SV6I 2I 7I 1mngV3I5mrI4I② ③1Ls1G 5GCs??
将难处理支路的电流作为待求变量
① 是使该行用来表达难处
理支路的方程关系。
② 是为满足 KCL方程，即
节点 ① 和节点 ② 方程。
固有频率
网络函数是和零状态响应相联系的，固有频率
是和零输入响应相联系的，固有频率反映了网
络本身所具有的特性，是由网络本身的参数和
结构所决定。但网络函数与固有频率并非毫无
关系，通常由网络函数来确定固有频率较为简
便。
① SV6I 2I 7I 1mngV3I5mrI 4I② ③1Ls1G 5GCs????
网络变量的固有频率
在线性定常电路中，网络变量 y的零输入响应方
程的特征方程的根 si各不相同，则零输入响应
1212
1
() ii
ns t s ts t s t
ii
i
y t k e k e k e k e
?
? ? ? ? ? ? ?
称 si为网络变量 y的一阶固有频率。 若 s1为特征
方程的 3重根，则零输入响应中将含有
1 1 1 1
321
1 2 3
1
s t s t s t s ti
i
i
k e k t e k t e k t e?
?
? ? ? ?
零输入响应可表示为 13 1
14
() in ststiii
ii
y t k t e k e?
??
????
则称 s1为网络变量 y的 3阶固有频率
一般的零输入响应表达式为
1
11
() i i
rm
stj
ij
ij
y t k t e?
??
? ??
称 si为网络变量 y的 ri阶固有频率。
网络变量的固有频率确定该变量零输入响应的
性质，从网络变量的固有频率也可知道网络是
否稳定，主要看固有频率落在 s平面上的位置，
在开左半平面、开右半平面，在虚轴上等，若
在 j? 轴上有高阶固有频率或在右半平面上有固
有频率，则网络是不稳定的，否则是稳定的。
网络的固有频率
网络中所有网络变量固有频率的集合，称网络的
固有频率，即网络中任一变量的固有频率都是网
络的固有频率。
已知节点分析方程为 ( ) ( ) ( ) ( )
n n n s ns s s s??Y V I A
零输入响应节点方程
其特征多项式 △ n(s)= det [Yn(s)]=0的非零根就是
网络的非零固有频率，其中 Yn(s)应是泛指的网络
方程的系数矩阵，这种求网络固有频率的方法称
系数矩阵法。
零输入响应
1
1( ) ( ) ( )
()
n
j i i j i
in
V s s A ss
?
??? ?
其中 △ ij(s)Ai(s)为网络方程系数矩阵 Yn(s)的代数余子式
若上式分子 △ ij(s)Ai(s)中正好有公因子和分母中
的公因子 (s-si) 相除，则网络变量中就不出现固
有频率 si，所以, 在某些情况下，网络中的不同
网络变量具有不同的固有频率。
右图中 C1=C2=C3=1F，
G1=G2=1S,设电容初始电
压 vC1(0)=V10, vC2(0)=V20
而 vC3(0)=V10-V20
由于 C1,C2,C3构成回路，只有两个电容电压
是独立的。零输入条件下的节点方程,
2v?1v ?3v1C1G3C2GC???
零输入条件下的节点方程
1 1 3 3 1 1 0 3 1 0 2 01
3 2 2 3 2 2 0 3 1 0 2 02
( ) ( )()
( ) ( )()
G C C s C s C V C V VVs
C s G C C s C V C V VVs
? ? ? ? ?? ? ? ??? ?
? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ?
1 0 2 01
2 0 1 02
2()12
2()12
VVVsss
VVVsss
??? ?????? ? ??????
????? ?? ??
10 10 20
1
20 20 10
2
3 ( 2 )
()
( 3 1 ) ( 1 )
3 ( 2 )
()
( 3 1 ) ( 1 )
V s V V
Vs
ss
V s V V
Vs
ss
??
?
??
??
?
??
v1和 v2都有 -?和 -1
两个固有频率
1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 03 1 2 3 ( ) 3 ( ) 3 ( )( ) ( ) ( ) ( 3 1 ) ( 1 ) ( 3 1 )V V s V V V VV s V s V s s s s? ? ? ?? ? ? ?? ? ?
v3只有 -?一个固有频率,-1不是 v3的固有频率，
整个网络的固有频率集为 {-?,-1}
2v?v 3v1G3CC?
s1=-?,s2=-1,结果与上相同
212( ) 3 4 1 ( 3 1 ) ( 1 ) 0
12
sss s s s s
ss
??? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
网络固有频率的个数
如上所述，若 si是网络的固有频率，则网络中
必有一个网络变量的零输入响应中含有
istike
其中 ki 的值由网络的初始状态决定，因此，网
络如果有 n个固有频率 (k阶固有频率算作 k个固
有频率 )，那么就有 n个积分常数 ki 需要由网络
的初始状态决定。为此，网络中必须有 n 个独
立的具有初始状态的变量 ( 电容电压或电感电
流 )，反之亦然。
结论 网络的固有频率数 =网络的独立储能元件数
（或独立状态变量数）
这个数目也称网络的复杂度
网络中影响网络变量 (电容电压或电感电流 )的独
立性的因素,
① 无源 RLC网络 若网络中不含全电容回路 (全部
由电容或由电容和独立电压源构成的回路 ),则每
个电容电压都是独立的，如果含有一个全电容回
路，其中将有一个电容电压受其它电容电压的约
束或电压源的制约。因此，如果网络中有 nC个电
容元件，同时含有 lC个相互独立的全电容回路，
则独立电容电压数 =nC- lC
如果网络中不含全电感割集 (全部由电感或由
电感和独立电流源构成的割集 ) 则每个电感电
流都是独立的，如果含有一个全电感割集，其
中将有一个电感电流受其它电感电流的约束或
受电流源的制约。所以，如果网络中有 nL个电
感元件，同时含有 qL个全电感割集，则独立电
感电流数 =nL-qL
因此，无源 RLC网络中，网络的复杂度，即网
络固有频率个数为,n= nC+nL- lC- qL
前面例题中，有三个电容，
且构成了一个全电容回路，
所以网络的复杂度为 2
2v?1v ?3v11G3C2GC???
② 有源网络 网络中含有受控源或负值 RLC元
件，称有源网络。在有源网络中，全电容回路
和全电感割集，仍然对电容电压和电感电流施
加约束。另外，受控源和负值元件的作用也可
能产生对电容电压和电感电流的约束。这种约
束只有当网络元件取某一特定数值时才产生。
有源网络无法写出明确的网络复杂度公式，只
能给出其上下限,
0? n? nC+nL-lC-qL
例
节点分析 (Cs+G)VC(s)=CvC(0-)-?IC(s)
如果 ?= -1 则 VC(s)=0 没有固有频率。
其中 IC(s)=CsVC(s)-CvC(0-)
(1 ) ( 0 )()
(1 )
CC CvVs
Cs G
?
?
???
??
如果 ?≠-1则有一个固有频率
1
1
(1 )s RC??? ?
CvCii?G??
例
I(s)=-C2[sV2(s)-v2(0-)]
= -C2sV2(s)+C2v2(0-)
代入方程，经整理得
其中 v1(0-)=v2(0-),i=2i+i2
1 2 1 1 2 2
3 3 3
( ) ( ) (0 ) (0 ) 2 ( )
( ) (0 )
a
b
C C s G G V s C v C v I s
G C s G V s C v
??
?
? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?
222 dvi i C dt? ? ? ?
1 2 1 2 1
3 3 3
( ) ( ) ( ) (0 )
( ) (0 )
a
b
C C s G G V s C C v
G C s G V s C v
?
?
? ? ? ?? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?
2v2i2i1i 3ii1v 3v? ?GCCC?????
解得
1 2 1 2 1
3 3 3
( ) ( ) ( ) (0 )
( ) (0 )
a
b
C C s G G V s C C v
G C s G V s C v
?
?
? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ?
1 2 3 1 3 3
2
1 2 3 1 2 3
3 1 2 3 1 2 1
2
1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( 0 ) ( 0 )
()
( ) ( )
[ ( ) ] ( 0 ) ( ) ( 0 )
()
( ) ( )
a
b
C C C s G v C G v
Vs
C C C s C C C G s
C C C s G v C C G v
Vs
C C C s C C C G s
??
??
? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
若 C1≠C2，网络有两个固有频率；若 C1=C2，则
只有一个固有频率 [此时 Va(s)=Vb(s)]，于是
v1=v2=v3，三个电容电压只有一个是独立的。
2v2i2i1i 3ii1v 3v? ?CC???
总之，无论在无源网络中还是在有源网
络中，网络固有频率的个数至多等于网
络中储能元件的总数，而就某一网络变
量来说，其固有频率可能还要少些。值
得指出，除某些特殊网络以外，在大多
数网络中，不同的网络变量都具有相同
的固有频率，这样，网络变量的固有频
率和网络的固有频率也就没有什么区别
了。
零固有频率
当网络变量的零输入响应中含有 ke0t=k，即常数
项，称为零固有频率。
网络中出现零固有频率，就是网络变量的零输
入响应中含有常数项。若该网络变量是电流，
即电流是常量的话，只能想到电感。电感上的
电压
0LL divL dt??
因此，纯电感回路可以满足这一情况。所以全
电感回路电流的零输入响应中可能有常数项。
至于电容，除了电流为零的情况外，其中的电
流不可能是常量。
若该网络变量是电压，即电压是常量的话，也只
能想到电容。电容中的电流
0CC dviC dt??
则组成割集的纯电容中没有电流流过，而可能有
恒定的电压在电容上。所以纯电容割集电压的零
输入响应中可以有常数项。
至于电感，除了其两端的电压恒为零的情况外，
不可能是常量或为零。
网络中出现零固有频率只有以下两种情况才有可
能,① 全电容割集 (全部由电容或由电容和独立
电流源构成的割集 )
② 全电感回路 (全部由电感或由电感和独立电压源构成的回路 )
全电感回路中的恒定电流可以是其初始状态，也
可以是与其构成回路的电压源在置零前提供的，
全电容割集的恒定电压可以是其初始状态，也可
以是与其构成割集的电流源在置零前提供的。
如果网络中含有 qC个全电容割集和 lL个全电感回
路，则网络的零固有频率数 n0=qC+lL
在进行网络分析时，如能事先对网络的固有频率
和网络变量的固有频率作出判断，有时会对分析
求解带来方便。如网络具有某种对称性 (例题中含
三个电容的例子、电桥平衡电路 )时，网络变量的
固有频率可能不同；网络中具有零固有频率时，
各网络变量的固有频率也不完全相同。
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
欧姆定律的运算形式：运算阻抗（导纳） ()Is()Vs??
1CsRLs
在零状态下
1( ) ( ) ( ) ( )V s R L s I s Z s I s
Cs
??? ? ? ???
??
在零状态情况下的运算形式和符号形式是一样
的，只要将 s→j ?或 j?→s 即可。
从以上情况看，直流电阻网络中的公式与复频
域中的公式，在形式上完全一样。因此，可以
很自然地想到，和符号电路一样，在直流电阻
网络中的方法都能用到复频域的分析中来。
()it()vt??RLC
网络分析方法的运算形式
① 节点分析 ( ) ( ) ( ) ( )n n n s ns s s s??Y V I A
其中 Yn为节点运算导纳的矩阵,Vn为节点电压列向
量,Ins 为节点初始值列向量,An为节点初始值列向
量，元素 ai 由电容电压 CvC(0-)及电感电流 iL(0-)/s所
决定，上述矩阵或列向量诸元素均为 s 的函数。
② 网孔分析 ( ) ( ) ( ) ( )m m m s ms s s s??Z I V B
其中 Zm为网络运算阻抗矩阵,Im为网络电流列向量，
Vms为网络电压源列向量,Bm为网络初始值列向量，
元素 bi 由电感电流 LiL(0-)及电容电压 vC(0-)/s所决定，
这些矩阵或列向量诸元素都是 s的函数。
③ 回路分析
LN ?
含源
RLCM 含受控源
初态 0()Vs
Is??④ 割集分析 ( ) ( ) ( ) ( )l l l s ls s s s??Z I V B( ) ( ) ( ) ( )t t t s ts s s s??Y V I A戴维宁定理 在直流电阻网络中的网络定理，也适用于复频域
其中 Zeq(s)是双零条件下 (独立源置零，初态置零 )的等
值运算阻抗，受控源保留,Voc(s)是独立源和初态共同
作用下的端口开路电压。
LN()eqZsVsIsocVs????
互易定理在复频域分析中的应用
互易定理适用于网络方程的系数矩阵具有对称性
的网络，也就是说，一般情况下互易定理适用于
由电阻、电容、电感、耦合电感和理想变压器等
组成的处于零状态的线性定常网络，网络中一般
不能有回转器，受控源和独立电源，满足这些条
件的网络称互易网络。
互易定理之一
21
()()
()
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12
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互易定理之一告知
Y21(s)=Y12(s)
或若 ? ( ) ( )V s V s
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则 ? ( ) ( )I s I s
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互易定理之二
21
()()
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互易定理之二告知
Z21(s)=Z12(s)
或若 ? ( ) ( )I s I s???
则 ? ( ) ( )V s V s???
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互易定理之三
互易定理之三告知
H21(s)=H12(s)
或若
则
21
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? ( ) ( )V s I s???的值 的值
? ( ) ( )V s I s???的值 的值
改进的节点分析法
改进的节点分析法的特点是将网络的独立节点
电压及难处理支路的电流共同作为待求变量，
去建立电路的节点方程，然后分析求解。
?'? ?'? ()Is?()Is? N? ()Vs
?'??Vs?N????
例 ① SV6I 2I 7I 1mngV3I5mrI4I② ③
1Ls1G 5GCs????
右图为左图的运算电路图，拟用节点分析法，因
支路 6和 7为难处理支路，故除 Vn1,Vn2,Vn3为独立
节点电压外,I6和 I7也作为待求变量。
对支路 6,rmI5=Vn2,I5=G5(Vn1-Vn3)
Vn2=rmG5(Vn1-Vn3) ? rmG5Vn1-Vn2- rmG5Vn3=0
对支路 7,Vs=Vn1
① Sv6i 2i 7i 1mngv3i5mri4i② ③1R 5RCL??
改进的节点分析方程 (受控电流源当作独立源处理 )
支路 6,rmG5Vn1-Vn2- rmG5Vn3=0
支路 7,Vs=Vn1
1 5 1 5
1
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将受控源参数移到方程左边
1 5 1 5
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① SV6I 2I 7I 1mngV3I5mrI4I② ③1Ls1G 5GCs??
将难处理支路的电流作为待求变量
① 是使该行用来表达难处
理支路的方程关系。
② 是为满足 KCL方程，即
节点 ① 和节点 ② 方程。
固有频率
网络函数是和零状态响应相联系的，固有频率
是和零输入响应相联系的，固有频率反映了网
络本身所具有的特性，是由网络本身的参数和
结构所决定。但网络函数与固有频率并非毫无
关系，通常由网络函数来确定固有频率较为简
便。
① SV6I 2I 7I 1mngV3I5mrI 4I② ③1Ls1G 5GCs????
网络变量的固有频率
在线性定常电路中，网络变量 y的零输入响应方
程的特征方程的根 si各不相同，则零输入响应
1212
1
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ii
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称 si为网络变量 y的一阶固有频率。 若 s1为特征
方程的 3重根，则零输入响应中将含有
1 1 1 1
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零输入响应可表示为 13 1
14
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则称 s1为网络变量 y的 3阶固有频率
一般的零输入响应表达式为
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称 si为网络变量 y的 ri阶固有频率。
网络变量的固有频率确定该变量零输入响应的
性质，从网络变量的固有频率也可知道网络是
否稳定，主要看固有频率落在 s平面上的位置，
在开左半平面、开右半平面，在虚轴上等，若
在 j? 轴上有高阶固有频率或在右半平面上有固
有频率，则网络是不稳定的，否则是稳定的。
网络的固有频率
网络中所有网络变量固有频率的集合，称网络的
固有频率，即网络中任一变量的固有频率都是网
络的固有频率。
已知节点分析方程为 ( ) ( ) ( ) ( )
n n n s ns s s s??Y V I A
零输入响应节点方程
其特征多项式 △ n(s)= det [Yn(s)]=0的非零根就是
网络的非零固有频率，其中 Yn(s)应是泛指的网络
方程的系数矩阵，这种求网络固有频率的方法称
系数矩阵法。
零输入响应
1
1( ) ( ) ( )
()
n
j i i j i
in
V s s A ss
?
??? ?
其中 △ ij(s)Ai(s)为网络方程系数矩阵 Yn(s)的代数余子式
若上式分子 △ ij(s)Ai(s)中正好有公因子和分母中
的公因子 (s-si) 相除，则网络变量中就不出现固
有频率 si，所以, 在某些情况下，网络中的不同
网络变量具有不同的固有频率。
右图中 C1=C2=C3=1F，
G1=G2=1S,设电容初始电
压 vC1(0)=V10, vC2(0)=V20
而 vC3(0)=V10-V20
由于 C1,C2,C3构成回路，只有两个电容电压
是独立的。零输入条件下的节点方程,
2v?1v ?3v1C1G3C2GC???
零输入条件下的节点方程
1 1 3 3 1 1 0 3 1 0 2 01
3 2 2 3 2 2 0 3 1 0 2 02
( ) ( )()
( ) ( )()
G C C s C s C V C V VVs
C s G C C s C V C V VVs
? ? ? ? ?? ? ? ??? ?
? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ?
1 0 2 01
2 0 1 02
2()12
2()12
VVVsss
VVVsss
??? ?????? ? ??????
????? ?? ??
10 10 20
1
20 20 10
2
3 ( 2 )
()
( 3 1 ) ( 1 )
3 ( 2 )
()
( 3 1 ) ( 1 )
V s V V
Vs
ss
V s V V
Vs
ss
??
?
??
??
?
??
v1和 v2都有 -?和 -1
两个固有频率
1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 03 1 2 3 ( ) 3 ( ) 3 ( )( ) ( ) ( ) ( 3 1 ) ( 1 ) ( 3 1 )V V s V V V VV s V s V s s s s? ? ? ?? ? ? ?? ? ?
v3只有 -?一个固有频率,-1不是 v3的固有频率，
整个网络的固有频率集为 {-?,-1}
2v?v 3v1G3CC?
s1=-?,s2=-1,结果与上相同
212( ) 3 4 1 ( 3 1 ) ( 1 ) 0
12
sss s s s s
ss
??? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
网络固有频率的个数
如上所述，若 si是网络的固有频率，则网络中
必有一个网络变量的零输入响应中含有
istike
其中 ki 的值由网络的初始状态决定，因此，网
络如果有 n个固有频率 (k阶固有频率算作 k个固
有频率 )，那么就有 n个积分常数 ki 需要由网络
的初始状态决定。为此，网络中必须有 n 个独
立的具有初始状态的变量 ( 电容电压或电感电
流 )，反之亦然。
结论 网络的固有频率数 =网络的独立储能元件数
（或独立状态变量数）
这个数目也称网络的复杂度
网络中影响网络变量 (电容电压或电感电流 )的独
立性的因素,
① 无源 RLC网络 若网络中不含全电容回路 (全部
由电容或由电容和独立电压源构成的回路 ),则每
个电容电压都是独立的，如果含有一个全电容回
路，其中将有一个电容电压受其它电容电压的约
束或电压源的制约。因此，如果网络中有 nC个电
容元件，同时含有 lC个相互独立的全电容回路，
则独立电容电压数 =nC- lC
如果网络中不含全电感割集 (全部由电感或由
电感和独立电流源构成的割集 ) 则每个电感电
流都是独立的，如果含有一个全电感割集，其
中将有一个电感电流受其它电感电流的约束或
受电流源的制约。所以，如果网络中有 nL个电
感元件，同时含有 qL个全电感割集，则独立电
感电流数 =nL-qL
因此，无源 RLC网络中，网络的复杂度，即网
络固有频率个数为,n= nC+nL- lC- qL
前面例题中，有三个电容，
且构成了一个全电容回路，
所以网络的复杂度为 2
2v?1v ?3v11G3C2GC???
② 有源网络 网络中含有受控源或负值 RLC元
件，称有源网络。在有源网络中，全电容回路
和全电感割集，仍然对电容电压和电感电流施
加约束。另外，受控源和负值元件的作用也可
能产生对电容电压和电感电流的约束。这种约
束只有当网络元件取某一特定数值时才产生。
有源网络无法写出明确的网络复杂度公式，只
能给出其上下限,
0? n? nC+nL-lC-qL
例
节点分析 (Cs+G)VC(s)=CvC(0-)-?IC(s)
如果 ?= -1 则 VC(s)=0 没有固有频率。
其中 IC(s)=CsVC(s)-CvC(0-)
(1 ) ( 0 )()
(1 )
CC CvVs
Cs G
?
?
???
??
如果 ?≠-1则有一个固有频率
1
1
(1 )s RC??? ?
CvCii?G??
例
I(s)=-C2[sV2(s)-v2(0-)]
= -C2sV2(s)+C2v2(0-)
代入方程，经整理得
其中 v1(0-)=v2(0-),i=2i+i2
1 2 1 1 2 2
3 3 3
( ) ( ) (0 ) (0 ) 2 ( )
( ) (0 )
a
b
C C s G G V s C v C v I s
G C s G V s C v
??
?
? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?
222 dvi i C dt? ? ? ?
1 2 1 2 1
3 3 3
( ) ( ) ( ) (0 )
( ) (0 )
a
b
C C s G G V s C C v
G C s G V s C v
?
?
? ? ? ?? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?
2v2i2i1i 3ii1v 3v? ?GCCC?????
解得
1 2 1 2 1
3 3 3
( ) ( ) ( ) (0 )
( ) (0 )
a
b
C C s G G V s C C v
G C s G V s C v
?
?
? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ?
1 2 3 1 3 3
2
1 2 3 1 2 3
3 1 2 3 1 2 1
2
1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( 0 ) ( 0 )
()
( ) ( )
[ ( ) ] ( 0 ) ( ) ( 0 )
()
( ) ( )
a
b
C C C s G v C G v
Vs
C C C s C C C G s
C C C s G v C C G v
Vs
C C C s C C C G s
??
??
? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
若 C1≠C2，网络有两个固有频率；若 C1=C2，则
只有一个固有频率 [此时 Va(s)=Vb(s)]，于是
v1=v2=v3，三个电容电压只有一个是独立的。
2v2i2i1i 3ii1v 3v? ?CC???
总之，无论在无源网络中还是在有源网
络中，网络固有频率的个数至多等于网
络中储能元件的总数，而就某一网络变
量来说，其固有频率可能还要少些。值
得指出，除某些特殊网络以外，在大多
数网络中，不同的网络变量都具有相同
的固有频率，这样，网络变量的固有频
率和网络的固有频率也就没有什么区别
了。
零固有频率
当网络变量的零输入响应中含有 ke0t=k，即常数
项，称为零固有频率。
网络中出现零固有频率，就是网络变量的零输
入响应中含有常数项。若该网络变量是电流，
即电流是常量的话，只能想到电感。电感上的
电压
0LL divL dt??
因此，纯电感回路可以满足这一情况。所以全
电感回路电流的零输入响应中可能有常数项。
至于电容，除了电流为零的情况外，其中的电
流不可能是常量。
若该网络变量是电压，即电压是常量的话，也只
能想到电容。电容中的电流
0CC dviC dt??
则组成割集的纯电容中没有电流流过，而可能有
恒定的电压在电容上。所以纯电容割集电压的零
输入响应中可以有常数项。
至于电感，除了其两端的电压恒为零的情况外，
不可能是常量或为零。
网络中出现零固有频率只有以下两种情况才有可
能,① 全电容割集 (全部由电容或由电容和独立
电流源构成的割集 )
② 全电感回路 (全部由电感或由电感和独立电压源构成的回路 )
全电感回路中的恒定电流可以是其初始状态，也
可以是与其构成回路的电压源在置零前提供的，
全电容割集的恒定电压可以是其初始状态，也可
以是与其构成割集的电流源在置零前提供的。
如果网络中含有 qC个全电容割集和 lL个全电感回
路，则网络的零固有频率数 n0=qC+lL
在进行网络分析时，如能事先对网络的固有频率
和网络变量的固有频率作出判断，有时会对分析
求解带来方便。如网络具有某种对称性 (例题中含
三个电容的例子、电桥平衡电路 )时，网络变量的
固有频率可能不同；网络中具有零固有频率时，
各网络变量的固有频率也不完全相同。
