第二章 函数
§1 函数概念
证明下列不等式：
(1) ；
(2) ；
(3) .
2．求证 .
3．求证
；
.
4．已知三角形的两条边分别为和，它们之间的夹角为，试求此三角形的面，并求其定义域.
5．在半径为的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数的定义域.
6．某公共汽车路线全长为 20km，票价规定如下：乘坐 5km以下（包括5km）者收费 1 元；超过 5km 但在15km 以下（包括 15km）者收费 2 元；其余收费 2 元 5 角. 试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形.
7．一脉冲发生器产生一个三角波. 若记它随时间的变化规律为，且三个角分别有对应关系，，，求，并作出函数的图形.
8．判别下列函数的奇偶性：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
9．判别下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
10．证明 在 有界.
11．用肯定语气叙述函数无界，并证明在无界.
12．试证两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数.
13．设为定义在内的任何函数，证明可分解成奇函数和偶函数之和.
14．用肯定语气叙述：在上
(1) 不是奇函数；
(2) 不是单调上升函数；
(3) 无零点；
(4) 无上界.
§2 复合函数与反函数
设，求证 .
求下列函数的反函数及其定义域：
(1) ；
(2) ；
(3)
3．设，为实轴上单调函数，求证也是实轴上的单调函数.
4．设
求复合函数，.
5．设 ，求.
6．设 ，试求.
7．设 ，求，，.
§3 初等函数
1．对下列函数分别讨论函数的定义域和值域，奇偶性，周期性，有界性，并作出函数的图形：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ； (6) .
2．若已知函数的图形，作函数
，，
的图形，并说明的图形与的图形的关系.
3．若已知函数的图形，试作函数
的图形，并说明的图形与、图形的关系.
作出下列函数的图形：
(1) ； (2) .
5．符号函数
试分别作出，，的图形.
6．作出下列函数的图形：
(1) ； (2) .
