第三章 极限与函数的连续性 §1 极限问题的提出 §2 数列的极限 用定义证明下列数列的极限为零： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) ； (10) . 2．用定义证明： (1) ； (2) ； (3) ，其中  (4) ，其中  3．用定义证明： (1) 若，则对任一正整数，有； (2) 若，则.反之是否成立？ (3) 若，且，则存在，当时，有； (4) 若，且，则. 4．极限的定义改成下面形式是否可以？（其中“”是逻辑符号，表示“存在”.） (1) ，，当时,有； (2) ，，当时,有； (2) ，，当时,有（为常数）. 5．若 收敛，能否断定、也收敛？ 6．设 ，且，求证： ，. 7．利用极限的四则运算法则求极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 8．求下列极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ，； (9) ； (10) ； (11) ； (12) . 9．证明：若，中一个是收敛数列，另一个是发散数列，则是发散数列；又问和是否也是发散数列？为什么？ 10．设，证明发散. 11．若为个正数，证明： . 12．设，证明： (1) ； (2) 若，则. 13．利用单调有界原理，证明存在，并求出它： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 14．若  证明：. 15．证明：若，且，. 16．设，证明： (1) ；（又问，它的逆命题成立否？） (2) 若，则. 17．应用上题的结果证明下列各题： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) 若，则. 18．用定义证明下列数列为无穷大量： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 19．证明：若为无穷大量，为有界变量，则为无穷大量. 20．(1) 两个无穷大量的和的极限如何？试讨论各种可能性？ (2)讨论无穷大量和无穷小量的和、差、商的极限的情形； (3)讨论无穷大量和无穷小量的乘积可能发生的各种情形. 21．利用，求下列极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . §3 函数的极限 1．用极限定义证明下列极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) ； (10) . 2．用极限的四则运算法则求下列极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) （为正整数）； (8) . 3．设，证明：若，则，其中正整数. 4．证明：若，则，但反之不真. 5．求下列函数字所示点的左右极限： (1)  在； (2)  在； (3)  在； (4)  在，是正整数； (5)  在. 6．求下列极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) . 7．用变量替换求下列极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 8．设在上单调上升，，若，求证： （可以为无穷）. 9．设在集合上定义，则在上无界的充要条件是：存在 ，使. 10．利用重要极限求极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) ； (10) ； (11) ； (12) ； (13) ； (14) ； (15) ； (16) ； (17) ； (18) ； (19) ； (20) ； (21) ； (22) ； (23) ； (24) . 11．证明不存在 . 12．证明不存在，其中  13．求极限 . 14．用定义证明： (1) 若，，则； (2) 若，，则. 15．若，，证明：. 16．证明的充要条件是：对任何数列，有 . 17．证明的充要条件是：对任何数列，有 . 18．设函数在上满足方程，且，证明： . §4 函数的连续性 用定义证明下列函数在定义域内连续： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 2．指出下列函数的间断点并说明其类型： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9)  (10)  (11)  (12)  3．当时下列函数无定义，试定义的值，使在连续： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 4．设是连续函数，证明对任何，函数  是连续的. 5．若在点连续，那么和是否也在点连续？反之如何？ 6．若函数字点连续，而在点不连续，问此二函数的和、积在点是否连续？又若和在点都不连续，问此二函数的和、积在点是否必不连续？ 7．证明若连续函数在有理点的函数值为0，则此函数恒为0. 8．若在连续，恒正，按定义证明在连续. 9．若和都在连续，试证明和都在连续. 10．证明：设为区间上单调函数，若为的间断点，则必是的第一类间断点. 11．若在,，则在中必有，使得 . 12．研究复合函数和的连续性. 设 (1) ； (2) . 13．证明：若在连续，且不存在，使，则在恒正或恒负. 14．设为上的递增函数，值域为，证明在上连续. 15．设在上连续，且，若，.求证： (1) 存在； (2) 设，则； (3) 如果将条件改为，则. 16．求下列极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 17．证明方程有且只有一个实根. §5 无穷小量与无穷大量的比较 当时，以为标准求下列无穷小量的阶： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ; (5) ； (6) ； (7) ; (8) . 2．当时，以为标准求下列无穷大量的阶： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) . 3．当时，下列等式成立吗？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) . 4．试证下列各题： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) . 5．证明下列各式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) . 6．运用等价无穷小量求极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 7．设，证明： 或. 8．设时，与维等价无穷小，与是等价无穷大，且 存在，求证 .