第四章 微商与微分
§1 微商概念及其计算
1．求抛物线在点和点的切线方程和法线方程．
2．若，求
（1）在之间的平均速度（设）；
（2）在的瞬时速度．
3．试确定曲线在哪些点的切线平行于下列直线：
（1）；
（2）．
4．设
试确定的值，使在处可导．
5．求下列曲线在指定点P的切线方程和法线方程：
（1）；
（2）．
6．求下列函数的导函数.
（1）；
（2）
7．设函数（m为正整数）．
试问：（1）m等于何值时，在连续；
（2）m等于何值时，在可导；
（3）m等于何值时，在连续．
8．设，
求．
9．证明：若存在，则
．
10．设是定义在上的函数，且对任意，有
.
若，证明任意，有．
11．设是偶函数，且存在，证明：．
12．设是奇函数，且，求.
13．用定义证明：可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数．
14．求下列函数的导函数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）；
（13）；
（14）；
（15）；
（16）；
（17）；
（18）；
（19）；
（20）．
15．求下列复合函数的导函数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）；
（13）；
（14）；
（15）；
（16）；
（17）；
（18）；
（19）；
（20）．
16．用对数求导法求下列函数的导函数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
17．设是对可导的函数，求：
（1）；
（2）；
（3）．
18．设和是对可求导的函数，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．求下列函数的导函数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）．
§2 微分概念及其计算
1．求下列函数在指定点的微分：
（1） ，求；
（2），求和；
（3），求；
（4），求．
2．求下列函数的微分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
3．设是的可微函数，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
4．求下列函数的微分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
§3 隐函数与参数方程微分法
1.求下列隐函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）．
2．求下列参数方程的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
3．求函数在指定点的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
4．一个圆锥型容器，深度为10m，上面的顶圆半径为4m.
（1）灌入水时，求水的体积V对水面高度的变化率；
（2）求体积V对容器截面圆半径R的变化率．
5．设．
（1）求；
（2）证明曲线的切线被坐标轴所截的长度为一个常数．
6．证明：曲线上任一点的法线到原点的距离恒等于．
§4 高阶微商与高阶微分
1.求下列函数在指定点的高阶导数：
（1），求；
（2）求．
2．求下列函数的高阶导数：
（1），求；
（2），求；
（3）求；
（4），求；
（5），求；
（6），求．
3．求下列函数的n阶导数：
（1）；
（2）．
4．求下列函数的n阶导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
5．设的各阶导数存在，求及．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
6．若，证明．
7．求下列函数的二阶微分：
（1）；
（2）；
（3）．
8．求下列函数的三阶微分：
（1）设求；
（2）设，求．
9．求下列参数方程的二阶导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
10．求下列隐函数的二阶导数：
（1）；
（2）；
（3）．
11．设函数在点二阶可导，且，若存在反函数，试求．
12．设，证明y满足方程．
13．设．
（1）证明y满足方程；
（2）求．
14．设存在反函数，且满足方程
．
证明：反函数满足，并且由此求出一个．
