第八章 函数 §1 泰勒公式 写出下列函数在的带佩亚诺余项的泰勒展开式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； 2． 写出下列函数在的泰勒公式至所指的阶数： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 3． 求下列函数在的泰勒展开式： (1) ； (2) ； (3) ； 4． 确定常数，，使时， (1) 为的5阶无穷小； (2) 为的3阶无穷小； 5． 利用泰勒公式求极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； 6． 设在原点的邻域二次可导，且  (1) ； (2) ； 7． 设在实轴上任意次可导，令，求证： . 8． 设为一n次多项式， (1) 皆为正数，证明在上无根； (2) 正负号相间，证明在上无根； 9． 求证： (1) ； (2) e是无理数； 10． 设在上有二阶导数，且，则存在，使  11． 设在a点附近二次可导，且，由微分中值定理：  求证： 12． 证明：若函数在区间上恒有，则在内任意两点，都有 . §2 微积分在几何与物理中的应用 1，求下列各曲线所围成的图形面积： (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  2．求下列用极坐标表示的曲线所围图形的面积： (1) 双纽线 (2) 三叶玫瑰线 (3) 蚌线 3．求下列用参数方程表示的曲线所围图形的面积： (1)  (2) 摆线及轴； (3) 圆的渐开线，及半直线，其中． 4．直线把椭圆的面积分成两部分A(小的一块)和 B(的一块)，之值． 5，求和所围的公共部分的面积． 6，求下列旋转体的体积： 椭圆绕轴； (2)  (i)绕轴， (ii)绕轴； (3) 旋轮线 (i)绕轴， (ii)绕轴， (iii)绕直线 (4) 双曲线与直线所围的图形绕轴旋转， 7．求由下列各曲面所围成的几何体的体积： (1)求截锥体的体积，其上，下底皆为椭圆，椭圆的轴长分别等于A，B和 a，b，而高为h； (2)正圆台：其上下底分别是半径为a、b的圆，而其间的距离为h． 8．已知球半径为R，试求高为h的球冠体积(h≤R)． 9-求下列曲线的弧长： (1)  (2)  (3)  (4) 星形线 (5) 圆的渐开线 (6)  (7) 心脏线 10．求下列各曲线在指定点的曲率和曲率半径： (1) 在点(2，2)； (2) 在点(1，0)． 11．求下列曲线的曲率与曲率半径： (1) 抛物线 (2) 双曲线 (3) 星形线 12．求下列参数方程给出的曲线的曲率和曲率半径： (1) 旋轮线 (2) 椭圆 (3) 圆的渐开线 13．求下列以极坐标表示的曲线的曲率半径： (1) 心脏线  双纽线  (3) 对数螺线  14．设曲线是用极坐标方程给出，且二阶可导，证明它在点处 曲率为  15．证明抛物线在顶点处的曲率半径为最小． 16．求曲线的最小曲率半径． 17．求曲线上曲率最大的点． 18．求下列平面曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积： (1) 绕轴； (2) 绕直线 (3) 绕轴； (4) 绕轴； (5) 绕极轴． · 19．求下列曲线段的质心： (1) 半径为，弧长为专的均匀圆弧； (2) 对数螺线上由点到点的均匀弧段； (3) 以A(0，0)，B(0，1)，C(2，1)，D(2，0)为顶点的矩形周界，曲线上任一点的密度等于该点到原点距离的2倍； (4) ，密度为常数． 20，已知一抛物线段，曲线段上任一点处的密度与该点到轴的距离成正比，处密度为5，求此曲线段的质量． 21．轴长10m，密度分布为，其中为距轴的一个端点的距离，求轴的质量． 22．求半球的质心 23。求锥体的质心和绕轴的转动惯量． 24．求抛物体的质心和绕轴的转动惯量． §3 微积分方程初步 1．求下列微分方程的通解： (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  (7)  (8)  (9)  (10)  2，求已给微分方程满足初始条件的特解： (1)  (2)  (3)  3．质量为1g的质点受力作用作直线运动，这力和时间成正比，和质点运动的速度成反比，在时，速度等于50cm／s，力为4×10-5N．问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? 4．镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与镭所现存的量R成正比，由经验材料断定，镭经过1600年后，只余原始量R。的一半，试求镭的量R与时间t的函数关系．