第十五章 多元函数的极限与连续性 §1 平面点集 1.设是平面点列,是平面上的点. 证明的充要条件是,且. 设平面点列收敛,证明有界. 判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域,并分别指出它们的聚点: (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8). 4.设是闭集,是开集,证明是闭集,是开集. 5.证明开集的余集是闭集. 6.设是平面点集. 证明是的聚点的充要条件是中存在点列,满足 且. 7.用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理. 8.用致密性定理证明柯西收敛原理. 9.设是平面点集,如果集合的任一覆盖都有有限子覆盖,则称是紧集. 证明紧集是有界闭集. 10.设是平面上的有界闭集,是的直径,即 . 求证:存在 ,使得. 11.仿照平面点集,叙述维欧氏空间中点集的有关概念 (如邻域、极限、开集、聚点、闭集、区域、有界以及一些基本定理等). 12.叙述并证明三维空间的波尔察诺-魏尔斯特拉斯致密性定理. §2 多元函数的极限与连续性 1.叙述下列定义: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 2.求下列极限(包括非正常极限): (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) ; (9) ; (10) ; (11) ; (12) ; (13) ; (14) . 3.讨论下列函数在点的全面极限和两个累次极限: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) . 4.叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理. 5.叙述并证明存在的柯西收敛准则. 6.试作出函数,使当时, (1) 全面极限和两个累次极限都不存在; (2) 全面极限不存在,两个累次极限存在但不相等; (3) 全面极限和两个累次极限都存在. 7.讨论下列函数的连续范围: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5)  (6)  (7) ; (8)  (9) . 8.若在某区域内对变量连续,对变量满足利普希茨条件,即对任意 和,有 , 其中为常数,求证在内连续. 9.证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和一致连续性定理. 10.设二元函数在全平面上连续,,求证: (1) 在全平面有界; (2) 在全平面一致连续. 11.证明:若分别对每一变量和是连续的,并且对其中的一个是单调的,则是二元连续函数. 12.证明:若是有界闭域,是上的连续函数,则是闭区间.