第十五章 多元函数的极限与连续性
§1 平面点集
1.设是平面点列,是平面上的点. 证明的充要条件是,且.
设平面点列收敛,证明有界.
判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域,并分别指出它们的聚点:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8).
4.设是闭集,是开集,证明是闭集,是开集.
5.证明开集的余集是闭集.
6.设是平面点集. 证明是的聚点的充要条件是中存在点列,满足
且.
7.用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理.
8.用致密性定理证明柯西收敛原理.
9.设是平面点集,如果集合的任一覆盖都有有限子覆盖,则称是紧集. 证明紧集是有界闭集.
10.设是平面上的有界闭集,是的直径,即
.
求证:存在 ,使得.
11.仿照平面点集,叙述维欧氏空间中点集的有关概念 (如邻域、极限、开集、聚点、闭集、区域、有界以及一些基本定理等).
12.叙述并证明三维空间的波尔察诺-魏尔斯特拉斯致密性定理.
§2 多元函数的极限与连续性
1.叙述下列定义:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
2.求下列极限(包括非正常极限):
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) ;
(8) ;
(9) ;
(10) ;
(11) ;
(12) ;
(13) ;
(14) .
3.讨论下列函数在点的全面极限和两个累次极限:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) ;
(8) .
4.叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理.
5.叙述并证明存在的柯西收敛准则.
6.试作出函数,使当时,
(1) 全面极限和两个累次极限都不存在;
(2) 全面极限不存在,两个累次极限存在但不相等;
(3) 全面极限和两个累次极限都存在.
7.讨论下列函数的连续范围:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5)
(6)
(7) ;
(8)
(9) .
8.若在某区域内对变量连续,对变量满足利普希茨条件,即对任意
和,有
,
其中为常数,求证在内连续.
9.证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和一致连续性定理.
10.设二元函数在全平面上连续,,求证:
(1) 在全平面有界;
(2) 在全平面一致连续.
11.证明:若分别对每一变量和是连续的,并且对其中的一个是单调的,则是二元连续函数.
12.证明:若是有界闭域,是上的连续函数,则是闭区间.