第二十二章 各种积分间的联系与场论初步 §1 各种积分间的联系 应用格林公式计算下列积分: (1) ,其中为椭圆,取正向; (2) ,同(1); (3) ,是顶点为的三角形的边界,取正向; (4) ,为,取正向; (5) ,为矩形的边界,取正向; (6) ,其中是任意逐段光滑闭曲线. 利用格林公式计算下列曲线所为图形的面积: 双纽线 ; 笛卡儿叶形线  (); . 利用高斯公式求下列积分: (1) ,其中 (a) 为立方体的边界曲面外侧; (b) 为锥面,下侧. (2) ,其中是单位球面的外侧; 设是上半球面的上侧,求 (a) , (b) ; (4) ,是 的外侧. 用斯托克斯公式计算下列积分: (1) ,其中 (a) 为圆周,方向是逆时针, (b) 为所交的椭圆,从轴正向看去,按逆时针方向; (2) ,是从经至回到的三角形; (3) ,其中 (a) 为与三坐标轴的交线,其方向与所围平面区域上侧构成右手法则, (b) 是曲线,它的方向与所围曲面的上侧构成右手法则; (4) ,是,从轴正向看去圆周是逆时针方向. 设为平面上封闭曲线,为平面上任意方向,证明 , 其中是的外法线方向. 设是封闭曲面,为任意固定方向,证明 . 求,为包围有界区域的光滑闭曲线,为的外法向. 8.证明高斯积分 , 其中是平面上一单连通区域的边界,而是上一点到外某一定点的距离,是的外法线方向.又若表示上一点到内某一定点的距离,则这个积分之值等于. 9.计算高斯积分 , 其中为简单封闭光滑曲面,为曲面上在点处的外法向,.试对下列两种情形进行讨论: 曲面包围的区域不含点; 曲面包围的区域含点. 10.求证: , 其中是包围的分片光滑封闭曲面,为的外法线方向.,.分下列两种情形精心讨论: (1) 中不含原点(0,0,0); (2) 中含原点(0,0,0)时,令 , 其中是以原点为心,以为半径的球. 11.利用高斯公式变换以下积分: (1) ; (2) , 其中,,是曲面的外法线方向余弦. 12.设是具有二阶连续偏导数的函数,并设 . 证明: (1) ; (2) ; (3) . 其中为闭曲线所围的平面区域,为沿外法线的方向导数. 13.设是的边界曲面,证明: (1) ; (2) . 式中在及其边界曲面上有连续的二阶偏导数,为沿曲面的外法线的方向导数. 14.计算下列曲面积分: (1) ,其中是 下侧; (2) 是立体的边界面,而立体由和三坐标面围成; (3) ,其中是的外法向,为 上侧; (4) 是 后侧. 15.证明由曲面所包围的体积等于 , 式中,,为曲面的外法线的方向余弦. 16.若是平面上的闭曲线,它所包围区域的面积为,求 , 其中依正向进行. 17.设有连续偏导数,且对任意光滑闭曲面,有 . 证明. 18.设在全平面上有连续偏导数,而且以任意点为中心,以任意正数为半径的上半圆: ,恒有 , 求证:. §2 积分与路径无关 验证下列积分与路径无关,并求它们的值: (1) ; (2) 沿在右半平面的路径; (3) 沿不通过原点的路径; (4) ,式中是连续函数; (5) ,其中,为连续函数; (6) ; (7) ; (8) ,其中,在球面上. 2.求下列全微分的原函数: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 3.函数应满足什么条件才能使微分式是全微分. 4.验证  适合条件,其中,,为常数,. 求奇点的循环常数. 5.求,其中是不经过原点的简单闭曲线,取正向. 设围成的区域为. (1) 不包含原点; (2) 包含原点在其内部. 6.求 , 其中是不经过和点的简单闭曲线. 7.设在单连通区域上有二阶连续偏导数,证明在内有 的充要条件是对内任一简单光滑闭曲线,都有 , 其中为沿外法线的方向导数. 8.计算积分 , 其中是从点到的一条不通过原点的光滑曲线,它的方程是 . 9.计算积分 , 其中是被积函数的定义域内从点至的逐段光滑曲线. §3 场论初步 1.求在点(0,0,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)的梯度,并求梯度为零的点. 2.计算下列向量场的散度和旋度: (1) ; (2) ; (3) . 3.证明是有势场并求势函数. 4.设. (1) 计算,其中是螺旋线; (2) 设,求; (3) 在什么条件下为有势场,并求势函数. 5.设为可微函数,,求,,. 6.求向量场沿曲线的环流量: (1) 为平面上的圆周,,逆时针方向; (2) 为平面上的圆周,,逆时针方向; (3) 为平面上任一逐段光滑简单闭曲线,它围成的平面区域的面积为.证明沿的环流量为2. (4) 设有一平面,取为上侧,上有一逐段光滑简单闭曲线,其方向关于为正向. 围成的平面区域的面积为,问沿的环流量是什么? 7.求向量场沿曲线的环流量: (1) 不环绕轴; (2) 环绕轴一圈; (3) 环绕轴圈. 8.设向量场在除原点(0,0,0)外有连续的偏导数,在球面上的长度保持一固定值,的方向与矢径相同,而且的散度恒为零,证明此向量场为(是常数). 9.设有一数量场,除(0,0,0)点外有连续偏导数,其等值面是以原点为中心的球面.又数量场的梯度场的散度为零,证明此数量场与 () 仅差一个常数,其中为某固定常数. 10.设是空间开区域,在上有二阶连续偏导数.证明在内调和的充要条件是对内任意简单分片光滑曲面,都有 .