第二章 数列极限 习题 §1数列极限概念 1、设=，n=1，2，…，a=0。 （1）对下列ε分别求出极限定义中相应的N： =0.1，=0.01，=0.001； （2）对，，可找到相应的N，这是否证明了趋于0？应该怎样做才对； （3）对给定的ε是否只能找到一个N？ 2、按ε—N定义证明： （1）=1；（2）；（3）； （4）sin=0；（5）=0（a>0）。 3、根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列： （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7）。 4、证明：若= a，则对任一正整数k，有= a。 5、试用定义证明： （1）数列{}不以1为极限；（2）数列{}发散。 6、证明定理2.1，并应用它证明数列{}的极限是1。 7、证明：若= a，则||= |a|。当且仅当a为何值时反之也成立？ 8、按ε—N定义证明： （1）=0； （2）=0； （3）=1，其中 n为偶数， = ，n为奇数。 §2收敛数列的性质 1、求下列极限： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）； （6）。 2、设= a，= b，且a<b。证明：存在正数N，使得当n>N时有<。 3、设{}为无穷小数列，{}为有界数列，证明：{}为无穷小数列。 4、求下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。 5、设{}与{}中一个是收敛数列，另一个是发散数列。证明{±}是发散数列，又问{}和{}（≠0）是否必为发散数列？ 6、证明以下数列发散： （1）{}；（2）{}；（3）{}。 7、判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）： （1）若{}和{}都收敛，则{}收敛； （2）若{}，{}和{}都收敛，且有相同极限，则{}收敛 8、求下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）。 9、设为m个正数，证明： =max{}。 10、设= a 。证明： （1）= a ； （2）若a>0，>0，则=1。 §3数列极限存在的条件 1、利用= e求下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）。 2、试问下面的解题方法是否正确： 求。 解：设=及= a。由于= 2，两边取极限（n→∞）得a = 2 a，所以a = 0。 3、证明下列数列极限存在并求其值： （1）设=，=，n=1，2，…； （2）设=（c>0），=，n=1，2，…； （3）=（c>0），n=1，2，…。 4、利用{}为递增数列的结论，证明{}为递增数列。 5、应用柯西收敛准则，证明以下数列{}收敛： （1）=； （2）=。 6、证明：若单调数列{}含有一个收敛子列，则{}收敛： 7、证明：若>0，且=l>1，则=0。 8、证明：若{}为递增（递减）有界数列，则 =sup{}（inf{}）。 又问逆命题成立否？ 9、利用不等式->（n+1）（b-a），b>a>0 证明：{}为递减数列，并由此推出{}为有界数列。 10、证明：|e-|<。 提示：利用上题可知e<；又易证<+。 11、给定两正数与（>），作出其等差中项=与等比中项，一般地令 ，，n=1，2，…。 证明：与皆存在且相等。 12、设{}为有界数列，记 =sup{，，…}，=inf{，，…}。 证明：（1）对任何正整数n，≥； （2）{}为递减有界数列，{}为递增有界数列，且对任何正整数n，m有≥； （3）设和分别是{}和{}的极限，则≥； （4）{}收敛的充要条件是=。 总练习题 1、求下列数列的极限： （1）；（2）；（3）。 2、证明： （1）=0（|q|<1）；（2）=0（a≥1）；（3）=0。 3、设= a，证明： （1）= a（又问由此等式能否反过来推出= a）； （2）若>0（n=1，2，…），则= a。 4、应用上题的结论证明下列各题： （1）=0；（2）=1（a>0）； （3）=1； （4）=0； （5）= e； （6）=1； （7）若= a（>0），则= a； （8）若（-）= d，则= d。 5、证明：若{}为递增数列，{}为递减数列，且（-）=0， 则与都存在且相等。 6、设数列{}满足：存在正数M，对一切n有 ≤M。 证明：数列{}与{}都收敛。 7、设a>0，σ>0，=，，n=1，2，…。 证明：数列{}收敛，且其极限为。 8、设>>0，记 =，=，n=2，3，…。 证明：数列{}与{}的极限都存在且等于。 9、按柯西收敛准则叙述数列{}发散的充要条件，并用它证明下列数列{}是发散的： （1）=；（2）=；（3）=。 10、设= a，= b。记 = max{，}，= min{，}，n=1，2，…。 证明：（1）= max{ a ，b }；（2）= min{ a ，b }。 提示：参考第一章总练习题1。 习题答案 §1数列极限概念 3、（1）0，无穷小数列；（2）1；（3）0，无穷小数列； （4）0，无穷小数列；（5）0，无穷小数列；（6）1；（7）1。 §2收敛数列的性质 1、（1）；（2）0；（3）；（4）；（5）10；（6）2。 4、（1）1；（2）2；（3）3；（4）1；（5）0；（6）1。 8、（1）0（提示：先证明<）； （2）1（提示：）； （3）0（提示：先证明0<）； （4）（提示：记，则）。 §3数列极限存在的条件 1、（1）；（2）e；（3）e；（4）；1。 3、（1）2；（2）；（3）0。 总练习题 1、（1）3；（2）0；（3）0。 典型习题解答 1、（§1第2（1）题）按ε—N定义证明：=1 证明：由于|-1|=<，所以对于任给的，取N=[]+1，则当n>N时，||<，所以=1。 2、（§1第4题）证明：若= a，则对任一正整数k，有= a。 证明：若= a，则由定义知：任给，存在N，当n>N时，|- a|<。于是当n>N时，n+k>n>N，所以|-a|<，故= a。 3、（§2第1（4）题）。 解：===。 4、（§2第2题）设= a，= b，且a<b。证明：存在正数N，使得当n>N时有<。 证明：取=（b-a）> 0，根据两个已知极限分别存在的、， 当n>时，|- a|<，从而< a +=（a + b）； 当n>时，|- b|<，从而> b -=（a + b）。 取N = max{，}，当n>N时，必有<（a + b）<。 因此当n>N时有<。 5、（§2第4（4）题）。 解：当n>2时，<1-<1，且==1。 故由迫敛性定理知，=1。 6、（§3第3（1）题）证明下列数列 设=，=，n=1，2，…； 极限存在并求其值。 证明：已知=<2，设<2，则=<2，所以{}有上界2； 而=>1（<2），于是{}是递增且有上界的数列。 由单调有界定理知{}极限存在。设其为a ，对等式=两边取极限有 =2a，解之得=0（舍去），=2，故=2。