第七章 实数的完备性 习题 §1 关于实数集完备性的基本定理 证数集有且只有两个聚点和. 证明：任何有限数集都没有聚点. 设是一个严格开区间套，满足 ， 且.证明：存在唯一的一点，使得  试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不成立. 设.问： （1）能否覆盖？ （2）能否从中选出有限个开区间覆盖？ 证明：闭区间的全体聚点的集合是本身. 设为单调数列.证明：若存在聚点，则必是唯一的，且为的确界. 试用有限覆盖定理证明聚点定理. 试用聚点定理证明柯西收敛准则. §2 闭区间上连续函数性质的证明 设为上连续的周期函数.证明：为上有最大值与最小值. 设为有限区间.证明：若在上一致连续，则在上有界.举例说明此结论当为无限区间时不一定成立. 证明：在上一致连续. 试用有限覆盖定理证明根的存在定理. 证明：在上的连续函数为一致连续的冲要条件是都存在. §3 上极限和下极限 求以下数列的上、下极限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 设为有界数列，证明： （1）； （2） (3)设，则 ； （4）若，则. 证明：若为递增数列，则. 证明：若且，则数列收敛. 证明定理7.8 证明定理7.9 总练习题 证明：为有界数列的充要条件是的任一子列都存在其收敛子列. 设在内连续，且.证明：在内有最大值或最小值. 设在上连续，又，使得.证明：存在，使得. 设和都在区间上一致连续. （1）若为有限区间，证明：在上一致连续； （2）若为无限区间，举例说明在上不一定一致连续. 5．设定义在上.证明：若对内任一收敛数列，极限都存在，则在上一致连续. 6．函数在上连续，且有斜渐近线，即有数，使得  证明：在上一致连续. 习题答案 §1 关于实数集完备性的基本定理 5．（1）能；（2）(i)不能，(ii)能. §3 上极限和下极限 1．（1）2，0；（2），；（3）；（4）2，-2；（5）；（6）1，1. 典型习题解答 1．（§1 第7题）设为单调数列.证明：若存在聚点，则必是唯一的，且为的确界. 证明：设为递增数列，设为的聚点.下证 1）是的上界.若不然，，使，取，由的递增性，内只含有中的有限项.这与是的聚点矛盾.从而是的上界. 2），取，则，使得. 所以.由确界的唯一性，聚点是唯一的. 2．（§1 第8题）试用有限覆盖定理证明聚点定理. 证明：设是实轴上的一个有界无限点集，则，使得.假设中的任意点都不是的聚点，则，使得中只有中的有限多个点. 令，它是闭区间的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理，存在的一个有限开覆盖，从而覆盖.所以是有限集，矛盾. 3．（§2 第4题）试用有限覆盖定理证明根的存在定理. 证明：假设，有.由连续函数的保号性，存在使得在上同号.记，显然它覆盖，从而存在的有限子覆盖：.因为在上同号，且又覆盖，故在上同号.但，矛盾. 4.（§2 第5题）证明：在上的连续函数为一致连续的冲要条件是都存在. 证明：（必要性）设在上一致连续，则只要，就有 （1） 取，则，有（1）式成立.由柯西准则，存在.同理也存在. （充分性）令，则在上连续.从而在上一致连续，所以在上一致连续. 5．（总练习题 第5题）设定义在上.证明：若对内任一收敛数列，极限都存在，则在上一致连续. 证明：假设在上不一致连续，则，对，总存在，尽管，但有. 令，与它相应的两点记为，尽管，但有 （1） 当取遍所有正整数时，得数列，由致密性定理，存在的收敛子列，设.又  即 由（1）式有，令，得  这与相矛盾.所以在上一致连续. 6．（总练习题 第6题）函数在上连续，且有斜渐近线，即有数，使得  证明：在上一致连续. 证明：令，则在上连续.又因为，所以在上一致连续.又在上一致连续，因此在上一致连续.