第六章 微分中值定理及其应用 习题 §1拉格朗日定理和函数的单调性 1、试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点，使： （1） （2）f（x）=|x|，-1≤x≤1。 2、证明：（1）方程（这里c为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根； （2）方程（n为正整数，p、q为实数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。 3、证明定理6、2推论2。 4、证明（1）若函数f在[a，b]上可导，且，则 f（b）≥f（a）+ m（b - a）； （2）若函数f在[a，b]上可导，且，则 |f（b）- f（a）|≤M（b-a）； （3）对任意实数，，都有。 5、应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1），其中0<a<b； （2），其中h>0。 6、确定下列函数的单调区间： （1）f（x）=； （2）f（x）=； （3）f（x）=； （4）f（x）=。 7、应用函数的单调性证明下列不等式： （1）； （2）； （3）。 8、以s（x）记由（a，f（a）），（b，f（b）），（x，f（x））三点组成的三角形面积，试对s（x）应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。 9、设f为[a，b]上二阶可导函数，f（a）=f（b）=0，并存在一点使得f（c）>0。证明至少存在一点，使得。 10、设函数f在（a，b）内可导，且单调。证明在（a，b）内连续。 11、设p（x）为多项式，为p（x）=0的r重实根。证明必定是的r – 1重实根。 12、证明：设f为n阶可导函数，若方程f（x）=0有n+1个相异的实根，则方程至少有一个实根。 13、设a，b>0。证明方程=0不存在正根。 14、证明：。 15、证明：若函数f，g在区间[a，b]上可导，且，则在（a，b]内有f（x）>g（x）。 §2柯西中值定理和不定式极限 1、试问函数在区间[-1，1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？ 2、设函数f在[a，b]上可导。证明：存在，使得 。 3、设函数f 在点a处具有连续的二阶导数。证明： 。 4、设。证明存在，使得 。 5、求下列不定式极限 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）。 6、设函数f在点a的某个邻域具有二阶导数。证明：对充分小的h，存在，使得 。 7、求下列不定式极限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）。 8、设f（0）=0，在原点的某邻域内连续，且。证明： 。 9、证明定理6、6中情形时的洛必达法则。 10、证明：为有界函数。 §3泰勒公式 1、求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式： （1）f（x）=； （2）f（x）= arctanx到含的项； （3）f（x）= tanx到含的项。 2、按例4的方法求下列极限： （1）； （2）； （3）。 3、求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式： （1）f（x）=，在x = 1处； （2）f（x）=，在x = 0处。 4、估计下列近似公式的绝对误差： （1），当|x|≤； （2）。 5、计算：（1）数e准确到； （2）lg11准确到。 §4函数的极值与最大（小）值 1、求下列函数的极值： （1）f（x）=； （2）f（x）=； （3）f（x）=； （4）f（x）=。 2、设 f（x）= （1）证明：x = 0是极小值点； （2）说明f的极小值点x = 0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。 3、证明：若函数f在点处有，则为f的极大（小）值点。 4、求下列函数在给定区间上的最大最小值： （1）y =； （2）y =； （3）y =。 5、设f（x）在区间I上连续，并且在I上仅有唯一的极值点。证明：若是f的极大（小）值点，则必是f（x）在I上的最大（小）值点。 6、把长为l的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大？ 7、有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器高的比例应该怎样？ 8、设用某仪器进行测量时，读得n次实验数据为。问以怎样的数值x表达所要测量的真值，才能使它与这n个数之差的平方和为最小。 9、求一正数a，使它与其倒数之和最小。 10、求下列函数的极值： （1）f（x）=； （2）f（x）=； （3）f（x）=。 11、设f（x）=在处都取得极值，试求a与b；并问这时f在与是取得极大值还是极小值？ 12、在抛物线哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短。 13、要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC= a km的B城，轮船运费的单价是元/km，火车运费的单价是元/km（>），试求运河边上的一点M，修建铁路MB，使总运费最省。 §5函数的凸性与拐点 1、确定下列函数的凸性区间与拐点： （1）y =； （2）y =； （3）y =； （4）y =； （5）y =。 2、问a和b为何值时，点（1，3）为曲线y =的拐点？ 3、证明： （1）若f为凸函数，为非负实数，则f为凸函数； （2）若f，g均为凸函数，则f+g为凸函数； （3）若f为区间I上凸函数，g为Jf（I）上凸增函数，则g·f为I上凸函数。 4、设f为区间I上严格凸函数。证明：若为f的极小值点，则为f在I上唯一的极小值点。 5、应用凸函数概念证明如下不等式： （1）对任意实数a，b，有； （2）对任何非负实数a，b，有。 6、证明：若f，g均为区间I上凸函数，则F（x）= max{f（x），g（x）}也是I上凸函数。 7、证明：（1）f为区间I上凸函数的充要条件是对I上任意三点，恒有 ； （2）f为严格凸函数的充要条件是Δ>0。 8、应用詹森不等式证明： （1）设，有 ； （2）设，有 ， 其中。 §6函数图象的讨论 按函数作图步骤，作下列函数图象： （1）y =； （2）y =； （3）y = x – 2arctanx； （4）y =； （5）y =； （6）y =； （7）y =； （8）y =。 总练习题 1、证明：若f（x）在有限开区间（a，b）内可导，且，则至少存在一点，使。 2、证明：若x>0，则 （1），其中； （2）。 3、设函数f在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且a·b>0。证明存在，使得 。 4、设f在[a，b]上三阶可导，证明存在，使得 。 5、对f（x）=ln（1+x）应用拉格朗日中值定理，试证：对x≥0有 。 6、设为n个正数，且 f（x）=。 证明：（1）； （2）。 7、求下列极限： （1）； （2）； （3）。 8、设h>0，函数f在内具有n+2阶连续导数，且，f在内的泰勒公式为 。 证明：。 9、设k>0，试问k为何值时，方程arctanx – kx = 0存在正实根。 10、证明：对任一多项式p（x），一定存在与，使p（x）在（-∞，）与（，+∞）分别严格单调。 11、讨论函数  （1）在x=0点是否可导？ （2）是否存在x=0的一个邻域，使f在该邻域内单调？ 12、设函数f在[a，b]上二阶可导，。证明存在一点，使得 。 13、设函数f在[0，a]上具有二阶导数，且，f在（0，a）内取得最大值。试证 。 14、设f在[0，+∞）上可微，且。证明：在[0，+∞）上f（x）≡0。 15、设f（x）满足，其中g（x）为任一函数。证明：若，则f在[，]上恒等于0。 16、证明：定圆内接正n边形面积将随n的增加而增加。 17、证明：f为I上凸函数的充要条件是对任何，，函数  为[0，1]上的凸函数。 18、证明：（1）设f在（a，+∞）上可导，若都存在，则 。 （2）设f在（a，+∞）上n阶可导，若和都存在，则 。 19、设f为上的二阶可导函数。若f在上有界，则存在，使。 习题答案 §2柯西中值定理和不定式极限 5、（1）1；（2）；（3）1；（4）2；（5）1；（6）；（7）1；（8）； （9）1；（10）0；（11）；（12）； 7、（1）；（2）0；（3）1；（4）；（5）；（6）0；（7）；（8）。 §3泰勒公式 1、（1）f（x）=； （2）f（x）=； （3）f（x）=。 2、（1）；（2）；（3）。 3、（1）f（x）=； （2）f（x）=，。 4、（1）； （2）。 5、（1）取； （2）。 §4函数的极值与最大（小）值 1、（1）极大值；（2）极小值f（-1）= -1，极大值f（1）=1； （3）极小值f（1）= 0，极大值； （4）极大值f（1）=。 5、（1）最小值f（-1）= -10，最大值f（1）=2； （2）最小值，无最大值； （3）最小值。 6、边长为。 7、半径与高之比为1：1。 8、取。 9、取a=1。 10、（1）极小值，极大值； （2）极小值f（- 1）= - 2，极大值f（1）=2； （3）极小值f（1）=0，极大值。 11、极小值点，极大值点。 12、。 13、。 §5函数的凸性与拐点 1、（1）凹区间，凸区间，拐点； （2）凹区间，凸区间； （3）凹区间，凸区间，拐点； （4）凹区间，凸区间，拐点； （5）凹区间，凸区间，拐点。 2、。 §6函数图象的讨论 （1） x  - 5  - 2  1    + 0 — — — 0 +   — — — 0 + + +  y 增凹 ↗ 极大值  减凹 ↘ 拐点  减凸 ↘ 极小值  增凸 ↗  （2） x  - 3   0    + 0 — + 0 +   — — — — 0 +  y 增凹 ↗ 极大值  减凹 ↘ 增凹 ↗ 拐点  增凸 ↗  渐近线； （3） x  - 1  0  1    + 0 — — — 0 +   — — — 0 + + +  y 增凹 ↗ 极大值  减凹 ↘ 拐点  减凸 ↘ 极小值  增凸 ↗  渐近线y = x – π，y = x +π； （4） x  1  2    + 0 — — —   — — — 0 +  y 增凹 ↗ 极大值  减凹 ↘ 拐点  减凸 ↘  渐近线y = 0； （5）奇函数 x 0    1    0 — — — 0 +   0 — 0 + + +  y 拐点  减凹 ↘ 拐点  减凸 ↘ 极大值  增凸 ↗  （6）偶函数 x 0      0 — — —   — — 0 +  y 极大值 f（0）=1 减凹 ↘ 拐点  减凸 ↘  渐近线y = 0； （7） x    0      + + + 不存在 — 0 +   — 0 + 不存在 + + +  y 增凹 ↗ 拐点  增凸 ↗ 极大值 0 减凸 ↘ 极小值  增凸 ↗  （8）设， x    0     — — — 不存在 + 0   + 0 — 不存在 — —  y 减凸 ↘ 拐点  减凹 ↘ 极小值 0 增凹 ↗ 极大值   x    2    — — — 0 +   — 0 + + +  y 减凹 ↘ 拐点  减凸 ↘ 极小值  增凸 ↗  总练习题 7、（1）e；（2）；（3）0。 典型习题解答 1、（§1的第2（1）题）方程（这里c为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根。 证明：记，设f（x）=0在[0，1]内有两个不同的实根，且，则。 又由于f在上连续，在内可导，所以。即。故（矛盾）。 因此方程（这里c为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根。 2、（§1的第5（1）题）应用拉格朗日中值定理证明不等式，其中0<a<b。 证明：由于 （因为0<a<b）。 故可令f（x）=lnx，，然后利用拉格朗日中值定理便得证。 3、（§1的第7（1）题）应用函数的单调性证明不等式。 证明：设，则，所以f在内严格递增。又f（x）在x = 0处连续且f（0）= 0，故当时，f（x）>0，即。 4、（§2的第2题）设函数f在[a，b]上可导。证明：存在，使得 。 证明：由于  。 故构造函数，由于f、在[a，b]上连续，（a，b）内可导，所以F（x）在[a，b]上连续，（a，b）内可导，且，故由罗尔定理知，。 即。 5、（§2的第5（1）题）求不定式极限。 解：===1。 6、（§3的第2（1）题）求极限。 解：因为 , 所以 =。 7、（§4的第1（1）题）求函数f（x）=的极值。 解：令，解得。 又，所以在处f（x）有极大值。由于当时，，故在x = 0的邻域内f严格递增，所以在x = 0处f（x）不能取得极值。 8、（§5的第1（1）题）确定函数y =的凸性区间与拐点。 解：令，得。 当时，，故函数y在内为凹函数； 当时，，故函数y在内为凸函数。 由于在与内的符号相反，故为曲线的拐点。 9、（§5的第5（1）题）应用凸函数概念证明不等式，其中。 证明：设则。故f（x）为上凸函数。从而对，有  即，其中。