第三章 函数极限 习题 §1 函数极限概念 按定义证明下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） 根据定义2叙述 设，证明： 证明：若，则当且仅当为何值时反之也成立？ 证明定理3.1 讨论下列函数在时的极限或左、右极限： （1）； （2）； （3） 设，证明： 证明：对黎曼函数，（当或1时，考虑单侧极限） §2 函数极限的性质 求下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为正整数）； （6）； （7）； （8） 利用迫敛性求极限： （1）； （2） 设。证明： （1）； （2）； （3） 设 ， 试求 设，证明：，其中为正整数 证明： 设 （1）在某内有，问是否必有？为什么？ （2）证明：若，则在某内有 求下列极限 （1）； （2）； （3）； （4）； （5） 9．（1）证明：若存在，则 （2）若存在，试问是否成立？ §3 函数极限存在的条件 述函数极限的归结原则，并应用它证明不存在 设为定义在上的增（减）函数。证明：存在的充要条件是在上有上（下）界 （1）叙述极限的柯西准则； （2）根据柯西准则叙述不存在的充要条件，并应用它证明不存在 设在内有定义。证明：若对任何数列且，极限都存在，则所有这些极限都相等 设为上的递增函数。证明：都存在，且  设为狄利克雷函数，。证明：不存在 证明：若为周期函数，且，则 证明定理3.9 §4 两个重要的极限 求下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） 求下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 证明： 利用归结原则计算下列极限： （1）； （2） §5 无穷小量与无穷大量 证明下列各式： （1） （2） （3） （4）（为正整数） （5） （6） （7） 应用定理3.12求下列极限： （1） （2） 证明定理3.13 求下列函数所表示曲线的渐进线： （1） （2） （3） 试确定的值，使下列函数与当时为同阶无穷小量： （1） （2） （3） （4） 试确定的值，使下列函数与当时为同阶无穷大量： （1） （2） （3） 证明：若为无上界数集，则存在一递增数列，使得 证明：若为时的无穷大量，而函数在某上满足，则为时的无穷大量 设与是当时的等价无穷小量，证明： 或 总练习题 求下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7），为正整数 分别求出满足下述条件的常数与： （1）； （2）； （3） 试分别举出符合下列要求的函数： （1）； （2）不存在 试给出函数的例子，使恒成立，而在某一点处有。这同极限的局部保号性有矛盾吗？ 设，在何种条件下能由此推出？ 设，试作数列 （1）使得，； （2）使得，； （3）使得， 证明：若数列满足下列条件之一，则是无穷大数列： （1）； （2） 利用上题（1）的结论求极限： （1）； （2） 设，证明 （1）； （2）若，则 10．利用上题的结果求极限： （1）； （2） 11．设为内的递增函数。证明：若存在且，使得，则有  12．设函数在上满足方程，且。证明： 13．设函数在上满足方程，且。证明： 14．设函数定义在上，在每一个有限区间内有界，。证明： 习题答案 §1 函数极限概念 6．（1）；（2）； （3） §2 函数极限的性质 1．（1）；（2）1；（3）；（4）-3；（5）；（6）；（7）；（8） 2．（1）1；（2）0 4．时，0；时， 8．（1）-1；（2）1；（3）；（4）；（5）1 §4 两个重要的极限 1．（1）2；（2）0；（3）-1；（4）1；（5）；（6）1；（7）1；（8）；（9）8；（10） 2．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 4．（1）0；（2） §5 无穷小量与无穷大量 2．（1）0；（2）1 4．（1）；（2）；（3） 5．（1）3；（2）2；（3）1；（4） 6．（1）；（2）2；（3） 总练习题 1．（1）1；（2）；（3）；（4）1；（5）-1；（6）；（7） 2．（1）；（2）；（3） 8．（1）；（2）0 10．（1）；（2） 典型习题解答 1．（§1 第8题）证明：对黎曼函数有 证明：任取，对，如果为无理数，则有；如果为 有理数，要使，只要取，在中既约分数的分母不大于的仅有有限个，选取其中最靠近的数，记为，取，于是当时，就有，从而证明了。当时，同理可证 2．（§2 第5题）设，证明： 证明：因为，所以 当时，，使得当时，有，即，所以 当时， = （1） 使得当时，有，由（1）式，得，所以 3．（§2 第8题）求极限 解：，有，当时，；当时， ，所以，，因而 4．（§3 第7题）若为周期函数，且，则 证明：设为的一个周期，对的定义域中的任何数，都有，由归结原则，，即 5．（§4 第3题）证明： 证明：   6．（§5 第7题）证明：若为无上界数集，则存在一递增数列，使得 证明：由为无上界数集，故对，存在，使得 取，存在，使得， 继续下去，得到一递增数列，满足： 所以