第五章 导数和微分 习题 §5.1导数的概念 1、已知直线运动方程为，分别令，求从t=4至这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。 2、等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。 3、设，试求极限 。 4、设试确定的a,b值，使f在x=3处可导。 5、试确定曲线y上哪些点的切线平行于下列直线： （1） （2） 6、求下列曲线在指定点P的切线方程与法线方程： （1） 7、求下列函数的导函数：  8、设函数 （m为正整数）， 试问：（1）m等于何值时,f在x=0连续； （2）m等于何值时,f在x=0可导； （3）m等于何值时,在x=0连续。 9、求下列函数的稳定点： (1)f(x)=sinx-cosx；(2)。 10、设函数f在点存在左右导数，试证明f在点连续。 11、设， 求。 12、设f是定义在R上的函数，而且对任何，都有。若，证明对任何，都有。 13、证明：若存在，则  14、证明：若函数f在[a,b]上连续，而且f(a)=f(b)=K，，则在(a,b)内至少有一点，使。 15、设有一吊桥，其铁链成抛物线型，而且端系于相距100米高度相同的支柱上，铁链之最低在悬点下10米处，求铁链与支柱所成的角。 16、在曲线上取一点P，过点P的切线与该曲线交于Q，证明：曲线在Q 处的切线斜率正好是在P处切线斜率的四倍。 §5.2 求导法则 1、求下列函数在指定点的导数： （1）设，求 （2）设，求 （3）设，求  2、求下列函数的导数：  3、求下列函数的导函数：  4、对下列各函数计算  5、已知g为可导函数，a为实数，试求下列函数f的导数：  6、设f为可导函数，证明：若x=1时有 。 则必有或f（1）=1。 7、定义双曲函数如下： 双曲正弦函数shx=；双曲余弦函数chx=； 双曲正切函数thx=；双曲余切函数cothx=。 证明： （1）=chx； （2）； （3）； （4）。 8、求下列函数的导数： （1）y=； （2）y=ch（shx）； （3）y=ln（chx）； （4）y=arctan（thx）。 9、以，，，分别表示各双曲函数的反函数。试求下列函数的导数： （1）y=； （2）y=； （3）y=； （4）y=； （5）y=-； （6）y=。 §5.3 参变量函数的导数 1、求下列由参变量方程所确定的导数： （1）在t=0，处； （2）在t>0处。 2、设求，。 3、设双曲方程x = 1 - ，y = t - ，求它在下列点处的切线方程与法线方程： （1）t=1； （2）t=。 4、证明曲线  上任一点的法线到原点距离等于a。 5、证明：圆r=上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角。 6、求心形线r=的切线与切点向径之间的夹角。 §5.4 高阶导数 1、求下列函数在指定点的高阶导数： （1）f（x）=，求； （2）f（x）=，求。 2、设函数f在点x=1处二阶可导，证明：若，则在x=1处有 。 3、求下列函数的高阶导数： （1）f（x）=xlnx，求； （2）f（x）=，求； （3）f（x）=ln（1+x），求； （4）f（x）=，求。 4、设f为二阶可导函数，求下列各函数的二阶导数； （1）y=f（lnx）； （2）y=； （3）y=f（f（x））。 5、求下列函数的n阶导数： （1）y=lnx； （2）y=； （3）y=； （4）y=； （5）f（x）=； （6）y=均为实数）。 6、求由下列参量方程所确定的函数的二阶导数： （1） （2） 7、研究函数f（x）=在x=0处的各阶导数。 8、设函数y=f（x）在点x二阶可导，且。若f（x）存在反函数x=，试用以及表示。 9、设y=arctanx。 （1）证明它满足方程； （2）求。 10、设y=arcsinx （1）证明它满足方程； （2）求。 11、证明：函数  在x=0处n阶可导且，其中n为任意正整数。 §5.5 微分 1、若x=1，而Δx=0.1，0.01。问对于y=，Δy与dy之差分别是多少？ 2、求下列函数微分： （1）y =； （2）y = xlnx – x； （3）y =； （4）y =； （5）y =； （6）y =。 3、求下列函数的高阶微分： （1）设u（x）=lnx，v（x）=，求； （2）设u（x）=，v（x）=cos2x，求。 4、利用微分求近似值： （1）； （2）lg11； （3）； （4）。 5、为了使计算出球的体积准确到1%，问度量半径r时允许发生的相对误差至多应多少？ 6、检验一个半径为2米，中心角为的工件面积，现可直接测量其中心角或此角所对的弦长，设量角最大误差为，量弦长最大误差为3毫米，试问用哪一种方法检验的结果较为准确。 总练习题 1、设y =，证明： （1）= ； （2） 。 2、证明下列函数在x=0处不可导： （1）f（x）=； （2）f（x）=|ln|x-1||。 3、（1）举出一个连续函数，它仅在已知点不可导； （2）举出一个函数，它仅在点可导。 4、证明： （1）可导的偶函数，其导函数为奇函数； （2）可导的奇函数，其导函数为偶函数； （3）可导的周期函数，其导函数仍为周期函数。 5、对下列命题，若认为是正确的，请给予证明；若认为是错误的，请举一反例予以否定： （1）设f=+，若f在点可导，则，在点可导； （2）设f=+，若在点可导，在点不可导，则f在点一定不可导； （3）设f=·，若f在点可导，则，在点可导； （4）设f=·，若在点可导，在点不可导，则f在点一定不可导。 6、设（x）在点a连续，f（x）=|x-a|（x），求和。问在什么条件下存在？ 7、设f为可导函数，求下列各函数的一阶导数： （1）y =； （2）y =f（f（f（x）））。 8、设，为可导函数，求： （1）y =； （2）y =； （3）y =。 9、设为可导函数，证明： =。 并利用这个结果求： （1）F（x）=； （2）F（x）=。 习题答案 §5.1导数的概念 1、Δt=1；=55；Δt=0.1，=50.5；Δt=0.01；=50.05；v=50。 2、在时间t时刻所对应的旋转角，则角速度为=。 3、4． 4、a=6，b=-9。 5、（1）（1，0）；（2）。 6、（1）切线方程：y = x – 1，法线方程：y = -x + 3； （2）切线方程：y = 1，法线方程：x = 0。 7、（1）（2）而当x = 0时不存在。 8、（1）m≥1；（2）m≥2；（3）m≥3。 9、（1）；（2）x = 1。 11、0． 15、。 §5.2 求导法则 1、（1）=0，=18；（2）=1，=-1；（3）=；=。 2、（1）=6x；（2）=；（3）=； （4）=；（5）=； （6）=；（7）=； （8）=；（9）=；（10）=； （11）=； （12）=。 3、（1）=；（2）=；（3）=； （4）=；（5）=cotx；（6）=；（7）=； （8）=；（9）=3cos2x（sinx+cosx）；（10）=-6cos4xsin8x； （11）=；（12）=；（13）=； （14）=；（15）=；（16）=； （17）=；（18）=；（19）=； （20）=；（21）=； （22）=； （23）=； （24）=； （25）=；（26）=。 4、（1）=，=，=； （2）=，=，= （3）=，=，= 5、（1）=；（2）= （3）=；（4）=。 8、（1）=；（2）=sh（shx）chx； （3）=thx； （4）=。 9、（1）=；（2）=；（3）=； （4）=；（5）=0；（6）=|secx|。 §5.3 参变量函数的导数 1、（1），； （2）。 2、（1），。 3、（1）切线方程y =，法线方程y = -2x； （2）， 。 6、。 §5.4 高阶导数 1、（1）； （2） 3、（1）=；（2）=； （3）=；（4）=。 4、（1）； （2）； （3）。 5、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6），。 6、（1）。 （2）。 7、  3， x > 0，  不存在，x = 0， -3， x < 0。 8、。 9、（2），。 10、（2），。 §5.5 微分 1、当Δx=0.1，dy=0.2，当Δx=0.01，dy=0.02。 2、（1）dy=；（2）dy=lnxdx； （3）dy=；（4）dy=； （5）dy=；（6）dy=。 3、（1）1.007；(2)1.0434；(3)1.0058；(4)5.1。 4、0.33%。 5、弦长。 总练习题 6、，，当存在且等于零。 7、（1）=； （2）=。 8、（1）=， ； （2）=； （3）=。 9、（1）=； （2）=。 典型习题解答 1、（§5.1第4题）设试确定的a,b值，使f在x=3处可导。 解：由于当f在x=3处可导时，f必在x=3连续，于是必有f（3-0）=f（3+0）， 即9=3a + b 又由于，，故f在x=3处可导时，就有a = 6，从而b = -9。 2、（§5.1第7（1）题）求函数的导函数。 解；因从而 当x>0时，； 当x<0时，； 当x=0时，由，得。 故 3、（§5.1第10题）设函数f在点存在左右导数，试证明f在点连续。 证明：由于，故由无穷小量的定义有， ，其中。 于是。 故f在是右连续的。同理可证f在是左连续的。 因而f在连续。 4、（§5.2第5（1）题）已知g为可导函数，a为实数， 试求函数的导数： 解：。 5、（§5.3第3（1）题）设双曲方程x = 1 - ，y = t - ，求它在点t=1处的切线方程与法线方程。 解：由于，且x（1）=0，y（1）=0 故其切线方程为y=，法线方程为y=-2x。 6、（§5.4第4（1）题）设f为二阶可导函数，求函数y=f（lnx）的二阶导数。 解：， 。 7、（§5.5第3（1）题）设u（x）=lnx，v（x）=，求。 解：