极限与连续当中常见问题与解答 2003级数学与应用数学班 任课教师：阿其拉图 辅导老师：木仁 一.关于极限 用定义证明极限存在性 先考虑数列极限 用数列极限的定义证明数是数列的极限：首先，把要证明的命题用定义的形式给出：当且仅当，，当时，有。其次，在假设不等式成立时，用分析法解出，以确定与的关系，从而找出正整数。因此一般方法是： (1)直接解不等式，求出与的关系。 例1： 求证： 证明（首先要把证明的命题用定义形式写出。） 对任意给定的，要找一个正整数，使得当时，都有  （其次，用分析法解上述不等式，确定与的关系，从而找出正整数。） 由不等式解得。于是，取，则当时，就 （最后，把上面的过程逆推一遍，即证明了极限问题。） 由此，对任意给定的，存在，当时，总有 由极限的定义，即 (2)（放大法），由直接解不等式，往往十分困难，通常先限制足够大，再适当放大，使得（是某常数）。这时，，只要从中解出与的关系就可定出。 例2：设，证明： 证明：因为为去掉绝对值，并将其放大为的形式，可限制，则当时有  于是，，解不等式，得，取，当时，有。即。 (3)（分步法）有时，证明一个较为复杂的极限需要先根据已知条件确定出某个，然后将的表达式放大为两部分，其中的一部分可小于事先任意给定的正数，另一部分则由定义可求出某个，使当时也可以很小。于是令，当时， 即可小于事先任意给定的正数。 例3: 已知试证 证明：当为有限数时，  据定义，，当时。从而 上式 注意这里已为定数，因而，当时  于是令，则时  的情况，同理可证明。 再考虑函数极限 （1）用定义证明是函数当时的极限思路。以为例，通常的办法是，先适当限制是某个常数），再适当放大，使得，（是某个常数），然后，，解不等式，得，取，则当时，有。 例4：设，证明 证明：因为限制，则。因此，当时，有  现在，，解不等式，得。取，当时，有  这就证明了。 （2）用定义证明是函数当时的极限的思路。以为例，通常的办法是，先将限制到附近，比如，然后适当放大，使得，（是某个常数）。这时，，解不等式，得，取，则当时，有  例5: 设，证明 证明：因为，注意到，可限制，于是。因此，当时有  现在，，解不等式，得。取，当时，有。即证明了。 例6： 设，证明 证明：因为，注意到，可限制，于是。因此，当时有  现在，，取，当时，有。即证明了  （II）求极限值的若干方法 用定义证明极限存在，有一先决条件，即事先知道极限的猜测值。但通常只给定了数列，对它的极限不得而知。那么，如何根据的表达式，求出极限呢？此问题一般来说没有统一的方法。只能根据具体情况进行具体的分析和处理。在这里我们例举了几个常用的方法。 一.初等变形求极限------用初等数学的方法将变形，然后求极限。 例7：求极限其中 解：   二.利用变量替换求极限------为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来的极限过程，转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。 例8： 已知试证 证明：令，则时，。于是   根据例3易知当时第二、三项趋于零。现证第四项极限亦为零。事实上，因（当时），故有界，即，使得（）。故  三.两边夹逼法则------当极限不易直接求出时，可考虑将求极限的变量，作适当的放大和缩小，使放大，缩小所得的新变量，易于求极限，且二者的极限值相同。则原极限存在，且等于此公共值。 例9：求极限 解： 由于（时）因此当时，，当时，，无论哪种情况我们都有。 注：当使用两边夹逼法则时，若放大缩小所得之量的极限值不相等，但二者只相差一个任意小量，则两边夹逼法则仍然有效。 四.极限四则运算法则------根据已知变量的极限，利用极限四则运算，计算新变量的极限。 例10：求极限 解： 五.利用单调有界原理。 例11：求极限其中 解：易知，故原数列单调递增且有界，在利用极限的进一步性质知。 六.利用洛比达法则或泰勒公式。 例12：求极限 解：利用洛比达法则我们有 利用台勒公式我们有 二.函数连续与间断概念 （I）函数连续与间断 有关函数连续与间断概念，主要涉及以下四个方面的问题： 1．函数在某点的连续性。 在一点连续常用以下几种方法来判断： 1)利用定义证明：对，当时，有。 2)利用左右极限证明： 3)利用序列语言证明：，有 4)利用邻域的语言证明：，使得  5)利用连续函数的运算性质：连续函数与连续函数经过有限次加减乘除（除法要求除数不为零），复合（内层函数的值域在外层函数的定义域内），仍然是连续的。 2.讨论函数在区间上的连续性以及确定函数的连续区间。要证明一个函数在某区间上连续，只要在区间里任意取定一点，证明即可。 3.用连续概念确定函数式中的待定常数。 例13： 确定常数，使。 解：这是型待定式，化成分式。原式左端等于  由此知。故（不符合题设，舍去）。4.确定函数的间断点，并判别其类型 函数的间断点的分类，见下表： 第一类间断点 第二类间断点 可去间断点  左右极限存在但不相等 左右极限当中至 少有一个不存在 左右极限存在且相等但它不等于该点的函数值或函数在该点没有定义  例14：判断不连续点的性质。 解：由于函数在点没有定义，且左右极限都不存在，故是原函数的第二类不连续点。 （II）一致连续 设函数在区间上有定义（为开、闭、半开半闭，有限或无限区间）。所谓 在上一致连续，意指：，当，且时，有。由此知，在区间上非一致连续使得满足，但。使得满足，但。 特别，若，满足但则可判定在上非一致连续。 用定义证明在上一致连续，通常的方法是设法证明在上满足Lipschitz条件： 为某一常数。此条件成立必一致连续。 特别，若在上有有界导函数，则在上Lipschitz条件成立。 例15： 证明在是一致连续的，而在上非一致连续。 证明：当时  故只要取作为一致连续定义中的即可。 由于（时），但故在内非一致连续。 (III)一致连续与连续的关系 我们知道，在区间上一致连续，自然在上连续，反之不一定。例如：。若为有限闭区间，据Cantor定理，在上连续等价于在上一致连续。