第二十一章 曲线积分与曲面积分 §1 第一型曲线积分与曲面积分 1．对照重积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质． 2．计算下列第一型曲线积分： (1) ，其中是以（0，0），（2，0），（0，1）为顶点的三角形； (2) ，其中是圆周； (3) ，其中为螺线； (4) ，其中与(3)相同； (5) ，其中为内摆线； (6) ，其中为摆线的一拱； (7) ，其中为球面与平面的交线； (8) ，其中同(7)； (9) ，其中是曲线； (10) ，其中是与相交的圆周． 3．计算下列第一型曲面积分： (1) ，其中是立体的边界曲面； (2) ，其中为柱面被平面和所截取的部分； (3) ，其中为曲面被割下的部分； (4) ，其中为螺旋面的一部分：  ； (5) ，是球面． 4．设曲线的方程为  ， 它在每一点的密度与该点的矢径平方成反比，且在点(1,0,1)处为1，求它的质量． 5．设有一质量分布不均匀的半圆弧，其线密度(为常数)，求它对原点(0，0)处质量为的质点的引力． 6．求螺线的一支：对轴的转动惯量．设此螺线的线密度是均匀的． 7．求抛物面壳，的质量．设此壳的密度． 8．计算球面三角形，的围线的重心坐标．设线密度． 9．求均匀球壳对轴的转动惯量． 10．求均匀球面的重心坐标． 11．若曲线以极坐标给出：，试给出计算的公式，并用此公式计算下列曲线积分： (1) ，其中是曲线； (2) ，其中是对数螺线在圆内的部分． 12．求密度的截圆锥面对位于曲面顶点(0,0,0)的单位质点的引力．当时，结果如何？ 13．计算，其中是一平面，而 . §2 第二型曲线积分与曲面积分 1．计算下列第二型曲线积分： (1) ，其中为摆线沿增加的方向； (2) ，其中为圆周依逆时针方向； (3) ，其中为从（1,1,1）到（2,3,4）的直线段； (4) ，为从(1,1)到(-1,1)； (5) ，为曲线从(1,1,0)到； (6) ，为以为顶点的正方形沿逆时针方向． 2．计算曲线积分 ． (1) 为球面三角形，的边界线，从球的外测看去，的方向为逆时针方向； (2) 是球面和柱面的交线位于平面上方的部分，从轴上点看去，是顺时针方向． 3．求闭曲线上的第二型曲线积分 ， (1) 为圆，逆时针方向； (2) 为椭圆，顺时针方向； (3) 为以(0,0)为中心，边长为，对边平行于坐标轴的正方形，顺时针方向； (4) 是以(-1,-1)，(1,-1)，(0,1)为顶点的三角形，顺时针方向． 4．求力场对运动的单位质点所作的功，此质点沿曲线从点运动到点： (1) ，为平面曲线，； (2) ，为平面曲线，； (3) ，的矢量形式为，； (4) ，的参数式为（为正数），． 5．设在上连续，为光滑弧段，弧长为，证明： ． 其中． 6．设光滑闭曲线在光滑曲面上，的方程为，曲线在平面上的投影曲线为，函数在上连续，证明： ． 7．计算，其中：与相交的圆，其方向按曲线依次经过1,2,7,8卦限． 8．计算下列第二型曲面积分： (1) ，其中为，六个平面所围的正立方体的外测； (2) ，其中是以原点为中心，边长为2的正立方体表面的外测； (3) ，为的上半部分的上测； (4) ，为柱面被平面及所截部分的外测； (5) ，是由平面和所围的四面体表面的外测； (6) ，为球面的外测； (7) ，是球面的外测． 9．设某流体的流速为，求单位时间内从球面的内部流过球面的流量． 10．设流体的流速为，求穿过柱面外测的流量．