第二十章 重积分 §1 重积分的概念 1．证明性质（4），性质（6）． 2．证明有界闭区域上的连续函数必可积． 3．设是可度量的平面图形或空间立体，在上连续，证明： (1) 若在上0，且不恒等于0，则； (2) 若在的任何部分区域上，有 ， 则在上有． 4．设在[a,b]可积，在[c,d]可积，则在矩形区域＝[a,b]×[c,d]上可积，且 ． 5．若在上可积，那么在上是否可积？考察函数  在[0,1]×[0,1]上的积分． 6．设，  证明在上不可积． §2 重积分化累次积分 计算下列二重积分： (1) ，； (2) ，； (3) ，； (4) ，． 将二重积分化为不同顺序的累次积分： (1) 由轴与所围成； (2) 由及所围成； (3) 由和围成； (4) ． 改变下列累次积分的次序： (1) ； (2) ； (3) ． 设在所积分的区域上连续，证明 ． 计算下列二重积分： (1)  (),是由围成的区域； (2) 是由和围成的区域； (3) ：； (4) ：； (5) 由所围成； (6) 由所围成； (7) 是以和为顶点的三角形； (8) 由和所围成． 求下列二重积分： (1) ； (2) ； (3) ． 设轴将平面有界区域分成对称的两部分和，证明： 若关于为奇函数，即，则 ； 若关于为偶函数，即，则 ． 计算下列三重积分： (1)  ：； (2)  由曲面所围成； (3)  由曲面所围成； (4)  是由曲面围成的位于第一卦限的有界区域； (5)  由曲面所围成； (6)  是由及所围成的区域． 改变下列累次积分的次序： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 10．求下列立体之体积： (1) 由所确定； (2) 由所确定； (3) 是由坐标平面及所围成的角柱体． §3 重积分的变量代换 用极坐标变换将化为累次积分： (1) ：半圆； (2) ：半环 ； (3) ：圆  ； (4) ：正方形 ． 用极坐标变换计算下列二重积分： (1)  ：； (2)  是圆的内部； (3)  由双纽线围成； (4) 由阿基米德螺线和半射线围成； (5) 由对数螺线和半射线围成． 在下列积分中引入新变量，将它们化为累次积分： (1) 若； (2)  ()，若； (3) ，其中＝，若； (4) ，其中＝ ()，若． 作适当的变量代换，求下列积分： (1) 是由围成的区域； (2) 由围成； (3)  由围成． 利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积： (1) ； (2) ； 球面与圆柱面（）的公共部分；  ()； ； ． 求曲线所围成的面积． 用柱坐标变换计算下列三重积分： (1) ，由曲面围成； (2) , 由曲面围成． 用球坐标变换计算下列三重积分： (1)  ：； (2) , 由围成； (3) ，由围成． 作适当的变量代换，求下列三重积分： (1) ，由围成的立体，其中； (2) ，同(1)； (3) ，由 ()， ()以及围成； (4) ，由围成； (5) ． 10．求下列各曲面所围立体之体积： (1) ； (2)  ()． §4 曲面面积 求下列曲面的面积： (1) 包含在圆柱内的部分； 锥面与平面()所界部分的表面； 锥面被柱面所截部分； 曲面被平面及所截下的部分． 螺旋面的面积． 求环面()被两条经线和两条纬线所围成部分的面积，并求出整个环面的面积． §5 重积分的物理应用 求下列均匀密度的平面薄板的质心： 半椭圆； 高为，底分别为和的等腰梯形； 所界的薄板； 所界的薄板． 求下列密度均匀的物体的质心： (1) ； 由坐标面及平面所围成的四面体； 围成的立体； 和平面围成的立体； 半球壳． 求下列密度均匀的平面薄板的转动惯量： 边长为和，且夹角为的平行四边形，关于底边的转动惯量； 所围平面图形关于直线的转动惯量． 求由下列曲面所界均匀体的转动惯量： (1) 关于轴的转动惯量； (2) 长方体关于它的一棱的转动惯量； 圆筒，关于轴和轴的转动惯量． 设球体上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球的质量． 求均匀薄片对轴上一点(0，0，)(>0)处单位质点的引力． 求均匀柱体对于(0，0，) (>)处单位质点的引力．