数列极限习题课教案 任课教师：朱瑞英 辅导教师：李凤琴 基础知识 1．无穷大量定义：设是一数列，如果，正整数，当时，必有，则称是一个无穷大量，记作. 2．重要极限： . 3．数列极限存在的判定定理：单调有界数列必有极限. 本次习题课主要内容 1．通过例1介绍了求数列极限的两种方法. 2．用定义证明数列是无穷大量. 3．利用“单调有界数列必有极限”证明数列极限的存在性. 4．已知数列的极限，如何求与之相关的数列的极限. 习题 1.求极限 （1） （2） 解：（1）令= 则= 两式相减得= = = =  = =  （2）    = =  = □ 2.讨论的收敛性 解：当n=2k时（k为自然数），  = = = 当n=2k+1时，  = = == 于是 ， 极限值不同，因此无极限。 □ 3．用定义证明1＋是无穷大量 证明： ，自然数，使得，取N＝，当n＞N时， ＝＞ ＝ ＞ ＝ ＝ ＝ 于是，1+ 是无穷大量. □ 4．若，证明：。 证明：由于，，当n＞N时， 且  .  ＝   当n＞2N时， 于是  即 （n）. □ 5. 证明：若，有，且，则. 证明：由于，且，则 若，由于 及 根据夹挤定理有 若，由于，则 故 即 又  根据夹挤定理  □ 6．利用上题的结果证明： 若，，则  证明：（1）令， 则  （2）已知  应用第5题的结果有  且  = = = 于是， 又  从而  □ 7．证明：若， ,,则数列收敛，并求其极限。 证明：由于几何平均数不超过算术平均数 , 有 即  从而有下界。 又因为  则 ，即单调下降。 于是有极限。 设，由 令，则  解得  但是 ，由极限的保序性知 ，故  从而  □