第一章 实数集与函数 习题 §1实数 设a为有理数，x为无理数。证明： （1）a+ x是无理数；（2）当a≠0时，ax是无理数。 试在数轴上表示出下列不等式的解： （1）x（-1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）-≥。 设a、bR。证明：若对任何正数有|a-b|<，则a = b。 设x≠0，证明|x+|≥2，并说明其中等号何时成立。 证明：对任何xR有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。 设a、b、c（表示全体正实数的集合）。证明 |-|≤|b-c|。 你能说明此不等式的几何意义吗？ 设x>0，b>0，a≠b。证明介于1与之间。 设p为正整数。证明：若p不是完全平方数，则是无理数。 设a、b为给定实数。试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： （1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b；（3）|-a|<b。 §2数集、确界原理 用区间表示下列不等式的解： （1）|1-x|-x≥0；（2）| x+|≤6； （3）（x-a）（x-b）（x-c）>0（a，b，c为常数，且a<b<c）； （4）sinx≥。 设S为非空数集。试对下列概念给出定义： （1）S无上界；（2）S无界。 试证明由（3）式所确定的数集S有上界而无下界。 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证： （1）S={x|<2}；（2）S={x|x=n！，n}；（3）S={x|x为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-，n}。 设S为非空有下界数集。证明：infS=S=minS。 设S为非空数集，定义={x|-xS}。证明： （1）inf=-supS；（2）sup=-infS。 设A、B皆为非空有界数集，定义数集A+B={z|z=x+y，xA，yB}。证明： （1）sup（A+B）=supA+supB；（2）inf（A+B）=infA+infB。 设a>0，a≠1，x为有理数。证明 sup{|r为有理数，r<x}，当a>1， = inf{|r为有理数，r<x}，当a<1。 §3函数概念 试作下列函数的图象： （1）y=+1；（2）y=；（3）y=1-；（4）y=sgn（sinx）；（5）y= 试比较函数y=与y=log分别当a=2和a=时的图象。 根据图1-2写出定义在[0，1]上的分段函数（x）和（x）的解析表达式。 确定下列初等函数的存在域： （1）y=sin（sinx）；（2）y=lg（lgx）；（3）y=arcsin（lg）；（4）y=lg（arcsin）。 设函数f（x）= 求：（1）f（-3），f（0），f（1）；（2）f（Δx）-f（0），f（-Δx）-f（0）（Δx>0）。 设函数f（x）=，求f（2+x），f（2x），f（），f（f（x）），f（）。 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成： （1）y=；（2）y=；（3）y=lg（1+）；（4）y=。 在什么条件下，函数y=的反函数就是它本身？ 试作函数y=arcsin（sinx）的图象。 10、试问下列等式是否成立： (1)tan（arctanx）=x，xR； (2)arctan（tanx）=x，x≠kπ+，k=0，±1，±2，… 11、试问y=|x|是初等函数吗？ 12、证明关于函数y=[x]的如下不等式： （1）当x>0时，1-x<x[]≤1；（2）当x<0时，1≤x[]<1-x。 §4具有某些特性的函数 证明f（x）=是R上的有界函数。 （1）叙述无界函数的定义； （2）证明f（x）=为（0，1）上的无界函数； （3）举出函数f的例子，使f为闭区间[0，1]上的无界函数。 证明下列函数在指定区间上的单调性： （1）y=3x-1在（-∞，+∞）上严格递增； （2）y=sinx在[-，]上严格递增； （3）y=cosx在[0，π]上严格递减。 判别下列函数的奇偶性： （1）f（x）=+-1；（2）f（x）=x+sinx； （3）f（x）=；（4）f（x）=lg（x+）。 5、求下列函数的周期： （1）；（2）tan3x；（3）cos+2sin。 6、设函数f定义在[-a，a]上，证明： （1）F（x）=f（x）+f（-x），x[-a，a]为偶函数； （2）G（x）=f（x）-f（-x），x[-a，a]为奇函数； （3）f可表示为某个奇函数与某个偶函数之和。 7、设f、g为定义在D上的有界函数，满足 f（x）≤g（x），xD。 证明：（1）f（x）≤g（x）；（2） f（x）≤g（x）。 8、设f为定义在D上的有界函数，证明： （1）{-f（x）}=-f（x）；（2）f（x）=-f（x）。 9、证明：tanx在（-，）上无界，而在（-，）内任一闭区间[a，b]上有界。 10、讨论狄利克雷函数 1，当x为有理数， D（x）= 0，当x为无理数 的有界性、单调性与周期性。 11、证明：f（x）=x+sinx在R上严格增。 12、设定义在[a，+∞）上的函数f在任何闭区间[a，b]上有界。定义[a，+∞）上的函数：m（x）=f（y），M（x）= f（y）。 试讨论m（x）与M（x）的图象，其中 （1）f（x）=cosx，x[0，+∞）；（2）f（x）=，x[-1，+∞）。 总练习题 设a、bR，证明： （1）max{a，b}=（a+b+|a-b|）；（2）min{a，b}=（a+b-|a-b|）。 2、设f和g都是D上的初等函数。定义 M（x）=max{f（x），g（x）}，m（x）=min{f（x），g（x）}，xD 试问M（x）和m（x）是否为初等函数？ 3、设函数f（x）=，求： f（-x），f（x+1），f（x）+1，f（），，f（），f（f（x））。 4、已知f（）=x+，求f（x）。 5、利用函数y=[x]求解： （1）某系各班级推荐学生代表，每5人推荐1名代表，余额满3人可增选1名。写出可推选代表数y与班级学生数x之间的函数关系（假设每班学生数为30—50人）； （2）正数x经四舍五入后得整数y，写出y与x之间的函数关系。 6、已知函数y=f（x）的图象，试作下列各函数的图象： （1）y==-f（x）；（2）y=f（-x）；（3）y=-f（-x）；（4）y=|f（x）|； （5）y=sgnf（x）；（6）y=[|f（x）|+f（x）]；（7）y=[|f（x）|-f（x）]。 7、已知函数f和g的图象，试作下列各函数的图象： （1）（x）=max{f（x），g（x）}；（2）（x）= min{f（x），g（x）}。 8、设f、g和h为增函数，满足f（x）≤g（x）≤h（x），xR。 证明：f（f（x））≤g（g（x））≤h（h（x））。 9、设f和g为区间（a，b）上的增函数，证明第7题中定义的函数（x）和（x）也都是（a，b）上的增函数。 10、设f为[-a，a]上的奇（偶）函数。证明：若f在[0，a]上增，则f在[-a，0]上增（减）。 11、证明： （1）两个奇函数之和为奇函数，其积为偶函数； （2）两个偶函数之和与积都为偶函数； （3）奇函数与偶函数之积为奇函数。 12、设f，g为D上的有界函数。证明： （1）{f（x）+g（x）}≤f（x）+g（x）； （2）f（x）+g（x）≤{f（x）+g（x）}。 13、设f，g为D上的非负有界函数。证明： （1）f（x）·g（x）≤{f（x）g（x）}； （2）{f（x）g（x）}≤f（x）·g（x）。 14、将定义在[0，+∞）上的函数f延拓到R上，使延拓后的函数为（ⅰ）奇函数；（ⅱ）偶函数。设 （1）f（x）=sinx+1；（2）f（x）= 15、设f为定义在R上以h为周期的函数，a为实数。证明：若f在[a，a+h]上有界，则f在R上有界。 16、设f在区间I上有界。记 M=f（x），m=f（x）。 证明=M-m。 习题答案 §1实数 4、当x=±1时等号成立。 9、（1）当a<b时，x<；当a>b时，x>； （2）当a>b时，x>； （3）当a≥b>0时，<|x|<；当|a|<b时，|x|<。 §2数集、确界原理 1、（1）x（-∞，）； （2）x[-3-，-3+]∪[3-，3+]； （3）x（a，b）∪（c，+∞）； （4）x[+2kπ，+2kπ]，k=0，±1，±2，…。 4、（1）supS=，infS=-；（2）supS=+∞，infS=1； （3）supS=1，infS=0；（4）supS=1，infS= §3函数概念 3、== 4、（1）（-∞，+∞）；（2）（1，+∞）；（3）[1，100]；（4）（0，10）。 5、（1）-1，2，2；（2）-2，-Δx。 6、 7、（1）y=，u=1+x；（2）y=，u=arcsinv，v=； （3）y=lgu，u=1+v，v=，w=1+；（4）y=，u=，v=sinx。 10、（1）成立；（2）不成立。 §4具有某些特性的函数 4、（1）偶；（2）奇；（3）偶；（4）奇。 5、（1）π；（2）；（3）12π。 总练习题 是初等函数。（提示：利用第1题的结果） 3、 4、 5、（1）y=[]，x=30，31，…，50；（2）y=[x+0.5]，x>O。 14、（1）（ⅰ）f（x）= （ⅱ）f（x）= （2）（ⅰ）f（x）=（ⅱ）f（x）= 典型习题解答 1、（§1的第3题）设a、bR。证明：若对任何正数有|a-b|<，则a = b。 证法一：（用反证法）假设a≠b，则a>b或a<b。 当a>b时，则|a-b|=a-b。令=a-b，则为正数，与|a-b|=a-b<矛盾； 当a<b时，则|a-b|=b-a，令=b-a，则为正数，与|a-b|=b-a<矛盾 从而必有a = b。 证法二：已知任何正数有|a-b|<，则有-< a-b <。 当a-b <时，即a <+b，则根据P3的例2，有a≤b； 当-< a-b时，即b<+a，故有b≤a。 从而a = b。 2、（§2的第4（4）题）求数集S={x|x=1-，n}的上、下确界，并依定义加以验证。 解：由于0<≤，故xS，有≤x<1。从而supS=1，infS=。 先验证supS=1：由上已知xS，有x<1。又由于>0，k，使得=1- S，且=1->1-。 再证infS=：由上已知xS，有≤x。又由于>0，=1-=S，且<+。 3、（§2的第5题）设S为非空有下界数集。证明：infS=S=minS。 证明：1））设infS=S，则xS，有x≥，而S，故是S中最小的数，即=minS。 2））设=minS，则S。下证infS=。 ①xS，有x≥，即是S的下界；②>，只须取=S，则<，从而不是S的下界。故=infS。 4、（§4第1题）证明f（x）=是R上的有界函数。 证明：已知xR，有2x≤1+。从而xR，有||≤||≤1，即函数f（x）=在R上有界。 5、（§4第5（3）题）求函数y=cos+2sin的周期。 解：因为cos=cos（+2π）=cos（+）=cos，所以函数=cos的周期是4π；又因为sin=sin（+2π）=sin（+）=sin，所以函数=sin的周期是6π。故函数y=cos+2sin的周期是12π。 6、（§4第8题）设f为定义在D上的有界函数，证明： （1）{-f（x）}=-f（x）；（2）f（x）=-f（x）。 证明：先证等式{-f（x）}=-f（x）成立。 设f（x）=，则由下确界定义知，xD，有f（x）≥，即- f（x）≤-，可见-是- f（x）的一个上界；且>0，D ，使得f（）<+，即- f（）>--，可见-是-f（x）的上界中最小者。 故{-f（x）}=-=-f（x）。 同理可证等式f（x）=-f（x）成立。