第九章 定积分 习题 §1 定积分概念 按定积分定义证明：. 通过对积分区间等分分割，并取适当的点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分： （1）； （2）； （3）； （4）. §2 牛顿—莱布尼茨公式 计算下列定积分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 利用定积分求极限： （1）； （2）； （3）； （4）. 3，证明：若在上可积，在上连续，且除有限个点外有，则 . §3 可积条件 证明：若是增加若干个分点后所得的分割，则. 证明：若在上可积，，则在上也可积. 设均为定义在上的有界函数.证明：若仅在中有限个点处，则当在上可积时，在上也可积，且. 设在上有界，.证明：若在上只有为其间断点，则在上可积. 证明：若在区间上有界，则 . §4 定积分的性质 证明：若与都在上可积，则 ，其中是所属小区间中的任意两点，. 不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小： （1）与； （2）与. 证明下列不等式： （1）； （2）； （3）； （4）. 设在上连续，且不恒等于零，证明：. 设与都在上可积，证明：在上也都可积. 试求心形线上各点极径的平均值. 设在上可积，且在上满足.证明：在上也可积. 进一步证明积分第一中值（包括定理9.7和定理9.8）中的中值点. 证明：若与都在上可积，且在上不变号，分别为在上的上、下确界，则必存在某实数，使得. 10．证明：若在上连续，且.则在内至少存在两点，使.又若，这时在内是否至少有三个零点？ 11．设在上二阶可导，且.证明： （1）； （2）又若，则又有. 12．证明：（1）； （2）. §5 微积分学基本定理及定积分计算（续） 1．设为连续函数，均为可导函数，且可实行复合与.证明：  2．设在上连续，.证明：. 求下列极限： （1）； （2）. 计算下列定积分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）. 设在上可积.证明： （1）若为奇函数，则； （2）若为偶函数，则. 6．设为上以为周期的连续函数.证明：对任何实数，恒有 . 7．设为连续函数.证明： （1）； （2）. 8．设（为正整数）.证明： , 并求. 9．证明：若在上为连续函数，且对任何有 常数，， 则，为常数. 10．设为连续可微函数，试求，并用此结果求. 11．设为上严格增的连续曲线（图9-12）.试证存在，使图中两阴影部分面积相等. 12．设为上的单调递减函数.证明：对任何正整数恒有. 13．证明：当时有不等式. 14．证明：若在上可积，在上单调且连续可微，，则有. 15．证明：若在上为连续函数，为连续可微的单调函数，则存在，使得 . §6 可积性理论补叙 1．证明性质2中关于下和的不等式（3）. 2．证明性质6中关于下和的极限. 3．设试求在上的上积分和下积分；并由此判断在上是否可积. 4．设在上可积，且.试问在上是否可积？为什么？ 5．证明：定理9.15中的可积第二充要条件等价于“任给，存在，对一切满足的，都有. 6．据理回答： （1）何种函数具有“任意下和等于任意上和“的性质？ （2）何种连续函数具有“所有下和（或上和）都相等“的性质？ （3）对可积函数，若“所有下和（或上和）都相等“，是否仍有（2）的结论？ 7．本题的最终目的是要证明：若在上可积，则在内必定有无限多个处处稠密的连续点.这可用区间套方法按以下顺序逐一证明： （1）若是的一个分割，使得，则在中存在某个小区间，使得. （2）存在区间，使得. （3）存在区间，使得. （4）继续以上方法，求出一区间序列，使得 .说明为一区间套，从而存在；而且在点连续. （5）上面求得的的连续点在内处处稠密. 总练习题 1．证明：若在上连续，二阶可导，且，则有 . 2．证明下列命题： （1）若在上连续增，则为上的增函数. （2）若在上连续，且，则为上的严格增函数.如果要使在上为严格增，试问应补充定义？ 3．在上连续，且，证明：. 4．设是定义在上的一个连续周期函数，周期为，证明： . 5．证明：连续的奇函数的一切皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数. 6．证明施瓦茨不等式：若和在上可积，则  7．利用施瓦茨不等式证明： （1）若在上可积，则； （2）若在上可积，且，则； （3）若、都在上可积，则有闵可夫期基不等式：  8．证明：若在上连续，且，则 9．设为上连续减函数，；有设.证明：为收敛数列. 10．证明：若在上可积，且处处有，则. 习题答案 §1 定积分概念 2．（1）；（2）；（3）；（4） §2 牛顿—莱布尼茨公式 1．（1）4；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）； （8）. 2．（1）；（2）；（3）；（4） §4 定积分的性质 6． 10．提示：证得存在第一个零点后，考察辅助函数. 11．提示：凸，等价于曲线在任一切线的上方.（1）取；（2） ，对积分. 12．提示：，在上积分. §5 微积分学基本定理及定积分计算（续） 3．（1）1；（2）0. 4．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）； （7）；（8）；（9）；（10）2；（11）；（12） 8． 10．；. 12．，13.提示：使用积分第二中值定理. 15．提示：，对进行分部积分. 总练习题 1．提示：凸，，并积分之. 3．提示：，并考察右边两项的极限. 4．提示：，利用周期函数的性质. 8．提示：与第1题类似，但需注意为凹函数. 9．提示：证明递减，有下界. 典型习题解答 1．（§2第3题）证明：若在上可积，在上连续，且除有限个点外有，则 . 证明：设，且，对的任一分割.记也是的一个分割.在属于的每个小区间上对使用拉格朗日中值定理，则分别存在，使得  因为在上可积，所以. 2．（§3第4题）设在上有界，.证明：若在上只有为其间断点，则在上可积. 证明：不妨设，由于，故，使得当时，有，从而在上只有有限个间断点，因此在上可积，于是存在对的某一分割，使得.令，则是对的一个分割，记在上的振幅为，则，即在上可积. 3．（§4第11题）设在上二阶可导，且.证明： （1）； （2）又若，则又有 证明：（1）由可知，，从而  即 （2），由泰勒公式知，，位于与之间.因为,所以，两边关于积分，得     其中.即 4．（§4第12题）证明：（1）； （2）. （1）证明：令，则   从而. （2）由（1）知，因为，所以 ，从而有 5．（§5第9题）证明：若在上为连续函数，且对任何有 常数，， 则，为常数. 证明：由题设知，，即，有，特别取，则. 6．（§5第13题）证明：当时有不等式 证明：令.由积分第二中值定理，得   其中.