第四章 函数的连续性 习题 §1 连续性概念 按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1）； （2）  指出下列函数的间断点并说明其类型： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） （7） 延拓下列函数，使其在上连续： （1）； （2）； （3）. 证明：若在点连续，则与也在点连续。又问：若与在上连续，那么在上是否必连续？ 设当时，而。证明：与两者中至多有一个在连续 设为区间上的单调函数。证明：若为的间断点，则必是的第一类间断点 设只有可去间断点，定义，证明：为连续函数 设为上的单调函数，定义，证明：在上每一点都右连续 举出定义在上分别符合下述要求的函数： （1）只在三点不连续的函数； （2）只在三点连续的函数； （3）只在上间断的函数；4）只在右连续，而在其他点都不连续的函数 §2 连续函数的性质 论复合函数与的连续性，设 （1），；（2），. 2. 设 在点连续，证明： （1）若，则存在，使在其内有； （2）若在某内有，则 3. 设 在区间连续.记.证明：也在上连续. 设为上连续函数，常数.记  证明：在上连续. 5.设证明：复合函数在连续，但在不连续. 6.设在上连续，且存在.证明：在上有界.又问在上必有最大值或最小值吗？ 7.若对任何充分小的，在上连续，能否由此推出在内连续. 8.求极限： （1）； （2）. 9.证明：若在上连续，且对任何，则在上恒正或恒负. 10．证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根. 11．试用一致连续的定义证明：若都在区间上一致连续，则也在区间上一致连续. 12．证明：在区间上一致连续. 13．证明：在区间上一致连续，但在区间上不一致连续. 14．设函数在区间上满足利普希芝条件，即存在常数，使得对上任意两点都有.证明：在上一致连续. 15．证明：在上一致连续. 16．设函数满足第6题的条件.证明：在上一致连续. 17．设在上连续，且.证明：存在点，使得 18．设为上的增函数，其值域为.证明：为上连续. 19．设为上连续.，.证明：存在，使得 . 20．证明：在上一致连续. §3 初等函数的连续性 求下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 设.证明：. 总练习题 设函数在内连续，且与为有限值.证明： （1）在内有界； （2）若存在，使得，则在内能取到最大值. 2．设函数在内连续，且.证明：在内能取到最小值. 3．设函数在区间上连续，证明： （1）若对任何有理数有，则在上； （2）若对任意两个有理数，有，则在上严格增. 4．设为正数，.证明：方程  在区间与内各有一个根. 5．设在上连续，且对任何，存在，使得 . 证明：存在，使得. 6．设在上连续，，另有一组正数满足 .证明：存在一点，使得  7．设在上连续，满足.设 .证明： （1）为收敛数列； （2）设，则有； （3）若条件改为，则. 8．设在上连续，.证明：对任何正整数，存在，使得 . 9．设在连续，且对任何有.证明： （1）在上连续； （2）. 10.设定义在上的函数在两点连续，且对任何有.证明：为常量函数. 习题答案 §1 连续性概念 2．（1），第二类间断点；（2），跳跃间断点； （3），可去间断点；（4），可去间断点； （5），跳跃间断点；（6）除外每一点都是跳跃间断点； （7）为第二类间断点，为跳跃间断点. §2 连续函数的性质 1．（1）处处连续，，为可去间断点； （2），为跳跃间断点，处处连续. 8．（1）；（2）. §3 初等函数的连续性 1．（1）6；（2）；（3）1；（4）1；（5）. 典型习题解答 1．（§1 第6题）设为区间上的单调函数。证明：若为的间断点，则必是的第一类间断点 证明；取，则在上单调有界，从而存在，又取，则在上单调有界，所以存在，但在点不连续，因此是的第一类间断点. 2．（§1 第7题）设只有可去间断点，定义，证明：为连续函数 证明：设为的定义域内的任意点.因为，所以，使得当时，有 （1） ，当时，（1）成立，从而  即 因此在点连续，由的任意性，为连续函数. 3．（§2 第12题）证明：在区间上一致连续. 证明：因为 ，有  所以，取，对，只要，就有  因此在区间上一致连续. 4．（§2 第13题）证明：在区间上一致连续，但在区间上不一致连续. 证明：由在区间上连续，故在区间上一致连续 下证在区间上不一致连续. 取，取，则 于是，存在，使得，但  所以在区间上不一致连续. 5．（总练习题 第8题）设在上连续，.证明：对任何正整数，存在，使得  证明：当=1时，取即可 当时，考虑，则有  于是 由第6题，存在，使得  即 6．（总练习题 第10题）设定义在上的函数在两点连续，且对任何有.证明：为常量函数. 证明：，有，故为偶函数. 只考虑在上的情况 ，有 所以  于是 所以 .