多元函数的极值与条件极值
2003级数理基地班 数学分析课 教师 张静
一、函数的极值
1.函数的极值与最值的区别
函数的极大(小)值与整个区域上的最大(小)值不可混为一谈,前者是指函数在一点附近的最大(小)值,是局部性的,后者是函数在整个区域上的最大(小)值,是整体性的。
2.函数取得极值的必要条件
定理:设函数在点具有偏导数,且在点处有极值,则它在该点的偏导数必然为零:。
注:该定理只是给出了偏导数存在时,函数取得极值的必要条件,但满足,的点不一定是函数的极值点,而且取得极值的点处也可能是偏导数不存在的点。
例:偏导数不存在的点可能是极值点,设
由极值的定义可以很容易得出点是函数的极小值点,但在点函数的偏导数不存在。
例:满足的点不一定是函数的极值点。
设,则,故在点有 ,但点既不是这个函数的极大值点也不是极小值点。因为这个函数在原点的值为零,而在原点附近当时,,当时,。
3.函数取得极值的充分条件
定理:设函数在点的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,又,,令 ,,,
则在点处是否取得极值的条件如下:
(1)时具有极值,时为极大值,时为极小值;
(2)时没有极值;
(3)时可能有极值,也可能无极值,需进一步讨论。
4.典型例题
例:证明函数有无穷多个极大值,但无极小值。
证明:
由 解得 .
即驻点为和.
而
在点
-
∴ 点为极大值点,极大值为2。
在点
故点不是极值点。
而函数不可能在其它点取得极值,故该函数有无穷多个极大值,但无极小值。
二、函数的最值
1.求函数最值的一般方法
求函数在区域D内的最值时,首先算出函数在D内的所有驻点处和导数不存在点处的函数值,与其在D的边界上最大值和最小值相互比较,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值。
2.典型例题
例:在已知周长为的一切三角形中求出面积最大的三角形。
解:设三角形的边长为x,y,z,由于周长为故.
则由面积公式知三角形的面积为
由于三角形的三条边长分别为x,y,,故x,y应满足条件: ,因此求S的最大值,相当于求函数在区域D:上的最大值。
而
故在区域D的内部只有点是驻点,而在该点
而区域D的边界为,在边界上函数均为0。
所以在区域D上在点取得最大值,最大值为。
由于,此时,故在周长为2p的一切三角形中面积最大的为等边三角形,面积为。
三、函数的条件极值
1.条件极值是指对自变量有附加条件的极值,如求函数在条件下的极值就为条件极值.
2.原则上说,从条件中解出,代入函数中,即化成的普通极值问题,但是这种方法有时行不通,即使能从中解出z,也往往比较繁,我们常用拉格朗日乘子法。
3.拉格朗日乘子法:
① 如求函数在条件下的极值:
构造拉格朗函数
则条件极值即化为求的普通极值问题,由
解出,其中就是可能的极值点的坐标。
② 对可能的极值点进一步判断其是否为极值。
(i)可以通过讨论二阶全微分的符号来进行判断,若则该点为极小值点,若则该点为极大值点。在讨论的符号时要注意,满足条件。
(ii)可以通过矩阵的正、负定来进行判断,其中,,,,,。若该矩阵正定,则该点为极小值点;若该矩阵负定,则该点为极大值点,但该矩阵不定时,不能说明该点不是极值点,需进一步判断,这是因为此时没有利用条件。
4.典型例题
例:求函数在条件下的极值。
解:构造函数
则
由 解得 或
即函数可能在点()和()取得极值。
(i)通过的符号判断上面的点是否为极值点。
对于点(),
∴ 故f在点()有极小值,极小值为–3。
对于点()
∴ 故f在点()有极大值,极大值为3。
(ii)通过矩阵的正、负定来判断上面的点是否为极值点。
, , ,,
对于点(),
∴ ,,,
故矩阵 正定,∴点()为函数的极小值点,极小值为–3。
对于点(),
∴,,,
故矩阵 负定,∴点()为函数的极大值点,极大值为3。
例:求函数在条件下的极值
解:构造函数
则,
由 解得
即函数可能在点取得极值。
(i)通过的符号判断点是否为极值点
由 知
故
∴ 在点处有极大值。
(ii)通过正、负定来判断
,即
∴ 不能判定点是否为极值点。