第十八章 极值与条件极值 §1 极值与最小二乘法 1．下列函数的极大值点和极小值点： (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  2．已知,观测得一组数据i=1,2,…,n，利用最小二乘法，求系数a,b,c所满足的三元一次方程组. 3．已知平面上有n个点的坐标分别是 …， 试求一点，使它与这n个点距离的平方和最小. 4．求下列函数在指定范围D内的最大值和最小值： (1)  (2)  (3) . 5．求证： (1) 在有最小值，无最大值，其中 (2) 在有最小值，无最大值. 6．设有二阶连续偏导数，并且 ， 讨论由确定的隐函数在去的极值的必要和充分条件.求由  所确定的的极值. 7．求下列隐函数的极大值和极小值： (1) ； (2)  8．在已知周长为的一切三角形中，求出面积最大的三角形. 9．有一块铁片，宽24cm，要把它的两边折起做成一个槽，使得容积最大，求每边的倾角和折起的宽度(见下图).   §2 条件极值与拉格朗日乘数法 求下列函数在所给条件下的极值： (1) ，若； (2) ，若； (3) ，若； (4) ，若； (5) ，若，； (6) ，若； (7) ，若，. 2．求在条件，，，，， 之下的最大值. 3．求函数在条件之下的极值，并证明：当 时 . 4．求表面积一定而体积最大的长方体. 5．求体积一定而表面积最小的长方体. 6．求圆的外切三角形中面积最小者. 7．长为的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆。这两段的长各为多少时，它们所围正方形面积和圆面积之和最小. 8．求原点到二平面，的交线的最短距离。 9．求抛物线和直线间的最短距离. 10．求时函数在球面 上的极大值.明为正实数时， . 11．设函数，，二阶可微，雅克比矩阵  秩为2. ， 若是函数的稳定点，证明：当时，是函数在约束条件 ， 下的条件极小（大）值点.