第十四章 傅里叶级数 §1 三角级数与傅里叶级数 1.证明 (1) ,,, ,是上的正交系; (2) ,,, ,是上的正交系; (3) 1,,,,,是上的正交系; (4) 1,,,, ,不是上的正交系; 2.求下列周期为的函数的傅里叶级数: (1) 三角多项式; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) ; (9) ; (10) . 3.设以为周期,在绝对可积,证明: (1) 如果函数在满足,则 ; (2) 如果函数在满足,则 . §2 傅里叶级数的收敛性 1.将下列函数展成傅里叶级数,并讨论收敛性: (1) ; (2) ; 2.由展开式 , (1) 用逐项积分法求,,在中的傅里叶展开式; (2) 求级数,的和. 3. (1) 在 内,求的傅里叶展开式; (2) 求级数的和. 4.设在上逐段可微,且. ,为的傅里叶系数,,是的导函数的傅里叶系数,证明: ,, . 5.证明:若三角级数  中的系数,满足关系 , M为常数,则上述三角级数收敛,且其和函数具有连续的导函数. 6.设,求证: . 7.设以为周期,在上单调递减,且有界,求证:. 8.设以为周期,在上导数单调上升有界. 求证:. 9.证明:若在点满足阶的利普希茨条件,则在点连续. 给出一个表明这论断的逆命题不成立的例子. 10.设是以为周期的函数,在绝对可积,又设是的傅里叶级数的前n项部分和 , 则 , 其中是狄利克雷核. 11.设是以为周期,在连续,它的傅里叶级数在点收敛. 求证: . 12.设是以为周期、连续,其傅里叶系数全为0,则. 13.设是以为周期,在绝对可积. 又设满足  存在. 证明. 进一步,若在点连续,则,其中 . §3 任意区间上的傅里叶级数 1.将下列函数在指定区间上展开为傅里叶级数,并讨论其收敛性: (1) 在区间展开  (2) ; (3) ; (4)  2.求下列周期函数的傅里叶级数: (1) ; (2) . 3.把下列函数在指定区间上展开为余弦级数: (1) ; (2)  4.把下列函数在指定区间上展开为正弦级数: (1)  (2) . 5.把函数在上展开成余弦级数,并推出 . 6.将函数分别作奇延拓和偶延拓后,求函数的傅里叶级数,其中  7.应当如何把给定在区间的可积函数延拓到区间内,使得它在中对应的傅里叶级数为: (1) ; (2) . §4 傅里叶级数的平均收敛性 1.若, 以为周期,在平方可积, , , 则 . 2.设在上平方可积,求证: , 其中 .