第五章 微分中值定理及应用
§1 微分中值定理
1.证明:(1)方程(是常数)在区间内不可能有两个不同的实根;
(2)方程(为正整数,为实数)当为偶数时至多有两个实根;当为奇数时至多有三个实根。
2.设为正整数,,则存在,使
3.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式:
(1)
(2)等号成立当且仅当;
(3)
(4)
(5)
4.设函数在点具有连续的二阶导数,证明
5.设,求证:任意,有
函数在可导,其中,证明:存在,使得
7.设在上可导,且。求证:存在,使。
8.设可导,求证:在两零点之间一定有的零点.
9.设函数在附近连续,除点外可导,且,求证:存在,且.
10.若在可导,且,为介于和之间的任一实数,则至少存在一点,使.
11.设函数在内可导,且单调,证明在连续.
12.若函数,和在连续,在可导,证明存在,使得
.
13.设在连续,且,证明:在上取到它的最小值.
14.设在连续,.
(1)若存在,使,则在上达到最大值;
(2)如果存在,使,能否断言在上达到最大值?
15.设在有界,存在,且.求证.
16.求证:.
§2 微分中值定理及其应用
1.求下列待定型的极限:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
2.对函数在上应用拉格朗日中值定理有
试证对下列函数有:
(1)
(2)
3.设二阶可导,求证:
4.下列函数不能用洛必达法则求极限:
(1)
(2)
(3)
(4)
§3 函数的升降、凸性和函数作图
1.应用函数的单调性证明下列不等式:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2.确定下列函数的单调区间:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
3.求下列函数的极值:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
4.设
(1)证明:是函数的极小值点;
(2)说明在的极小值点处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.
5.证明:若函数在点处有,则为的极大值点.
6.设在处都取的极值,试定出和的值;并问这时在和是取得极大值还是极小值;
(1) 求函数在上的极值;
(2) 求方程有两个正实根的条件.
8.设,在实轴上连续可微,且
求证:的两实根之间一定有的根.
9.确定下列函数的凸性区间与拐点:
(1)
(2)
(3)
(4)
10.证明曲线有位于同一直线上的三个拐点.
11.问,为何值时,点为曲线的拐点?
12.证明:
(1) 若为下凸函数,为非负实数,则为下凸函数;
(2) 若、均为下凸函数,则为下凸函数;
(3) 若为区间上的下凸函数,为上的下凸递增函数,,则为上的下凸函数.
13.设为区间上严格上凸函数,证明:若为的极小值点,则为在上唯一的极小值点.
14.应用下凸函数概念证明如下不等式:
(1) 对任意实数有
(2) 对任何非负函数有
.
15.如何选择参数,方能使曲线
在(为给定的常数)处有拐点.
16.求的极值及拐点,并求拐点处的切线方程.
17.作出下列函数的图形:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9).
§4 函数的最大值最小值问题
1.求下列函数在指定区间上的最大值与最小值
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2.给定长为的线段,试把它分成两段,使以这两段为边所围成的矩形面积为最大.
3.设用某仪器进行测量时,读得次实验数据为问以怎样的数值表达
所要测量的真值,才能使它与这个数之差的平方和为最小.
4.求内接于椭圆而边平行于坐标轴的面积最大的矩形.
5.点到抛物线最短距离.
6.做一个圆柱形锅炉,已知起容积为,两端面材料的每单位面积价格为元.侧材料的每单位面积价格为元,问锅炉的直径与高的比等于多少时,造价最省?
7.某村计划修建一条断面面积为的梯形渠道,侧面的坡度为(即底边与斜高间夹角满足),底边与斜高为多长时湿周最小.(根据经验,湿周最小时渠道过水能力最大.)
8.设炮口的仰角为,炮弹的初速为,炮口取作原点,发炮时间取作,不计空气阻力时,炮弹的运动方程为:
若初速不变,问如何调整炮口的仰角,使炮弹射程最远.