第十九章 含参变量的积分
§1 含参变量的正常积分
求下列极限:
(1) ;
(2) ;
(3) .
2.求,其中:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
3.设为连续函数,
,
求.
4.研究函数
的连续性,其中是[0,1]上连续且为正的函数.
5.应用积分号下求导法求下列积分:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
6.应用积分交换次序求下列积分:
(1) ;
(2) .
7.设为可微函数,试求下列函数的二阶导数:
(1) ;
(2) ;
8.证明:.
9.设,问是否成立
.
10.设
求证.
11.设为两次可微函数,为可微函数,证明函数
满足弦振动方程
及初始条件
.
§2 含参变量的广义积分
1.证明下列积分在指定的区间内一致收敛:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) .
2.讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性:
(1) ;
(2) ,
(i),(ii);
(3) ,
(i),(ii);
(4) .
3.设在连续,当皆收敛,且。
求证:关于在一致收敛.
4.讨论下列函数在指定区间上的连续性:
(1) ,;
(2) ,;
(3) ,.
5.若在上连续,含参变量广义积分
在收敛,在时发散,证明在不一致收敛.
6.含参变量的广义积分在一致收敛的充要条件是:对任一趋于的递增数列(其中),函数项级数
在上一致收敛.
7.用上题的结论证明含参变量广义积分在的积分交换次序定理(定理19.12)和积分号下求导数定理(定理19.13).
8.利用微分交换次序计算下列积分:
(1) (为正整数,);
(2) ();
(3) ().
9.用对参数的积分法计算下列积分:
(1) ();
(2) ().
10.利用计算拉普拉斯积分
和
.
11.利用计算傅伦涅尔积分
和
.
12.利用已知积分
,
计算下列积分:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) .
13.求下列积分:
(1) ;
(2) .
14.证明:
(1) 在 上一致收敛;
(2) 在 上一致收敛.
§3 欧拉积分
1.利用欧拉积分计算下列积分:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) (为正整数);
(8) ;
(9) (为正整数);
(10) (为正整数).
2.将下列积分用欧拉积分表示,并求出积分的存在域:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) .
3.证明:
(1) ;
(2) .
4.证明:
;
.