第十九章 含参变量的积分 §1 含参变量的正常积分 求下列极限: (1) ; (2) ; (3) . 2.求,其中: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 3.设为连续函数, , 求. 4.研究函数  的连续性,其中是[0,1]上连续且为正的函数. 5.应用积分号下求导法求下列积分: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 6.应用积分交换次序求下列积分: (1) ; (2) . 7.设为可微函数,试求下列函数的二阶导数: (1) ; (2) ; 8.证明:. 9.设,问是否成立 . 10.设  求证. 11.设为两次可微函数,为可微函数,证明函数  满足弦振动方程  及初始条件 . §2 含参变量的广义积分 1.证明下列积分在指定的区间内一致收敛: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) . 2.讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性: (1) ; (2) , (i),(ii); (3) , (i),(ii); (4) . 3.设在连续,当皆收敛,且。 求证:关于在一致收敛. 4.讨论下列函数在指定区间上的连续性: (1) ,; (2) ,; (3) ,. 5.若在上连续,含参变量广义积分  在收敛,在时发散,证明在不一致收敛. 6.含参变量的广义积分在一致收敛的充要条件是:对任一趋于的递增数列(其中),函数项级数  在上一致收敛. 7.用上题的结论证明含参变量广义积分在的积分交换次序定理(定理19.12)和积分号下求导数定理(定理19.13). 8.利用微分交换次序计算下列积分: (1)  (为正整数,); (2) (); (3)  (). 9.用对参数的积分法计算下列积分: (1) (); (2) (). 10.利用计算拉普拉斯积分  和 . 11.利用计算傅伦涅尔积分  和 . 12.利用已知积分 , 计算下列积分: (1) ; (2) ; (3)  ; (4)  ; (5)  . 13.求下列积分: (1) ; (2) . 14.证明: (1) 在 上一致收敛; (2) 在 上一致收敛. §3 欧拉积分 1.利用欧拉积分计算下列积分: (1) ; (2) ; (3) ; (4)  ; (5) ; (6) ; (7)  (为正整数); (8) ; (9)  (为正整数); (10)  (为正整数). 2.将下列积分用欧拉积分表示,并求出积分的存在域: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5)  . 3.证明: (1)  ; (2) . 4.证明: ;  .