习题课讲稿 任课教师:刘德???? 辅导教师:刘全生 目的：本次习题主要是要求学生掌握复合函数的概念及复合函数的求法、用“任意”和“存在”语言掌握函数有界和无界的概念；并对高中讲过的反函数及其定义域的求法、函数的奇偶性求法进行了复习；最后要求学生掌握函数延拓概念。 一、??????? 求复合函数 (1)? ，求。 解：，且，故和的复合都有意义。   (2)? ? 解：，且，故和的复合都有意义。   二、??????? 求下列函数的反函数及反函数的定义域。 (1)? ? 解：，整理得  解得 ????????????????? （只能取正号） ， 于是它的反函数为 ，它的定义域为R。 (2)? ? 解：a)当时，函数的反函数是，定义域为。 ? b)当时，函数的反函数是，定义域为。 ? c) 当时，函数的反函数是，定义域为。 ?? 那么，该函数的反函数为  三、??????? 在D上无界，即。 (1)? 用和语言，叙述函数在D上无界。 叙述如下：对 (2)? 证明函数在上是无界的。 证明：对，取，则 即，对，， 故函数在上是无界的。 四、??????? 证明函数的单调性。 (1)? 证明在上严格单调增加。 证明：设，那么 ???????????????  故，所以在上严格单调增加。 (2)? 证明在上严格单调减少。 证明：设，那么 ???????????????  因为故，，得到，所以 ，，所以在上严格单调减少。 (3)? 证明在上严格单调增加。 解：设，那么 ??????? ???????? 因为故，得到，所以在上严格单调增加。 五、??????? 关于函数奇偶性的证明。 (1)? 证明对任何的一个函数，存在奇函数和偶函数，使得。 证明：把表示为如下形式：  令 ， ? 则 ，容易验证是奇函数，是偶函数，于是结论成立。 (2)? 指出函数的奇偶性。 解： ?????????????????????  ????????????????????? ，故此函数为奇函数。 (3)? 指出函数的奇偶性。 解：,此函数的定义于为，故此函数为奇函数。 六、把函数延拓为实数轴上周期为2的奇函数。 图? 函数延拓后的图像  ?