第十六章 偏导数与全微分 §1 偏导数与全微分的概念 1.求下列函数的偏导数: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 2.设  考察函数在(0,0)点的偏导数. 3.证明函数在(0,0)点连续但偏导数不存在. 4.求下列函数的全微分: (1) ; (2) . 5.求下列函数在给定点的全微分: (1) 在点(1,0)和(0,1); (2 ) 在点(0,1)和(1,1); (3) 在点(1,1,1); (4) 在点(0,1). 6.考察函数在(0,0)点的可微性,其中  7.证明函数  在(0,0)点连续且偏导数存在,但在此点不可微。 8.证明函数  的偏导数存在,但偏导数在(0,0)点不连续,且在(0,0)点的任何邻域中无界,而在原点(0,0)可微。 9.设  证明和在(0,0)点连续. 10.设  证明在(0,0)点可微,并求. 11.设  (1) 是通过原点的任意可微曲线(即时,、可微).求证可微. (2) 在(0,0)不可微. 12.设很小,利用全微分推出下列各式的近似公式: (1)  (2) . 13.设在矩形:内可微,且全微分恒为零,问在该矩形内是否应取常数值?证明你的结论. 14.设在存在,在连续,求证在可微. 15.求下列函数的所有二阶偏导数: (1) ; (2) ; (3) ; (3) . 16.求下列函数指定阶的偏导数: (1) ,求; (2) ,求所有三阶偏导数; (3) ,求,; (4) ,求; (5)  ,求; (6) ,求. 17.验证下列函数满足 . (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 18.设函数,证明 . 19.设在点的某邻域内存在且在点可微,则有 . §2 复合函数与隐函数微分法 1.求下列函数的所有二阶偏导数: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 2.设,其中是可微函数,验证 . 3.设,为常数,函数二阶可导,。 证明 . 4.若函数对任意正实数满足关系 , 则称为次齐次函数.设可微,试证明为次齐次函数的充要条件是 . 5.验证下列各式: (1) ,则; (2) ,则; (3) ,则; (4) ,则. 6.设可微,在极坐标变换, 下,证明 . 这时称是一个形式不变量. 8.设函数满足拉普拉斯方程 , 证明在下列变换下形状保持不变,即仍有. (1) ,; (2) ; (3) 满足.这组方程称为柯西-黎曼方程. 9.作自变量的变换,取为新自变量: (1) ,变换方程; (2) ,变换方程. 10.作自变量和因变量的变换,取为新的自变量,为新的因变量: (1) 设,变换方程 ; (2) 设,变换方程 . 11.求下列方程所确定的函数的一阶和二阶偏导数: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 12.求由下列方程所确定的函数的全微分; (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 13.设由方程 所确定,证明。 14.设,其中为由方程所确定的隐函数,求和. 15.设,其中为由方程所确定的隐函数,求,. 16.求下列方程组所确定的函数的导数和偏导数: (1) 求; (2)  求; (3)  求; (4)  求. 17.下列方程组定义为的函数,求,. (1)  (2)  §3 几何应用 1.求下列曲线在所示点处的切线方程和法平面方程“ (1) ,在点; (2) ,在点(1,-1,2); (3) ,在点(1,-2,1); (4) ,在点. 2.求下列曲面在所示点处的切平面方程和法线方程: (1) ,在点(1,1,2); (2) 在点; (3) 在点(2,1,12); (4) 在点. 3.证明曲线在锥面的母线相交成同一角度. 4.求平面曲线上任一点的切线方程,并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长. 5.求曲面的切平面,使它平行于平面. 6.证明:曲面的切平面与某一定直线平行,其中为常数. 7.证明曲面的每一切平面都通过原点. 8.求两曲面  的交线在平面上的投影曲线的切线方程. §4 方向导数 1.设,求在点沿到点的方向导数. 2.求函数在点处沿到点的方向上的方向导数. 3.求: (1) ,,与轴正向的夹角为; (2) ,, 与向量同向. 4.设函数在可微,单位向量,,,,确定使得 . 5.设在可微,在指向的方向导数是1,指向原点的方向导数是-3,试回答: (1) 指向的方向导数是多少? (2) 指向的方向导数是多少? §5 泰勒公式 1.写出下列函数在指定点的泰勒公式: (1),在(1,-2)点. (2) ,在(-1,1)点. 2.求函数在(1,1)点邻域的阶带拉格朗日余项的泰勒公式. 3.求函数在(1,-1)点邻域的二阶泰勒公式,并写出拉格朗日余项. 4.求下列函数在点邻域的四阶泰勒公式: (1) ; (2) ; (3) ; (4) 。 5.证明泰勒公式的唯一性:若 , 其中.求证(为非负整数,…),并利用唯一性求带拉格朗日余项的阶泰勒展开式. 6.通过对用中值定理,证明存在,使 . 7.设在区域内有偏导数存在,且.证明在 为常数. 8.若是很小的量,导出下列函数准确到二次项的近似公式: (1) ; (2) . 9.设函数有直到阶连续偏导数,试证的阶导数 . 10.设为次齐次函数,证明 …. 11.设,其中为常数,在包含原点的某邻域内,有阶连续导数.求证:在(0,0)点邻域的泰勒公式是 .