上页下页
n 阶行列式第一章上页下页
§ 1 全排列及逆序数定义 1 由 1,2,……,n组成的一个有序数组称为一个 n 级全排列（简称 排列 ）。
定义 2 在一个排列中，如果两个数（称为数对）的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个 逆序 （ 反序 ）。一个排列中逆序的总数称为这个排列的 逆序数 。
一个排列 j1,j2,…,j n的逆序数，一般记为?(j1,j2,…,j n)
上页下页排列 12的逆序数为 0，
排列 21的逆序数为 1，
排列 231 的数对 21,31均构成逆序，而 23不够成逆序，
因此排列 231的逆序数为 2。
排列 213的逆序数是 1。
定义 3 逆序数为偶数的排列称为 偶排列,逆序数为奇数的排列称为 奇排列 。
上页下页
§ 2 行列式的定义定义 4 设有 n2个数 aij（ i,j＝ 1,2,…,n）,
排成正方阵形式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
在不同行、不同列中取 n个数作乘积,并乘以符号 （其中 J为列标排列 j1,j2,…,j n的逆序数），记为,这样的乘积有 项。
nnjjj aaa?21 21
J)1(?
nnjjj
J aaa?
21 21)1(
!n
上页下页
n
n
njj
jj
j
J aaa?
2
1
1 21
1
它们的和称为 n阶行列式 。
记为
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
称为行列式的元素ija
n
n
njj
jj
j
J
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D?
2
1
1 21
21
22221
11211
1
展开式或行列式的值阶行列式的此式称为 n
上页下页例 计算 4阶行列式
44434241
333231
2221
11
0
0 0
0 0 0
aaaa
aaa
aa
a
D?
解,根据定义,D是 4！＝ 24项的代数和，但每一项的乘积 中只要有一个元素为 0，乘积就等于 0，所以只需展开式中不明显为 0 的项。
njjjj aaaa 4321 321
行列式展开式中不为 0的项只可能是 a11a22a33a44，
而列标排列 1234的逆序数为 0，即此项符号为正，
因此行列式 D＝ a11a22a33a44。
上页下页主对角线以上的元素全为零（即 i<j时元素 aij＝ 0）
的行列式称为 下三角行列式,它等于主对角线上各元素的乘积。
行列式中，从左上角到右下角的直线称 为主对角线 。
主对角线以下的元素全为 0（即 i>j时元素 aij＝ 0）
的行列式称为 上三角行列式,它等于主对角线上各元素的乘积。
行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全为零（即 i≠j时元素 aij＝ 0）的行列式称为 对角行列式,
它等于对角线上元素的乘积。
上页下页例 证明
12,11,21
2
)1(
1
2,11,1
1
nnnn
nn
n
nn
n
aaaa
a
aa
aaa
上面的行列式中，未写出的元素都是 0。
证,行列式的值为
n
n
njj
jj
j
J aaa?
2
1
1 21
1
排列 j1j2…j n只能是排列 n(n－ 1)…21,
它的逆序数为
2
112)2()1( nnnnJ
上页下页所以行列式的值为
12,11,212 11 nnnnnn aaaa
41322314
41
3231
232221
14131211
000
00
0
aaaa
a
aa
aaa
aaaa
D
上页下页
§ 3 对 换定义 5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动，
这种对排列的变换叫 对换,将相邻两数对换，叫做相邻对换 （ 邻换 ）。
定理 1 一个排列中的任意两数对换，
排列改变奇偶性。
定理 2 n阶行列式的项可以写成
nn qpqpqpTS aaa?22211
其中 S与 T分别是 n级排列 p1p2…p n与 q1q2…q n的逆序数。
上页下页
§ 4 行列式的性质
,
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22212
12111
记行列式 D'称为行列式 D的 转置行列式 。
性质 1 行列式与它的转置行列式相等 。
证,记
,
21
22221
11211
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
D
即 bij＝ aji
(i,j＝ 1,2,…,n)
上页下页按行列式定义
n
njjj njjj
j bbbD
21
21 211
n
njjj njjj
j Daaa
21
21 211
性质 2 互换行列式的两行（列），行列式反号。
证
nnnqnpn
nqp
nqp
aaaa
aaaa
aaaa
D
1
22221
11111
交换第 p,q两列，得行列式
nnnpnqn
npq
npq
aaaa
aaaa
aaaa
D
1
22221
11111
1?
上页下页对于 D中任一项
niqipiiiI nqp aaaaa21 211?
其中 I为排列 的逆序数
nqp iiii1
在 D1中必有对应一项
nipiqiiiI npq aaaaa21 2111?
其中 I1为排列 的逆序数
npq iiii1
与 只经过一次对换nqp iiii1 npq iiii1
相差一个符号与 111 II
niqipiiinipiqiii nqpnpq aaaaaaaaaa 2121 2121?
上页下页所以对于 D中任一项,D1中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又 D与 D1的项数相同。
1DD
推论 若行列式有两行（列）元素对应相等，
则行列式为零。
性质 3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数 k，等于用数 k乘以此行列式。
))](())[((,)( kickirki 记作乘以数列行第性质 4 行列式中若有两行元素对应成比例，
则此行列式为零。
上页下页性质 5 若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，例如
nnnn
ininiiii
n
n
aaa
aaaaaa
aaa
aaa
D
21
2211
22221
11211
则行列式 D等于下列两个行列式之和：
nnnn
inii
n
n
nnnn
inii
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
D
21
21
22221
11211
21
21
22221
11211
上页下页性质 6 把行列式某一行（列）的元素乘以数 k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。
以数 k乘以第 i行上的元素加到第 j行对应元素上,有
ji
aaa
kaakaakaa
aaa
aaa
kijr
aaa
aaa
aaa
aaa
nnnn
injnijij
inii
n
nnnn
jnjj
inii
n
21
2211
21
11211
21
21
21
11211
)()()(
)]([
上页下页例 计算四阶行列式
aba
baa
bb
bb
D
0
0
00
00
解
aba
baa
b
b
aba
baa
bb
bb
D
20
20
000
000
0
0
00
00
)4(22*00 222 babab bab b
上页下页
§ 5 行列式的计算定义 n阶行列式中，划去元素 aij所在的行和列中的元素，余下的元素按其原有的顺序构成一个 n－ 1
阶行列式叫做 元素 aij的余子式,记为 Mij。
ijjiij MA )1(
Aij叫做 元素 aij的代数余子式 。
Aij与行列式中第 i行、第 j列的元素无关。
上页下页引理 n阶行列式 D,如果其中第 i行元素除 aij外全部为零,
那么这个行列式等于 aij与它的代数余子式的乘积,即
D＝ aijAij
证 先证 i＝ 1,j＝ 1的情形
n
n
n
jjj
njjj
jjj
nnnnn
n
aaaa
aaaa
aaaa
a
D
32
32
32
3211
)1(
321
2232221
11
1
000
n
n
n
jjj
njjj
jjj aaaa
32
32
32 32)(11 1?
上页下页
11111111111111
32
33332
22322
11 1 AaMaMa
aaa
aaa
aaa
a
nnnn
n
n
n
n
n
jjj
njjj
jjj aaaa
32
32
32 32)(11 1?
对一般情形，只要适当交换 D的行与列的位置，
即可得到结论。
上页下页定理 3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
),,2,1(
),,2,1(
2211
2211
njAaAaAaD
niAaAaAaD
njnjjjjj
ininiiii
或证
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
D
21
21
11211
0000000
上页下页
nnnn
i
n
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
aaa
a
aaa
21
2
11211
21
1
11211
0000
.2211 ininiiii AaAaAa
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
21
11211
00
上页下页例 计算行列式
1320
0105
0013
4002
D
解 由定理 3 知
320
105
013
1*4
132
010
001
1*2 4111D
86)156(42
上页下页例 计算行列式
(加边法 )
y
y
x
x
D
1111
1111
1111
1111
解 当 x＝ 0 或 y＝ 0时，显然 D＝ 0，现假设 x≠ 0，
且 y≠0,由引理知
y
y
x
x
y
y
x
x
D
0001
0001
0001
0001
11111
11110
11110
11110
11110
11111
22
0000
0000
0000
0000
11111
yx
y
y
x
x
上页下页推论 行列式一行 (列 )的元素与另一行 (列 )的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即
)(02211 jiAaAaAa jninjiji
)(02211 jiAaAaAa njnijiji或证
nnn
jnj
ini
n
jnjnjjjj
aa
aa
aa
aa
AaAaAa
1
1
1
111
2211
上页下页当 i?j,将式中 ajk换成 aik(k=1,2,…,n ),可得
nnn
ini
ini
n
jninjiji
aa
aa
aa
aa
AaAaAa
1
1
1
111
2211
同理可证
02211 njnijiji AaAaAa?
上页下页代数余子式的重要性质,
;,0
,,
1 ji
jiDAan
k
jkik 当当
;,0
,,
1 ji
jiDAan
k
kjki 当当或上页下页例 计算 n阶行列式 (递推公式法 )
1221
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
axaaaa
x
x
x
x
D
nnn
n
解 由行列式 Dn可知
111 axaxD
将 Dn按第 1列展开上页下页
,
100
....
000
001
0001
)1(
1000
.....
0010
0001
1
12321?
x
x
x
a
axaaaa
x
x
x
xD
n
n
nnn
n
nnn axDD 1即这个式子对任何 n(n?2) 都成立,故有
.
)(
1
2
2
1
1
1
2
21
1
12
2
121
nn
nnn
nn
nn
nnn
nnnnnn
axaxaxax
axaxaDx
axaDx
aaxDxaxDD
上页下页
§ 6 克莱姆法则克莱姆法则如果线性方程组
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
.,,,.,,,.,,,.,,,,,.,,,.,,,,,
,
,
的系数行列式不等于零,即 0
1
111
nnn
n
aa
aa
D
那么,方程组有唯一解
,,,,2211 DDxDDxDDx nn
其中 Dj(j=1,2,…,n )是把系数行列式 D中的第 j列元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n阶行列式,
上页下页
nnjnnjnn
njj
njj
j
aabaa
aabaa
aabaa
D
1,1,1
21,221,221
11,111,111
证明 (1) 方程组简写为
nibxa i
n
j
jij,.,,,2,1,
1
把方程组的唯一解代入第 i个方程,左端为
n
j
jij
n
j
i
ij DaDD
Da
11
.1
n
s
sjsnjnjjj AbAbAbAbD
1
2211?因为上页下页所以
.
1
)(
11
111
1 11 1
1 1111
ii
n
s
s
n
j
sjij
n
s
n
j
ssjij
n
j
n
s
ssjij
n
s
sjs
n
j
ij
n
j
jij
bDb
D
bAa
D
bAa
D
bAa
D
Aba
D
Da
D
(2)用 D中第 j列元素的代数余子式 A1j,A2j,…,A nj依次乘方程组的 n个方程,再把它们相加,得
n
k
kjkn
n
k
kjknj
n
k
kjkji
n
k
kjk AbxAaxAaxAa
1111
1 )()()(
),...,2,1( njDDx jj
当 D不等于零时,方程组有唯一解,
上页下页例 解线性方程组
.0674
,522
,963
,852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解
27
6741
2120
6031
1512
D
81
6740
2125
6039
1518
1?
D 10 8
6701
2150
6091
1582
2
D
上页下页
27
6041
2520
6931
1812
3
D 27
0741
5120
9031
8512
4?
D
于是方程组有解 x1=3,x2=-4,x3=-1,x4=1
27?D 811?D 1082D
上页下页克莱姆法则亦可叙述为定理 4 如果线性方程组的系数行列式 D?0,则方程组一定有解,且解是唯一的 。
当方程组右边的常数项全部为零时,方程组变为 齐次线性方程组
.0
............................
,0
,0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
它总有解 x1=0,x2=0,…,x n=0,称为齐次线性方程组的零解。
上页下页定理 5' 如果齐次线性方程组有非零解,则齐次线性方程组的系数行列式必为零 。
定理 5 如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零,则齐次线性方程组没有非零解。
.0)4(2
,0)6(2
,022)5(
31
21
321
xx
xx
xxx
例 问?为何值时，齐次线性方程组有非零解？
解 方程组的系数行列式为
)8)(2)(5(
402
062
225
D
上页下页
)8)(2)(5(
402
062
225
D
若方程组有非零解,则它的系数行列式 D=0,从而有? =2,? =5,? =8。
容易验证,当? =2,? =5,或? =8时,齐次线性方程组有非零解,
n 阶行列式第一章上页下页
§ 1 全排列及逆序数定义 1 由 1,2,……,n组成的一个有序数组称为一个 n 级全排列（简称 排列 ）。
定义 2 在一个排列中，如果两个数（称为数对）的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个 逆序 （ 反序 ）。一个排列中逆序的总数称为这个排列的 逆序数 。
一个排列 j1,j2,…,j n的逆序数，一般记为?(j1,j2,…,j n)
上页下页排列 12的逆序数为 0，
排列 21的逆序数为 1，
排列 231 的数对 21,31均构成逆序，而 23不够成逆序，
因此排列 231的逆序数为 2。
排列 213的逆序数是 1。
定义 3 逆序数为偶数的排列称为 偶排列,逆序数为奇数的排列称为 奇排列 。
上页下页
§ 2 行列式的定义定义 4 设有 n2个数 aij（ i,j＝ 1,2,…,n）,
排成正方阵形式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
在不同行、不同列中取 n个数作乘积,并乘以符号 （其中 J为列标排列 j1,j2,…,j n的逆序数），记为,这样的乘积有 项。
nnjjj aaa?21 21
J)1(?
nnjjj
J aaa?
21 21)1(
!n
上页下页
n
n
njj
jj
j
J aaa?
2
1
1 21
1
它们的和称为 n阶行列式 。
记为
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
称为行列式的元素ija
n
n
njj
jj
j
J
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D?
2
1
1 21
21
22221
11211
1
展开式或行列式的值阶行列式的此式称为 n
上页下页例 计算 4阶行列式
44434241
333231
2221
11
0
0 0
0 0 0
aaaa
aaa
aa
a
D?
解,根据定义,D是 4！＝ 24项的代数和，但每一项的乘积 中只要有一个元素为 0，乘积就等于 0，所以只需展开式中不明显为 0 的项。
njjjj aaaa 4321 321
行列式展开式中不为 0的项只可能是 a11a22a33a44，
而列标排列 1234的逆序数为 0，即此项符号为正，
因此行列式 D＝ a11a22a33a44。
上页下页主对角线以上的元素全为零（即 i<j时元素 aij＝ 0）
的行列式称为 下三角行列式,它等于主对角线上各元素的乘积。
行列式中，从左上角到右下角的直线称 为主对角线 。
主对角线以下的元素全为 0（即 i>j时元素 aij＝ 0）
的行列式称为 上三角行列式,它等于主对角线上各元素的乘积。
行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全为零（即 i≠j时元素 aij＝ 0）的行列式称为 对角行列式,
它等于对角线上元素的乘积。
上页下页例 证明
12,11,21
2
)1(
1
2,11,1
1
nnnn
nn
n
nn
n
aaaa
a
aa
aaa
上面的行列式中，未写出的元素都是 0。
证,行列式的值为
n
n
njj
jj
j
J aaa?
2
1
1 21
1
排列 j1j2…j n只能是排列 n(n－ 1)…21,
它的逆序数为
2
112)2()1( nnnnJ
上页下页所以行列式的值为
12,11,212 11 nnnnnn aaaa
41322314
41
3231
232221
14131211
000
00
0
aaaa
a
aa
aaa
aaaa
D
上页下页
§ 3 对 换定义 5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动，
这种对排列的变换叫 对换,将相邻两数对换，叫做相邻对换 （ 邻换 ）。
定理 1 一个排列中的任意两数对换，
排列改变奇偶性。
定理 2 n阶行列式的项可以写成
nn qpqpqpTS aaa?22211
其中 S与 T分别是 n级排列 p1p2…p n与 q1q2…q n的逆序数。
上页下页
§ 4 行列式的性质
,
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22212
12111
记行列式 D'称为行列式 D的 转置行列式 。
性质 1 行列式与它的转置行列式相等 。
证,记
,
21
22221
11211
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
D
即 bij＝ aji
(i,j＝ 1,2,…,n)
上页下页按行列式定义
n
njjj njjj
j bbbD
21
21 211
n
njjj njjj
j Daaa
21
21 211
性质 2 互换行列式的两行（列），行列式反号。
证
nnnqnpn
nqp
nqp
aaaa
aaaa
aaaa
D
1
22221
11111
交换第 p,q两列，得行列式
nnnpnqn
npq
npq
aaaa
aaaa
aaaa
D
1
22221
11111
1?
上页下页对于 D中任一项
niqipiiiI nqp aaaaa21 211?
其中 I为排列 的逆序数
nqp iiii1
在 D1中必有对应一项
nipiqiiiI npq aaaaa21 2111?
其中 I1为排列 的逆序数
npq iiii1
与 只经过一次对换nqp iiii1 npq iiii1
相差一个符号与 111 II
niqipiiinipiqiii nqpnpq aaaaaaaaaa 2121 2121?
上页下页所以对于 D中任一项,D1中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又 D与 D1的项数相同。
1DD
推论 若行列式有两行（列）元素对应相等，
则行列式为零。
性质 3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数 k，等于用数 k乘以此行列式。
))](())[((,)( kickirki 记作乘以数列行第性质 4 行列式中若有两行元素对应成比例，
则此行列式为零。
上页下页性质 5 若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，例如
nnnn
ininiiii
n
n
aaa
aaaaaa
aaa
aaa
D
21
2211
22221
11211
则行列式 D等于下列两个行列式之和：
nnnn
inii
n
n
nnnn
inii
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
D
21
21
22221
11211
21
21
22221
11211
上页下页性质 6 把行列式某一行（列）的元素乘以数 k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。
以数 k乘以第 i行上的元素加到第 j行对应元素上,有
ji
aaa
kaakaakaa
aaa
aaa
kijr
aaa
aaa
aaa
aaa
nnnn
injnijij
inii
n
nnnn
jnjj
inii
n
21
2211
21
11211
21
21
21
11211
)()()(
)]([
上页下页例 计算四阶行列式
aba
baa
bb
bb
D
0
0
00
00
解
aba
baa
b
b
aba
baa
bb
bb
D
20
20
000
000
0
0
00
00
)4(22*00 222 babab bab b
上页下页
§ 5 行列式的计算定义 n阶行列式中，划去元素 aij所在的行和列中的元素，余下的元素按其原有的顺序构成一个 n－ 1
阶行列式叫做 元素 aij的余子式,记为 Mij。
ijjiij MA )1(
Aij叫做 元素 aij的代数余子式 。
Aij与行列式中第 i行、第 j列的元素无关。
上页下页引理 n阶行列式 D,如果其中第 i行元素除 aij外全部为零,
那么这个行列式等于 aij与它的代数余子式的乘积,即
D＝ aijAij
证 先证 i＝ 1,j＝ 1的情形
n
n
n
jjj
njjj
jjj
nnnnn
n
aaaa
aaaa
aaaa
a
D
32
32
32
3211
)1(
321
2232221
11
1
000
n
n
n
jjj
njjj
jjj aaaa
32
32
32 32)(11 1?
上页下页
11111111111111
32
33332
22322
11 1 AaMaMa
aaa
aaa
aaa
a
nnnn
n
n
n
n
n
jjj
njjj
jjj aaaa
32
32
32 32)(11 1?
对一般情形，只要适当交换 D的行与列的位置，
即可得到结论。
上页下页定理 3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
),,2,1(
),,2,1(
2211
2211
njAaAaAaD
niAaAaAaD
njnjjjjj
ininiiii
或证
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
D
21
21
11211
0000000
上页下页
nnnn
i
n
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
aaa
a
aaa
21
2
11211
21
1
11211
0000
.2211 ininiiii AaAaAa
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
21
11211
00
上页下页例 计算行列式
1320
0105
0013
4002
D
解 由定理 3 知
320
105
013
1*4
132
010
001
1*2 4111D
86)156(42
上页下页例 计算行列式
(加边法 )
y
y
x
x
D
1111
1111
1111
1111
解 当 x＝ 0 或 y＝ 0时，显然 D＝ 0，现假设 x≠ 0，
且 y≠0,由引理知
y
y
x
x
y
y
x
x
D
0001
0001
0001
0001
11111
11110
11110
11110
11110
11111
22
0000
0000
0000
0000
11111
yx
y
y
x
x
上页下页推论 行列式一行 (列 )的元素与另一行 (列 )的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即
)(02211 jiAaAaAa jninjiji
)(02211 jiAaAaAa njnijiji或证
nnn
jnj
ini
n
jnjnjjjj
aa
aa
aa
aa
AaAaAa
1
1
1
111
2211
上页下页当 i?j,将式中 ajk换成 aik(k=1,2,…,n ),可得
nnn
ini
ini
n
jninjiji
aa
aa
aa
aa
AaAaAa
1
1
1
111
2211
同理可证
02211 njnijiji AaAaAa?
上页下页代数余子式的重要性质,
;,0
,,
1 ji
jiDAan
k
jkik 当当
;,0
,,
1 ji
jiDAan
k
kjki 当当或上页下页例 计算 n阶行列式 (递推公式法 )
1221
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
axaaaa
x
x
x
x
D
nnn
n
解 由行列式 Dn可知
111 axaxD
将 Dn按第 1列展开上页下页
,
100
....
000
001
0001
)1(
1000
.....
0010
0001
1
12321?
x
x
x
a
axaaaa
x
x
x
xD
n
n
nnn
n
nnn axDD 1即这个式子对任何 n(n?2) 都成立,故有
.
)(
1
2
2
1
1
1
2
21
1
12
2
121
nn
nnn
nn
nn
nnn
nnnnnn
axaxaxax
axaxaDx
axaDx
aaxDxaxDD
上页下页
§ 6 克莱姆法则克莱姆法则如果线性方程组
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
.,,,.,,,.,,,.,,,,,.,,,.,,,,,
,
,
的系数行列式不等于零,即 0
1
111
nnn
n
aa
aa
D
那么,方程组有唯一解
,,,,2211 DDxDDxDDx nn
其中 Dj(j=1,2,…,n )是把系数行列式 D中的第 j列元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n阶行列式,
上页下页
nnjnnjnn
njj
njj
j
aabaa
aabaa
aabaa
D
1,1,1
21,221,221
11,111,111
证明 (1) 方程组简写为
nibxa i
n
j
jij,.,,,2,1,
1
把方程组的唯一解代入第 i个方程,左端为
n
j
jij
n
j
i
ij DaDD
Da
11
.1
n
s
sjsnjnjjj AbAbAbAbD
1
2211?因为上页下页所以
.
1
)(
11
111
1 11 1
1 1111
ii
n
s
s
n
j
sjij
n
s
n
j
ssjij
n
j
n
s
ssjij
n
s
sjs
n
j
ij
n
j
jij
bDb
D
bAa
D
bAa
D
bAa
D
Aba
D
Da
D
(2)用 D中第 j列元素的代数余子式 A1j,A2j,…,A nj依次乘方程组的 n个方程,再把它们相加,得
n
k
kjkn
n
k
kjknj
n
k
kjkji
n
k
kjk AbxAaxAaxAa
1111
1 )()()(
),...,2,1( njDDx jj
当 D不等于零时,方程组有唯一解,
上页下页例 解线性方程组
.0674
,522
,963
,852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解
27
6741
2120
6031
1512
D
81
6740
2125
6039
1518
1?
D 10 8
6701
2150
6091
1582
2
D
上页下页
27
6041
2520
6931
1812
3
D 27
0741
5120
9031
8512
4?
D
于是方程组有解 x1=3,x2=-4,x3=-1,x4=1
27?D 811?D 1082D
上页下页克莱姆法则亦可叙述为定理 4 如果线性方程组的系数行列式 D?0,则方程组一定有解,且解是唯一的 。
当方程组右边的常数项全部为零时,方程组变为 齐次线性方程组
.0
............................
,0
,0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
它总有解 x1=0,x2=0,…,x n=0,称为齐次线性方程组的零解。
上页下页定理 5' 如果齐次线性方程组有非零解,则齐次线性方程组的系数行列式必为零 。
定理 5 如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零,则齐次线性方程组没有非零解。
.0)4(2
,0)6(2
,022)5(
31
21
321
xx
xx
xxx
例 问?为何值时，齐次线性方程组有非零解？
解 方程组的系数行列式为
)8)(2)(5(
402
062
225
D
上页下页
)8)(2)(5(
402
062
225
D
若方程组有非零解,则它的系数行列式 D=0,从而有? =2,? =5,? =8。
容易验证,当? =2,? =5,或? =8时,齐次线性方程组有非零解,
