上页下页第六章线性空间与线性变换上页下页
6.1 线性空间的定义与性质定义 1 设 V是一个非空集合,R为实数域，如果对任意两个元素 ∈ V,总有唯一的一个元素 ∈ V与之对应，称为 的和,记作 ；对于任一个数 k∈ R与任一个元素 ∈ V,总有唯一的一个元素 ∈ V 与之对应，称为 k与 的积,记为 ；
,?
,
k?
两种运算满足以下 八条运算规律
（对任意 ∈ V,∈ R）：,,?,k
)1(
)()()2(
上页下页
V就称为 (实数域 R上的 )向量空间 (或 线性空间 ),V中的元素称为 (实 )向量 (上面的实数域 R也可为一般数域 ).
(3) 在 V中有一个元素 0(叫做零元素 )，使对任何
∈ V，都有 ； 0
(4) 对任何 ∈ V，都有 V中的元素,使
（ 称为 的负元素）；
0
1)5(
)()()6( kk?
kkk )()7(
kkk )()8(
上页下页凡满足上面八条元素规律的加法及数量乘法称为 线性运算 ；凡定义了线性运算的集合称为向量空间（或线性空间）。
向量不一定是有序数组；
向量空间 V对加法与数量乘法（数乘）封闭；
向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不一定是有序数组的加法及数乘运算。
注意
：
例 实数域 R上次数不超过 n的多项式的全体，记为
P[x]n，即 P[x]n ={anxn+… +a1x0+a0|an,an-1,… a1,a0∈ R}
对于通常的多项式加法、多项式数乘构成 R上的向量空间。
上页下页例 实数域 R上次数 n的多项式的全体，记为 W，即
W={anxn+ an-1xn-1 +… +a1x+a0|an,an-1,… a1,a0∈ R，且
an≠0}。 W对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成
R 上的向量空间。 因为 0(anxn+… +a1x0+a0)=0?W，即
W对数乘不封闭。
例 n个有序实数组成的数组的全体
Sn={x=(x1,x2,… xn)| x1,x2,… xn∈ R}
对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘
k?(x1,x2,… xn)=(0,0,… 0)
不构成 R上的向量空间，因为 1x=0,不满足运算规律（ 5）
上页下页性质１ 零元素是唯一的。
假设 01,02是线性空间 V中的两个零元素，即对任何
∈ V，有 ＋ 01＝,＋ 02＝,于是特别有
02＋ 01＝ 02,01＋ 02＝ 01
故 01＝ 01＋ 02＝ 02＋ 01＝ 02
性质２ 任一元素的负元素是唯一的。
（ 的负元素记作 ）
假设 有两个负元素 与,即 。于是? 0
0)()(0
上页下页性质３,00,)1(,00?k
因为 1)01(010
所以
0)0(
0)(000
又因为 00)]1(1[)1(1)1(
所以
0])1([
)1()()1(0)1(
而
00)]([
)(])1([0
kk
kkkk
上页下页定义 2 R上线性空间 V的一个非空子集合 W如果对于 V
的两种运算也构成数域 R上的线性空间，称 W为 V的线性子空间 （简称 子空间 ）。
定理 1 线性空间 V的非空子集 W构成 V的子空间的充分必要条件是 W对于 V中的两种运算封闭。
性质 4 如果,那么 或者 。假设,
那么
001)(1)1(1
k
ka
k
ak
k
aa
0k 0?k 0 0?k
上页下页
6.2 维数、基与坐标如果在 V中可以找到任意多个线性无关的向量，
那么 V就称为无限维的。
维数为 n的线性空间称为 n维线性空间,记作 Vn。
定义 3 在线性空间 V中，如果存在 n个元素满足：
(2) V中任一元素 都可由 线性表示，那么,就称为线性空间 V的一个基,n称为线性空间 V的维数。
(1) 线性无关。
,,,21 n
n,,21
n,,21
n,,21
上页下页这样,Vn的元素与有序数组 (x1,x2,… xn)之间存在着一种一一对应。
若知 为 V的一个基，则对任何,
都有一组有序数 x1,x2,… xn使：
并且这组数是唯一的 (否则 线性相关 )。
n,,21 V
,2211 nnxxx
n,,21
反之，任给一组有序数 x1,x2,… xn，可唯一确定 Vn中元素：
,2211 nnxxx
上页下页定义 4 设 是线性空间 Vn的一个基，对于任一元素,有且仅有一组有序数 x1,x2,… xn使
x1,x2,… xn这组有序数就称为 在基 下的坐标,记作 (x1,x2,…x n)。
n,,21
nV
,2211 nnxxx
n,,21?
上页下页例 在线性空间 P[x]3中，
就是 P[x]3的一个基,P[x]3的维数是 4,P[x]3中的任一多项式
342321,,,1 xxx
012233)( axaxaxaxf
可写成
10213243)( aaaaxf
因此 f(x)在基 下的坐标为
4321,,,
),,,( 3210 aaaa
上页下页在线性空间 Vn中取定一个基,则 Vn中的向量 与 n维数组向量空间 Rn中的向量 (x1,x2,… xn)之间有一个一一对应的关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，即设,；则
(1) ；
(2) 。
可以说 Vn与 Rn有相同的结构，称为 Vn与 Rn同构 。
n,,21
),,,( 21 nxxx ),,,( 21 nyyy
),,,(),,,( 2121 nn yyyxxx
),,,( 21 nxxxkk
一般地，设 V与 U是 R上的两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间 V与 U同构。
上页下页同构主要是保持线性运算的对应关系,因此,Vn中的线性运算就可转化为 Rn中的线性运算，并且 Rn中凡只涉及线性运算的性质都适用于 Vn，但 Rn中超出线性运算的性质，在 Vn中就不一定具备，如内积。
定理 2 R上的两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相等。
上页下页
6.3 基变换与坐标变换不同基与不同的坐标之间的关系设 及 是线性空间
Vn的两个基，且
n,,,21? n,,,21?
.
,
,
2211
22221122
12211111
nnnnnn
nn
nn
acacac
acacac
acacac
上页下页
.),,,(),,,(),,(
21
21
22221
11211
2121
Caaa
ccc
ccc
ccc
aaa
n
nnnn
n
n
nn
上两式称为基变换公式,
或表示为矩阵 C 称为 到 的 过渡矩阵,
C一定是可逆矩阵。
n,,,21? n,,,21?
上页下页定理 3 设 Vn中的元素 在基 下的坐标为
（ ），在基 下的坐标为
（ ），若两个基满足基变换公式的第二式，则有坐标变换公式
nnnn
x
x
x
C
x
x
x
x
x
x
C
x
x
x
2
1
12
1
2
1
2
1
,或
n,,,21?
n,,,21?
nxxx,,,21?
nxxx,,,21?
上页下页
6.4 线性变换定义 5 设 A,B是两非空集合，如果对于 A中的任一元素,按照一定的法则，总有 B中的一个确定的元素与之对应，那么这个法则称为 从集合 A到集合 B的映射,如果 A=B,A到 A的映射称为 A的变换 。
映射常用? 表示,A的变换常用 T 表示。
A到 B的映射?使 B中的 与 A中的 对应，就记
或)(
称为 在映射?下的 像,
称为 在?下的 原像,
上页下页
的像的全体构成的集合称为?的像集,记作? (A)，即
AA )()(
例 设 A=R,B=R+,?(x)=x2+3是 R到 R+的一个映射,它把 x映射到 x2+3,7是 -2在下的像,
上页下页例 在线性空间 P[x]3中，微分运算 D是一个线性变换。
),()()(')('
)]'()([)]()([
xDgxDfxgxf
xgxfxgxfD
因定义 6 设 U,V是 R上的两个线性空间,?是 V到 U上的一个映射，如果?满足
(1) ；
(2),
那么,?就称为 V 到 U的线性映射 。
)()()(,,
)()(,, kkRk
当 V=U时,V到 U的线性映射称为 V的 线性变换 。
).()(')]'([)]([ xk D fxkfxkfxkfD
上页下页线性变换的性质
)()(,0)0()1( TTT
mm
mm
TkTkTkT
kkk
2211
2211
,)2( 则若
(4) 线性变换 T的像集是 V的子空间，称为 T的像空间。
(3) 若 线性相关，则也线性相关。
m,,,21? mTTT,,,21?
也是 V的子空间，称为 线性变换 T的核,记为 T-1(0).
0,0)5( TVT 的全体的使上页下页
,),,,(
21
22221
11211
21
nnnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
A
例 设有 n阶方阵
.
),()(:
.,,2,1,
2
1
中的线性变换为则为中的变换定义其中
n
nn
ni
i
i
i
RT
RxAxxTTR
ni
a
a
a
.
),()()(
);()()()(
,,,
中的线性变换为故有设证
n
n
RT
kTkAkAkT
TTAAAT
RkR
上页下页
,
2
1
n
n
R
x
x
x
x?
设
,),,,(
2211
2
1
21 nn
n
n
xxx
x
x
x
AxTx
因
.0)0(
,,,,
1
21
的解空间是齐次线性方程组的核生成的向量空间的像空间是由可见
AxTT
T n
上页下页
6.5 线性变换的矩阵
(1) 设 是线性空间 Vn的一个基，如果 Vn的线性变换 T与 T'在这组基上的作用相同，即那么,T=T'.
n,,,21?
niTT ii,,2,1,
证 T与 T '相等的意义是它们对 Vn的每个向量的作用相同，即
VTT,
,2211 iixxx设
TTxTxTx
TxTxTxT
ii
ii
2211
2211
上页下页
(2) 设 是线性空间 Vn的一个基，对于 Vn任意一组向量,一定有一个线性变换 T使
n,,,21?
n,,,21?
niT ii,,2,1,
证 设,作变换 T
nnn Vxxx2211
nnxxxT2211
容易验证 T是 Vn的线性变换，且
iniiT 010 1
上页下页定理 4 设 是线性空间 Vn的一个基，
是 Vn中任意 n个向量，则存在唯一的线性变换 T使
n,,,21?
n,,,21?
niT ii,,2,1,
)(),,( 2121 ni TTTT记定义 7 设 是线性空间 Vn的一个基,T是 Vn
的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表出：
nnnnnn
nn
nn
aaaT
aaaT
aaaT
2211
22221122
12211111
n,,,21?
上页下页用矩阵来表示其中
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
ATTTT ini ),,()(),,( 212121
矩阵 A称为 T在基 下的矩阵 。
n,,,21?
因 线性无关,aij是由 T 唯一确定的。
可见 A由 T唯一确定。
n,,,21?
上页下页给定一个方阵 A，定义变换 T:
,),,,(),,,(
2
1
21
2
1
21
n
n
n
n
x
x
x
A
x
x
x
TT
nnxxx2211其中
T是有 n阶矩阵 A确定的线性变换，且 T在基下的矩阵是 A.
n,,,21?
在 Vn中取定一个基后,Vn的线性变换与 n阶矩阵之间，有一一对应的关系。
上页下页
4321
2
4
43213
43212
43211
03003
00202
00011
00000
xD
xD
D
D解例 在 P[x]3中，取基,
求微分运算 D（线性变换）在这个基下的矩阵。
342321,,,1 xxx
0000
3000
0200
0010
,DD 在这个基下的矩阵为所以上页下页例定理 5 设线性空间 Vn的线性变换 T在两组基下的矩阵分别为 A和 B,从基 到的过渡矩阵为 P,则 B=P-1AP(此时，称 A与 B相似 )。
n,,,21?
n,,,21?
n,,,21?n,,,21?
,
100
020
012
,,,,
,
100
020
012
),,(),,(
321321
321321
Peee
eee
的过渡矩阵到基基
上页下页
,
100
010
000
,,321
AeeeT 下矩阵为在基
100
010
00
100
020
012
100
00
00
100
020
012
100
010
000
100
00
0
100
020
012
100
010
000
100
020
012
,,,5
2
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
1
1
321
APP
T 下的矩阵为在基由定理
上页下页定义 8 线性变换 T的像空间 T(Vn)的维数，称为 T的秩 ；
T的核 T-1(0)的维数，称为 T的零度 。
定义 9 线性变换 T在一个基下的矩阵 A的特征值，
称为 T的特征值 。
因相似矩阵的特征值相同，故线性变换 T的特征值与基的选择无关，类似于矩阵，可讨论线性变换的特征值与特征向量。
显然，若 A是 T 在一个基下的矩阵,则 T的秩就是 R(A)。
若 T的秩为 r,则 T的零度为 n-r。
6.1 线性空间的定义与性质定义 1 设 V是一个非空集合,R为实数域，如果对任意两个元素 ∈ V,总有唯一的一个元素 ∈ V与之对应，称为 的和,记作 ；对于任一个数 k∈ R与任一个元素 ∈ V,总有唯一的一个元素 ∈ V 与之对应，称为 k与 的积,记为 ；
,?
,
k?
两种运算满足以下 八条运算规律
（对任意 ∈ V,∈ R）：,,?,k
)1(
)()()2(
上页下页
V就称为 (实数域 R上的 )向量空间 (或 线性空间 ),V中的元素称为 (实 )向量 (上面的实数域 R也可为一般数域 ).
(3) 在 V中有一个元素 0(叫做零元素 )，使对任何
∈ V，都有 ； 0
(4) 对任何 ∈ V，都有 V中的元素,使
（ 称为 的负元素）；
0
1)5(
)()()6( kk?
kkk )()7(
kkk )()8(
上页下页凡满足上面八条元素规律的加法及数量乘法称为 线性运算 ；凡定义了线性运算的集合称为向量空间（或线性空间）。
向量不一定是有序数组；
向量空间 V对加法与数量乘法（数乘）封闭；
向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不一定是有序数组的加法及数乘运算。
注意
：
例 实数域 R上次数不超过 n的多项式的全体，记为
P[x]n，即 P[x]n ={anxn+… +a1x0+a0|an,an-1,… a1,a0∈ R}
对于通常的多项式加法、多项式数乘构成 R上的向量空间。
上页下页例 实数域 R上次数 n的多项式的全体，记为 W，即
W={anxn+ an-1xn-1 +… +a1x+a0|an,an-1,… a1,a0∈ R，且
an≠0}。 W对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成
R 上的向量空间。 因为 0(anxn+… +a1x0+a0)=0?W，即
W对数乘不封闭。
例 n个有序实数组成的数组的全体
Sn={x=(x1,x2,… xn)| x1,x2,… xn∈ R}
对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘
k?(x1,x2,… xn)=(0,0,… 0)
不构成 R上的向量空间，因为 1x=0,不满足运算规律（ 5）
上页下页性质１ 零元素是唯一的。
假设 01,02是线性空间 V中的两个零元素，即对任何
∈ V，有 ＋ 01＝,＋ 02＝,于是特别有
02＋ 01＝ 02,01＋ 02＝ 01
故 01＝ 01＋ 02＝ 02＋ 01＝ 02
性质２ 任一元素的负元素是唯一的。
（ 的负元素记作 ）
假设 有两个负元素 与,即 。于是? 0
0)()(0
上页下页性质３,00,)1(,00?k
因为 1)01(010
所以
0)0(
0)(000
又因为 00)]1(1[)1(1)1(
所以
0])1([
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而
00)]([
)(])1([0
kk
kkkk
上页下页定义 2 R上线性空间 V的一个非空子集合 W如果对于 V
的两种运算也构成数域 R上的线性空间，称 W为 V的线性子空间 （简称 子空间 ）。
定理 1 线性空间 V的非空子集 W构成 V的子空间的充分必要条件是 W对于 V中的两种运算封闭。
性质 4 如果,那么 或者 。假设,
那么
001)(1)1(1
k
ka
k
ak
k
aa
0k 0?k 0 0?k
上页下页
6.2 维数、基与坐标如果在 V中可以找到任意多个线性无关的向量，
那么 V就称为无限维的。
维数为 n的线性空间称为 n维线性空间,记作 Vn。
定义 3 在线性空间 V中，如果存在 n个元素满足：
(2) V中任一元素 都可由 线性表示，那么,就称为线性空间 V的一个基,n称为线性空间 V的维数。
(1) 线性无关。
,,,21 n
n,,21
n,,21
n,,21
上页下页这样,Vn的元素与有序数组 (x1,x2,… xn)之间存在着一种一一对应。
若知 为 V的一个基，则对任何,
都有一组有序数 x1,x2,… xn使：
并且这组数是唯一的 (否则 线性相关 )。
n,,21 V
,2211 nnxxx
n,,21
反之，任给一组有序数 x1,x2,… xn，可唯一确定 Vn中元素：
,2211 nnxxx
上页下页定义 4 设 是线性空间 Vn的一个基，对于任一元素,有且仅有一组有序数 x1,x2,… xn使
x1,x2,… xn这组有序数就称为 在基 下的坐标,记作 (x1,x2,…x n)。
n,,21
nV
,2211 nnxxx
n,,21?
上页下页例 在线性空间 P[x]3中，
就是 P[x]3的一个基,P[x]3的维数是 4,P[x]3中的任一多项式
342321,,,1 xxx
012233)( axaxaxaxf
可写成
10213243)( aaaaxf
因此 f(x)在基 下的坐标为
4321,,,
),,,( 3210 aaaa
上页下页在线性空间 Vn中取定一个基,则 Vn中的向量 与 n维数组向量空间 Rn中的向量 (x1,x2,… xn)之间有一个一一对应的关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，即设,；则
(1) ；
(2) 。
可以说 Vn与 Rn有相同的结构，称为 Vn与 Rn同构 。
n,,21
),,,( 21 nxxx ),,,( 21 nyyy
),,,(),,,( 2121 nn yyyxxx
),,,( 21 nxxxkk
一般地，设 V与 U是 R上的两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间 V与 U同构。
上页下页同构主要是保持线性运算的对应关系,因此,Vn中的线性运算就可转化为 Rn中的线性运算，并且 Rn中凡只涉及线性运算的性质都适用于 Vn，但 Rn中超出线性运算的性质，在 Vn中就不一定具备，如内积。
定理 2 R上的两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相等。
上页下页
6.3 基变换与坐标变换不同基与不同的坐标之间的关系设 及 是线性空间
Vn的两个基，且
n,,,21? n,,,21?
.
,
,
2211
22221122
12211111
nnnnnn
nn
nn
acacac
acacac
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上页下页
.),,,(),,,(),,(
21
21
22221
11211
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Caaa
ccc
ccc
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n
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上两式称为基变换公式,
或表示为矩阵 C 称为 到 的 过渡矩阵,
C一定是可逆矩阵。
n,,,21? n,,,21?
上页下页定理 3 设 Vn中的元素 在基 下的坐标为
（ ），在基 下的坐标为
（ ），若两个基满足基变换公式的第二式，则有坐标变换公式
nnnn
x
x
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C
x
x
x
x
x
x
C
x
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12
1
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n,,,21?
n,,,21?
nxxx,,,21?
nxxx,,,21?
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6.4 线性变换定义 5 设 A,B是两非空集合，如果对于 A中的任一元素,按照一定的法则，总有 B中的一个确定的元素与之对应，那么这个法则称为 从集合 A到集合 B的映射,如果 A=B,A到 A的映射称为 A的变换 。
映射常用? 表示,A的变换常用 T 表示。
A到 B的映射?使 B中的 与 A中的 对应，就记
或)(
称为 在映射?下的 像,
称为 在?下的 原像,
上页下页
的像的全体构成的集合称为?的像集,记作? (A)，即
AA )()(
例 设 A=R,B=R+,?(x)=x2+3是 R到 R+的一个映射,它把 x映射到 x2+3,7是 -2在下的像,
上页下页例 在线性空间 P[x]3中，微分运算 D是一个线性变换。
),()()(')('
)]'()([)]()([
xDgxDfxgxf
xgxfxgxfD
因定义 6 设 U,V是 R上的两个线性空间,?是 V到 U上的一个映射，如果?满足
(1) ；
(2),
那么,?就称为 V 到 U的线性映射 。
)()()(,,
)()(,, kkRk
当 V=U时,V到 U的线性映射称为 V的 线性变换 。
).()(')]'([)]([ xk D fxkfxkfxkfD
上页下页线性变换的性质
)()(,0)0()1( TTT
mm
mm
TkTkTkT
kkk
2211
2211
,)2( 则若
(4) 线性变换 T的像集是 V的子空间，称为 T的像空间。
(3) 若 线性相关，则也线性相关。
m,,,21? mTTT,,,21?
也是 V的子空间，称为 线性变换 T的核,记为 T-1(0).
0,0)5( TVT 的全体的使上页下页
,),,,(
21
22221
11211
21
nnnn
n
n
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A
例 设有 n阶方阵
.
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.,,2,1,
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1
中的线性变换为则为中的变换定义其中
n
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中的线性变换为故有设证
n
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上页下页
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x
x
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n
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x
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因
.0)0(
,,,,
1
21
的解空间是齐次线性方程组的核生成的向量空间的像空间是由可见
AxTT
T n
上页下页
6.5 线性变换的矩阵
(1) 设 是线性空间 Vn的一个基，如果 Vn的线性变换 T与 T'在这组基上的作用相同，即那么,T=T'.
n,,,21?
niTT ii,,2,1,
证 T与 T '相等的意义是它们对 Vn的每个向量的作用相同，即
VTT,
,2211 iixxx设
TTxTxTx
TxTxTxT
ii
ii
2211
2211
上页下页
(2) 设 是线性空间 Vn的一个基，对于 Vn任意一组向量,一定有一个线性变换 T使
n,,,21?
n,,,21?
niT ii,,2,1,
证 设,作变换 T
nnn Vxxx2211
nnxxxT2211
容易验证 T是 Vn的线性变换，且
iniiT 010 1
上页下页定理 4 设 是线性空间 Vn的一个基，
是 Vn中任意 n个向量，则存在唯一的线性变换 T使
n,,,21?
n,,,21?
niT ii,,2,1,
)(),,( 2121 ni TTTT记定义 7 设 是线性空间 Vn的一个基,T是 Vn
的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表出：
nnnnnn
nn
nn
aaaT
aaaT
aaaT
2211
22221122
12211111
n,,,21?
上页下页用矩阵来表示其中
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
ATTTT ini ),,()(),,( 212121
矩阵 A称为 T在基 下的矩阵 。
n,,,21?
因 线性无关,aij是由 T 唯一确定的。
可见 A由 T唯一确定。
n,,,21?
上页下页给定一个方阵 A，定义变换 T:
,),,,(),,,(
2
1
21
2
1
21
n
n
n
n
x
x
x
A
x
x
x
TT
nnxxx2211其中
T是有 n阶矩阵 A确定的线性变换，且 T在基下的矩阵是 A.
n,,,21?
在 Vn中取定一个基后,Vn的线性变换与 n阶矩阵之间，有一一对应的关系。
上页下页
4321
2
4
43213
43212
43211
03003
00202
00011
00000
xD
xD
D
D解例 在 P[x]3中，取基,
求微分运算 D（线性变换）在这个基下的矩阵。
342321,,,1 xxx
0000
3000
0200
0010
,DD 在这个基下的矩阵为所以上页下页例定理 5 设线性空间 Vn的线性变换 T在两组基下的矩阵分别为 A和 B,从基 到的过渡矩阵为 P,则 B=P-1AP(此时，称 A与 B相似 )。
n,,,21?
n,,,21?
n,,,21?n,,,21?
,
100
020
012
,,,,
,
100
020
012
),,(),,(
321321
321321
Peee
eee
的过渡矩阵到基基
上页下页
,
100
010
000
,,321
AeeeT 下矩阵为在基
100
010
00
100
020
012
100
00
00
100
020
012
100
010
000
100
00
0
100
020
012
100
010
000
100
020
012
,,,5
2
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
1
1
321
APP
T 下的矩阵为在基由定理
上页下页定义 8 线性变换 T的像空间 T(Vn)的维数，称为 T的秩 ；
T的核 T-1(0)的维数，称为 T的零度 。
定义 9 线性变换 T在一个基下的矩阵 A的特征值，
称为 T的特征值 。
因相似矩阵的特征值相同，故线性变换 T的特征值与基的选择无关，类似于矩阵，可讨论线性变换的特征值与特征向量。
显然，若 A是 T 在一个基下的矩阵,则 T的秩就是 R(A)。
若 T的秩为 r,则 T的零度为 n-r。
