上页下页第三章向量组与矩阵的秩上页下页
§ 1 n维向量定义 1 n个数组成的有序数组 （ a1,a2,…,an）
称为一个 n维向量,简称 向量 。
n
a
a
a
2
1
或用小写的粗黑体字母来表示向量 。
行向量列向量上页下页数 a1,a2,…,an称为这个 向量的分量 。 ai称为这个向量的第 i个分量或坐标。分量都是实数的向量称为 实向量 ；分量是复数的向量称为 复向量 。
n维行向量可以看成 1× n矩阵,n维列向量也常看成 n× 1矩阵。
设 k和 l为两个任意的常数,为任意的 n维向量，其中
,,
),,,( 21 naaa
),,,( 21 nbbb
上页下页定义 2 如果 和 对应的分量都相等,即
ai=bi,i=1,2,…,n
就称这两个 向量相等,记为 。
定义 3 向量
（ a1+b1,a2+b2,…,a n+bn）
称为 与 的 和,记为 。 称向量
（ ka1,ka2,…,ka n）
为 与 k的数量乘积，简称 数乘,记为 。
k
上页下页定义 4 分量全为零的向量
（ 0,0,…,0）
称为 零向量,记为 0。 与 -1的数乘
（ -1） =（ -a1,-a2,…,-an）
称为 的 负向量,记为 。
)(向量的减法定义为向量的加法与数乘具有下列性质,
交换律)1(
)()()2(结合律上页下页
0)3(
0)()4(
kkk )()5(
lklk ))(6(
)()()7( kllk?
1)8(
00)9(
00)10(?k
0,00)11( kk 那么且如果满足（ 1） — （ 8）的运算称为线性运算。
上页下页
§ 2 线性相关与线性无关矩阵与向量的关系：
通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组,n维行向量组 可以排列成一个 s× n分块矩阵
s,,21
s?
2
1
其中 为由 A的第 i行形成的子块，
称为 A的行向量组。
i?
s,,21
n维列向量组 可以排成一个 n× s矩阵s,,21
),,( 21 sB
其中 为由 B的第 j行形成的子块，
称为 B的列向量组。
j?
s,,21
上页下页定义 5 向量组 称为 线性相关 的,如果有不全为零的数 k1,k2,…,ks,使
s,,21
02211
1
ss
s
i
ii kkkk
反之，如果只有在 k1=k2=…=k s=0时上式才成立，就称 线性无关 。
s,,21
当 是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的 1× s矩阵（ k1,k2,…,k s）使
s,,21
0),,(
2
1
21
s
s
kkk
上页下页当 为列向量时，它们线性相关就是指有非零的 s× 1矩阵,使 ),,(
21?skkk?
s,,21
0),,(
2
1
21?
s
s
k
k
k
上页下页例 判断向量组
)1,,0,0(
),0,,1,0(
),0,,0,1(
2
1
n?
的线性相关性。
解 对任意的常数 k1,k2,…,k n都有
),,,( 212211 nnn kkkkkk
所以 0
2211 nnkkk
当且仅当 k1=k2=…=k n=0
因此 线性无关。n,,21
称为基本单位向量。n,,21
上页下页例 设向量组 线性无关，,
，,试证向量组 也线性无关。
321,, 211
322 133 321,,
证 对任意的常数都有
)()()( 32221131332211 kkkkkkkkk
设有 k1,k2,k3,使 0
332211 kkk
由 线性无关，故有
321,,
0
0
0
32
21
31
kk
kk
kk
由于满足 k1,k2,k3的取值只有 k1=k2=k3=0
所以 线性无关 。321,,
上页下页定理 1 向量组 （ s≥2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。
s,,21
证 设 中有一个向量能由其他向量线性表出，
s,,21
sskkk33221
0221 sskk
所以 线性相关。s,,21
s,,21
如果 线性相关，就有不全为零的数
k1,k2,…,k s，使 0
2211 sskkk
设 k1≠0,那么
s
s
k
k
k
k
k
k
1
3
1
3
2
1
2
1
即 能由 线性表出 。
1? s,,32
上页下页例如,向量组是线性相关的，因为
213 3
)1,3,1,2(1 )4,5,2,4(2 )1,4,1,2(3
上页下页定理 2 设向量组 线性无关，而向量组线性相关，则 能由向量组线性表出，且表示式是唯一的。
t,,21
,,,,21 t t,,,21?
证 由于 线性相关，就有不全为零的数 k1,k2,…,k t,k，使
,,,,21 t?
02211 kkkk tt?
由 线性无关有 k≠0。
t,,21
t
t
k
k
k
k
k
k
2
2
1
1
即 可由 线性表出。
t,,,21?
上页下页
ttt hhhlll 22112211设为两个表达式。
0)()()(
)()(
222111
22112211
ttt
tttt
hlhlhl
hhhlll
且 线性无关
t,,21
得到 l1=h1,l2=h2,…,lt=ht
因此表示式是唯一的。
上页下页定义 7 如果向量组 中每个向量都可以由线性表出,就称向量组 可由线性表出,如果两个向量组互相可以线性表出,就称它们 等价 。
s,,21
t,,21 s,,21
t,,21
每一个向量组都可以经它自身线性表出。
同时，如果向量组 可以经向量组线性表出，向量组 可以经向量组线性表出，那么向量组 可以经向量组线性表出。
s,,21 t,,21
s,,21
t,,21
p,,21
p,,21
上页下页向量组 中每一个向量都可以经向量组线性表出。因而，向量组可以经向量组 线性表出。
s,,21p,,21
s,,21
p,,21
t
j
jiji sik
1
,,2,1,
p
m
mmjj tjl
1
,,2,1,
如果
m
t
j
p
m
t
j
p
m
p
m
t
j
jmijmjmijmjmiji lklklk
1 1 1 1 1 1
)(
有上页下页向量组的等价具有下述性质：
(1)反身性,向量组 与它自己等价；s,,21
(2)对称性,如果向量组 与 等价，
那么 也与 等价。
s,,21
s,,21 t,,21
t,,21
(3)传递性,如果向量组 与 等价，
而向量组 又与 等价,那么与 等价。
t,,21
s,,21 t,,21
p,,21
p,,21 s,,21
上页下页
§ 3 线性相关性的判别定理定理 3 有一个部分组线性相关的向量组线性相关。
设这个部分组为 。则有不全为零的数
k1,k2,…,k r，使
r,,21
证 设向量组 有一个部分组线性相关。
s,,21
s
i
r
i
s
rj
jiiii kk
1 1 1
00
因此 也线性相关。s,,21
推论 含有零向量的向量组必线性相关。
上页下页定理 4 设 p1,p2,…,p n为 1,2,…,n的一个排列，
和 为两向量组，其中s,,21s,,21
nip
ip
ip
i
in
i
i
i
a
a
a
a
a
a
2
1
,
2
1
即 是对 各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有 相同的线性相关性 。
s,,21 s,,21
证 对任意的常数 k1,k2,…,k s，
上页下页
s
i
snsnn
ss
ss
ii
akakak
akakak
akakak
k
1
2211
2222121
1212111
s
i
spspp
spspp
spspp
ii
nnn
akakak
akakak
akakak
k
1
2211
2211
2211
222
121
上两式只是各分量的排列顺序不同，因此
02211 sskkk
当且仅当
02211 sskkk
所以 和 有相同的线性相关性。
s,,21s,,21
上页下页
(2)如果 线性无关，
那么 也线性无关。s,,21
s,,21
s,,21
s,,21
s,,21
s,,21
定理 5 在 r维向量组 的各向量添上 n-r个分量变成 n维向量组 。
(1)如果 线性相关，
那么 也线性相关。
证 对列向量来证明定理。
121 ),,,( As
2
1
21 ),,( A
A
s
上页下页
0),,(
2
1
2
1
21
XA
XAX
A
AX
s
0),,( 121 XAXs从而利用 (1)式,用反证法容易证明 (2)式也成立。
因此,也线性相关,即 (1)式成立。s,,21
如果 线性相关,就有一个非零的 s?1矩阵 X,使
s,,21
上页下页引理 1 如果 n阶方阵 A的行列式等于零,那么 A的行 (列 )
向量组线性相关。
定理 6 n维向量组 线性无关的充要条件是矩阵
s,,21
nnnn
n
n
n aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
2
1
的行列式不为零 (A可逆 )。此时,矩阵 A的 n个列向量也线性无关。
定理 7 n+1个 n维向量组 必线性相关。 121,,?n
推论 当 m>n时,m个 n维向量组线性相关。
上页下页定理 8 如果向量组 可由 线性表出且 s>t，那么 线性相关。
s,,21s,,21
s,,21
推论 1 如果向量组,可由向量组线性表出，且 线性无关，那么 。
s,,21s
,,21
s,,21 ts?
推论 2 两个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量。
上页下页
§ 4 向量组的秩与矩阵的秩定义 8 一向量组的一个部分组称为一个 极大线性无关组,如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中向这部分组任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都线性相关。
例 在向量组中，
为它的一个极大线性无关组。
)1,4,1,2(),4,5,2,4(),1,3,1,2( 321
21,
首先，由 与 的分量不成比例,线性无关。21,1? 2?
再添入 以后,由 可知所得部分组线性相关,不难验证 也为一个极大线性无关组 。
3? 213 3
32,
上页下页定义 8‘ 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且这向量组中任意向量都可由这部分组线性表出。
向量组的极大线性无关组具有的性质：
性质 1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价 。
性质 2 一向量组的任意两个极大线性无关组都等价 。
性质 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。
上页下页定义 9 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个 向量组的秩 。
如果向量组 能由向量组 线性表出，那么 的极大线性无关组可由的极大线性无关组线性表出。因此的秩不超过 的秩。
s,,21s,,21
s,,21
s,,21
s,,21s,,21
定理 9 向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为一个极大线性无关组。
推论 秩为 r的向量组中任意含 r个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组。
上页下页定义 10 矩阵的 行秩 是指它的行向量组的秩，矩阵的 列秩 是指它的列向量组的秩。
定义 11 在一个 s?n矩阵 A中任意选定 k行和 k列，位于这些选定的行和列的交点上的 k2个元素按原来的次序所组成的 k?k级矩阵的行列式，称为 A的一个 k级子式。
引理 2 设,n维向量组 线性无关的充要条件是矩阵
nr? r,,21
rnrr
n
n
r aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
2
1
中存在一个不为零的 r级子式。
上页下页定理 10 矩阵的行秩等于列秩。
由此,A'的列秩 (A的行秩 r1)?A'的行秩 (A的列秩 r2),
即有 。
21 rr?
21 rr?
证 设矩阵 A的行秩为 r1,A的列秩为 r2。
21 rr?
那么,A中有 r1个行向量线性无关,由引理 2,A中有一个 r1级子式 D不为零,那么 A中子式 D所在的 r1个列向量也线性无关 ;因而,。
统称矩阵的行秩和列秩为矩阵的秩,矩阵 A的秩一般记为 R(A)。规定零矩阵的秩为 0。
上页下页定理 11 矩阵 A的秩为 r的充要条件是它有一个不为零的 r阶子式而所有 r+1阶子式全为零,这时,这个非零的 r级子式所在的行和列就分别为 A的行向量组和列向量组的极大线性无关组。
上页下页
§ 5 矩阵的初等变换矩阵的初等行变换都是可逆的,且其逆变换也是同类的初等行变换 。
定义 12 下面的三种变换称为 矩阵的初等行变换,
(1)对换矩阵两行的位置
[对换第 i行和第 j行的位置记为 r(i,j)],
(2)矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数
[第 i行乘以 k记为 r(i(k)]
(3)把矩阵一行所有元素的 k倍加到另一行对应的元素上去 [第 i行的 k倍加到第 j行上去记为 r(j+i(k))]
上页下页定理 12 如果矩阵 A经过有限次初等行变换变为 B,则 A
的行向量组与 B的行向量组等价,而 A的任意 k个列向量与 B中对应的 k个列向量有相同的线性关系 。
例 求下列向量组
)4,3,6,2(
),3,2,6,0(),3,0,2,1(
),3,1,4,2(),3,2,2,1(
5
43
21
的一个极大线性无关组与秩。
解 作
43333
32012
66242
20121
A
23690
12230
26000
20121
))3(14(
))2(13(
))2(12(
r
r
r
上页下页
26000
23690
12230
20121
)4,3(
)3,2(
r
r
23690
12230
26000
20121
26000
13000
12230
20121
))3(23(r
00000
13000
12230
20121
))2(34(r 所以 为一个极大无关组，且秩等于 3。
421,,
上页下页定义 13 如果矩阵 A经有限次初等变换化成 B，就称矩阵 A与 B等价 。
矩阵的等价关系具有下列性质：
(1)反身性,A与 A等价。
(2)对称性,如果 A与 B等价，那么 B与 A等价。
(3)传递性,如果 A与 B等价,B与 C等价，
那么 A与 C等价。
定理 13 如果矩阵 A与 B等价，那么 R(A)＝ R(B) 。
定理 14 每个矩阵都有等价标准形,矩阵 A与 B等价,
当且仅当它们有相同的等价标准形 。
推论 两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等。
上页下页
§ 6 初等变换与求矩阵的逆定义 14 由单位矩阵 E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 。
初等矩阵都是方阵，互换 E的第 i行与第 j行（或者互换 E的第 i列与第 j列）的位置，得
,( j)
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
O
O
O
iE?
上页下页用常数 k乘 E的第 i行
（或 i列），得行；第 i
1
1
1
1
))((
O
O
kkiE?
把 E的第 j行的 k倍加到第 i行（或第 i列的 k
倍加到第 j列）得行第行第
j
i
1
1
1
1
))((
O
O
O
k
kjiE
上页下页这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有
E(i,j)-1＝ E(i,j)
E(i(k))-1=E(i(1/k)),
E(i+j(k))-1=E(i+j(-k))
定理 15 对一个 s× n矩阵 A作一初等行变换就相当于在 A的左边乘上相应的 s× s初等矩阵；对 A作一初等列变换就相当于在 A的右边乘上相应的 n× n初等矩阵。
推论 1 矩阵 A与 B等价的充分必要条件是有初等方阵
P1,P2,…,Ps,Q1,…,Qt使
A＝ P1P2…P sBQ1…Q t
上页下页推论 2 n× n矩阵 A可逆的充分必要条件它能表成一些初等矩阵的乘积。
推论 3 两个 s× n矩阵 A,B等价的充分必要条件为存在可逆的 s× s矩阵 P与可逆的 n× n矩阵 Q使
A=PBQ
推论 4 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。
上页下页例 设
012
411
210
A
求 A-1。
解 对 (A|E)作初等行变换
100
010
001
012
411
210
)( EA
100012
001210
001411
)2,1(r
123200
001210
010411
))3(23(r
120830
001210
010411
))2(13(r
2
1
1
2
3
100
124010
112001
))1(21(
))2(31(
))1(32(
r
r
r
上页下页
2
1
1
2
3
124
112
1A
2
1
1
2
3
100
124010
112001
)( EA
上页下页
§ 7 向量空间定义 15 设 V为 n维向量的集合,如果 V非空且对于向量加法及数乘运算封闭,即对任意的 和常数 k
都有就称集合 V为一个 向量空间 。
VkV,,
,,V
例 n维向量的全体 Rn构成一个向量空间 。 3维向量可以用有向线段来表示,所以 R3也可以看作以坐标原点为起点的有向线段的全体 。
例 n维零向量所形成的集合 {0}构成一个向量空间。
上页下页定义 16 如果 V1和 V2都是向量空间且,就称 V1
是 V2的 子空间 。
21 VV?
(2)V中任意向量都可以经 线性表出，
那么，向量组 就称为 V的一个 基,r称为 V的维数，并称 V为一个 r维向量空间。
定义 17 设 V为一个向量空间。如果 V中的向量组满足r,,21
r,,21
r,,21
r,,21
(1) 线性无关；
如果向量空间 V没有基,就说 V的维数为 0,0维向量空间只含一个零向量 。
上页下页如果把向量空间 V看作向量组，那么 V的基就是它的极大线性无关组,V的维数就是它的秩。当 V由 n维向量组成时，它的维数不会超过 n。
例 设
( ) ( ),
24
30
41
,,
221
212
122
,,21321
A
验证 是 R3的一个基并将 用这个基线性表示出来。
321,, 21,
解 由 0?A
知 线性无关，
因此 是 R3的一个基。
321,,
321,,
上页下页
( ) BAA
xx
xx
xx
1
21
1
3231
2221
1211
,
＝那么
( ) ( )
3231
2221
1211
32121,,,
xx
xx
xx
即
3322221122
3312211111
xxx
xxx
设如果 P1,P2,…,Pl为初等矩阵，使
P1P2…P lA=E,
则 A-1=P1P2…P l
BPPP
xx
xx
xx
l?21
3231
2221
1211
且上页下页因此只需对矩阵 (A|B) 作初等行变换，当把 A变为 E时，
B就变成了 A-1B。
41122
30212
24221
)3,1(r
87360
78630
24221
))2(13(
))2(12(
r
r
69900
78630
24221
))2(23(
))1(1(
r
r
3
2
1100
32030
3
2
2021
))2(31(
))6(32(
))
9
1
(3(
r
r
r
,
3
2
1100
1
3
2
010
3
4
3
2
001
))2(21(
))
3
1
(2(
r
r
( )
24221
30212
41122
BA
上页下页
3
2
1100
1
3
2
010
3
4
3
2
001
所以
3212
3211
3
2
3
4
3
2
3
2
§ 1 n维向量定义 1 n个数组成的有序数组 （ a1,a2,…,an）
称为一个 n维向量,简称 向量 。
n
a
a
a
2
1
或用小写的粗黑体字母来表示向量 。
行向量列向量上页下页数 a1,a2,…,an称为这个 向量的分量 。 ai称为这个向量的第 i个分量或坐标。分量都是实数的向量称为 实向量 ；分量是复数的向量称为 复向量 。
n维行向量可以看成 1× n矩阵,n维列向量也常看成 n× 1矩阵。
设 k和 l为两个任意的常数,为任意的 n维向量，其中
,,
),,,( 21 naaa
),,,( 21 nbbb
上页下页定义 2 如果 和 对应的分量都相等,即
ai=bi,i=1,2,…,n
就称这两个 向量相等,记为 。
定义 3 向量
（ a1+b1,a2+b2,…,a n+bn）
称为 与 的 和,记为 。 称向量
（ ka1,ka2,…,ka n）
为 与 k的数量乘积，简称 数乘,记为 。
k
上页下页定义 4 分量全为零的向量
（ 0,0,…,0）
称为 零向量,记为 0。 与 -1的数乘
（ -1） =（ -a1,-a2,…,-an）
称为 的 负向量,记为 。
)(向量的减法定义为向量的加法与数乘具有下列性质,
交换律)1(
)()()2(结合律上页下页
0)3(
0)()4(
kkk )()5(
lklk ))(6(
)()()7( kllk?
1)8(
00)9(
00)10(?k
0,00)11( kk 那么且如果满足（ 1） — （ 8）的运算称为线性运算。
上页下页
§ 2 线性相关与线性无关矩阵与向量的关系：
通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组,n维行向量组 可以排列成一个 s× n分块矩阵
s,,21
s?
2
1
其中 为由 A的第 i行形成的子块，
称为 A的行向量组。
i?
s,,21
n维列向量组 可以排成一个 n× s矩阵s,,21
),,( 21 sB
其中 为由 B的第 j行形成的子块，
称为 B的列向量组。
j?
s,,21
上页下页定义 5 向量组 称为 线性相关 的,如果有不全为零的数 k1,k2,…,ks,使
s,,21
02211
1
ss
s
i
ii kkkk
反之，如果只有在 k1=k2=…=k s=0时上式才成立，就称 线性无关 。
s,,21
当 是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的 1× s矩阵（ k1,k2,…,k s）使
s,,21
0),,(
2
1
21
s
s
kkk
上页下页当 为列向量时，它们线性相关就是指有非零的 s× 1矩阵,使 ),,(
21?skkk?
s,,21
0),,(
2
1
21?
s
s
k
k
k
上页下页例 判断向量组
)1,,0,0(
),0,,1,0(
),0,,0,1(
2
1
n?
的线性相关性。
解 对任意的常数 k1,k2,…,k n都有
),,,( 212211 nnn kkkkkk
所以 0
2211 nnkkk
当且仅当 k1=k2=…=k n=0
因此 线性无关。n,,21
称为基本单位向量。n,,21
上页下页例 设向量组 线性无关，,
，,试证向量组 也线性无关。
321,, 211
322 133 321,,
证 对任意的常数都有
)()()( 32221131332211 kkkkkkkkk
设有 k1,k2,k3,使 0
332211 kkk
由 线性无关，故有
321,,
0
0
0
32
21
31
kk
kk
kk
由于满足 k1,k2,k3的取值只有 k1=k2=k3=0
所以 线性无关 。321,,
上页下页定理 1 向量组 （ s≥2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。
s,,21
证 设 中有一个向量能由其他向量线性表出，
s,,21
sskkk33221
0221 sskk
所以 线性相关。s,,21
s,,21
如果 线性相关，就有不全为零的数
k1,k2,…,k s，使 0
2211 sskkk
设 k1≠0,那么
s
s
k
k
k
k
k
k
1
3
1
3
2
1
2
1
即 能由 线性表出 。
1? s,,32
上页下页例如,向量组是线性相关的，因为
213 3
)1,3,1,2(1 )4,5,2,4(2 )1,4,1,2(3
上页下页定理 2 设向量组 线性无关，而向量组线性相关，则 能由向量组线性表出，且表示式是唯一的。
t,,21
,,,,21 t t,,,21?
证 由于 线性相关，就有不全为零的数 k1,k2,…,k t,k，使
,,,,21 t?
02211 kkkk tt?
由 线性无关有 k≠0。
t,,21
t
t
k
k
k
k
k
k
2
2
1
1
即 可由 线性表出。
t,,,21?
上页下页
ttt hhhlll 22112211设为两个表达式。
0)()()(
)()(
222111
22112211
ttt
tttt
hlhlhl
hhhlll
且 线性无关
t,,21
得到 l1=h1,l2=h2,…,lt=ht
因此表示式是唯一的。
上页下页定义 7 如果向量组 中每个向量都可以由线性表出,就称向量组 可由线性表出,如果两个向量组互相可以线性表出,就称它们 等价 。
s,,21
t,,21 s,,21
t,,21
每一个向量组都可以经它自身线性表出。
同时，如果向量组 可以经向量组线性表出，向量组 可以经向量组线性表出，那么向量组 可以经向量组线性表出。
s,,21 t,,21
s,,21
t,,21
p,,21
p,,21
上页下页向量组 中每一个向量都可以经向量组线性表出。因而，向量组可以经向量组 线性表出。
s,,21p,,21
s,,21
p,,21
t
j
jiji sik
1
,,2,1,
p
m
mmjj tjl
1
,,2,1,
如果
m
t
j
p
m
t
j
p
m
p
m
t
j
jmijmjmijmjmiji lklklk
1 1 1 1 1 1
)(
有上页下页向量组的等价具有下述性质：
(1)反身性,向量组 与它自己等价；s,,21
(2)对称性,如果向量组 与 等价，
那么 也与 等价。
s,,21
s,,21 t,,21
t,,21
(3)传递性,如果向量组 与 等价，
而向量组 又与 等价,那么与 等价。
t,,21
s,,21 t,,21
p,,21
p,,21 s,,21
上页下页
§ 3 线性相关性的判别定理定理 3 有一个部分组线性相关的向量组线性相关。
设这个部分组为 。则有不全为零的数
k1,k2,…,k r，使
r,,21
证 设向量组 有一个部分组线性相关。
s,,21
s
i
r
i
s
rj
jiiii kk
1 1 1
00
因此 也线性相关。s,,21
推论 含有零向量的向量组必线性相关。
上页下页定理 4 设 p1,p2,…,p n为 1,2,…,n的一个排列，
和 为两向量组，其中s,,21s,,21
nip
ip
ip
i
in
i
i
i
a
a
a
a
a
a
2
1
,
2
1
即 是对 各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有 相同的线性相关性 。
s,,21 s,,21
证 对任意的常数 k1,k2,…,k s，
上页下页
s
i
snsnn
ss
ss
ii
akakak
akakak
akakak
k
1
2211
2222121
1212111
s
i
spspp
spspp
spspp
ii
nnn
akakak
akakak
akakak
k
1
2211
2211
2211
222
121
上两式只是各分量的排列顺序不同，因此
02211 sskkk
当且仅当
02211 sskkk
所以 和 有相同的线性相关性。
s,,21s,,21
上页下页
(2)如果 线性无关，
那么 也线性无关。s,,21
s,,21
s,,21
s,,21
s,,21
s,,21
定理 5 在 r维向量组 的各向量添上 n-r个分量变成 n维向量组 。
(1)如果 线性相关，
那么 也线性相关。
证 对列向量来证明定理。
121 ),,,( As
2
1
21 ),,( A
A
s
上页下页
0),,(
2
1
2
1
21
XA
XAX
A
AX
s
0),,( 121 XAXs从而利用 (1)式,用反证法容易证明 (2)式也成立。
因此,也线性相关,即 (1)式成立。s,,21
如果 线性相关,就有一个非零的 s?1矩阵 X,使
s,,21
上页下页引理 1 如果 n阶方阵 A的行列式等于零,那么 A的行 (列 )
向量组线性相关。
定理 6 n维向量组 线性无关的充要条件是矩阵
s,,21
nnnn
n
n
n aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
2
1
的行列式不为零 (A可逆 )。此时,矩阵 A的 n个列向量也线性无关。
定理 7 n+1个 n维向量组 必线性相关。 121,,?n
推论 当 m>n时,m个 n维向量组线性相关。
上页下页定理 8 如果向量组 可由 线性表出且 s>t，那么 线性相关。
s,,21s,,21
s,,21
推论 1 如果向量组,可由向量组线性表出，且 线性无关，那么 。
s,,21s
,,21
s,,21 ts?
推论 2 两个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量。
上页下页
§ 4 向量组的秩与矩阵的秩定义 8 一向量组的一个部分组称为一个 极大线性无关组,如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中向这部分组任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都线性相关。
例 在向量组中，
为它的一个极大线性无关组。
)1,4,1,2(),4,5,2,4(),1,3,1,2( 321
21,
首先，由 与 的分量不成比例,线性无关。21,1? 2?
再添入 以后,由 可知所得部分组线性相关,不难验证 也为一个极大线性无关组 。
3? 213 3
32,
上页下页定义 8‘ 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且这向量组中任意向量都可由这部分组线性表出。
向量组的极大线性无关组具有的性质：
性质 1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价 。
性质 2 一向量组的任意两个极大线性无关组都等价 。
性质 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。
上页下页定义 9 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个 向量组的秩 。
如果向量组 能由向量组 线性表出，那么 的极大线性无关组可由的极大线性无关组线性表出。因此的秩不超过 的秩。
s,,21s,,21
s,,21
s,,21
s,,21s,,21
定理 9 向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为一个极大线性无关组。
推论 秩为 r的向量组中任意含 r个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组。
上页下页定义 10 矩阵的 行秩 是指它的行向量组的秩，矩阵的 列秩 是指它的列向量组的秩。
定义 11 在一个 s?n矩阵 A中任意选定 k行和 k列，位于这些选定的行和列的交点上的 k2个元素按原来的次序所组成的 k?k级矩阵的行列式，称为 A的一个 k级子式。
引理 2 设,n维向量组 线性无关的充要条件是矩阵
nr? r,,21
rnrr
n
n
r aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
2
1
中存在一个不为零的 r级子式。
上页下页定理 10 矩阵的行秩等于列秩。
由此,A'的列秩 (A的行秩 r1)?A'的行秩 (A的列秩 r2),
即有 。
21 rr?
21 rr?
证 设矩阵 A的行秩为 r1,A的列秩为 r2。
21 rr?
那么,A中有 r1个行向量线性无关,由引理 2,A中有一个 r1级子式 D不为零,那么 A中子式 D所在的 r1个列向量也线性无关 ;因而,。
统称矩阵的行秩和列秩为矩阵的秩,矩阵 A的秩一般记为 R(A)。规定零矩阵的秩为 0。
上页下页定理 11 矩阵 A的秩为 r的充要条件是它有一个不为零的 r阶子式而所有 r+1阶子式全为零,这时,这个非零的 r级子式所在的行和列就分别为 A的行向量组和列向量组的极大线性无关组。
上页下页
§ 5 矩阵的初等变换矩阵的初等行变换都是可逆的,且其逆变换也是同类的初等行变换 。
定义 12 下面的三种变换称为 矩阵的初等行变换,
(1)对换矩阵两行的位置
[对换第 i行和第 j行的位置记为 r(i,j)],
(2)矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数
[第 i行乘以 k记为 r(i(k)]
(3)把矩阵一行所有元素的 k倍加到另一行对应的元素上去 [第 i行的 k倍加到第 j行上去记为 r(j+i(k))]
上页下页定理 12 如果矩阵 A经过有限次初等行变换变为 B,则 A
的行向量组与 B的行向量组等价,而 A的任意 k个列向量与 B中对应的 k个列向量有相同的线性关系 。
例 求下列向量组
)4,3,6,2(
),3,2,6,0(),3,0,2,1(
),3,1,4,2(),3,2,2,1(
5
43
21
的一个极大线性无关组与秩。
解 作
43333
32012
66242
20121
A
23690
12230
26000
20121
))3(14(
))2(13(
))2(12(
r
r
r
上页下页
26000
23690
12230
20121
)4,3(
)3,2(
r
r
23690
12230
26000
20121
26000
13000
12230
20121
))3(23(r
00000
13000
12230
20121
))2(34(r 所以 为一个极大无关组，且秩等于 3。
421,,
上页下页定义 13 如果矩阵 A经有限次初等变换化成 B，就称矩阵 A与 B等价 。
矩阵的等价关系具有下列性质：
(1)反身性,A与 A等价。
(2)对称性,如果 A与 B等价，那么 B与 A等价。
(3)传递性,如果 A与 B等价,B与 C等价，
那么 A与 C等价。
定理 13 如果矩阵 A与 B等价，那么 R(A)＝ R(B) 。
定理 14 每个矩阵都有等价标准形,矩阵 A与 B等价,
当且仅当它们有相同的等价标准形 。
推论 两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等。
上页下页
§ 6 初等变换与求矩阵的逆定义 14 由单位矩阵 E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 。
初等矩阵都是方阵，互换 E的第 i行与第 j行（或者互换 E的第 i列与第 j列）的位置，得
,( j)
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
O
O
O
iE?
上页下页用常数 k乘 E的第 i行
（或 i列），得行；第 i
1
1
1
1
))((
O
O
kkiE?
把 E的第 j行的 k倍加到第 i行（或第 i列的 k
倍加到第 j列）得行第行第
j
i
1
1
1
1
))((
O
O
O
k
kjiE
上页下页这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有
E(i,j)-1＝ E(i,j)
E(i(k))-1=E(i(1/k)),
E(i+j(k))-1=E(i+j(-k))
定理 15 对一个 s× n矩阵 A作一初等行变换就相当于在 A的左边乘上相应的 s× s初等矩阵；对 A作一初等列变换就相当于在 A的右边乘上相应的 n× n初等矩阵。
推论 1 矩阵 A与 B等价的充分必要条件是有初等方阵
P1,P2,…,Ps,Q1,…,Qt使
A＝ P1P2…P sBQ1…Q t
上页下页推论 2 n× n矩阵 A可逆的充分必要条件它能表成一些初等矩阵的乘积。
推论 3 两个 s× n矩阵 A,B等价的充分必要条件为存在可逆的 s× s矩阵 P与可逆的 n× n矩阵 Q使
A=PBQ
推论 4 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。
上页下页例 设
012
411
210
A
求 A-1。
解 对 (A|E)作初等行变换
100
010
001
012
411
210
)( EA
100012
001210
001411
)2,1(r
123200
001210
010411
))3(23(r
120830
001210
010411
))2(13(r
2
1
1
2
3
100
124010
112001
))1(21(
))2(31(
))1(32(
r
r
r
上页下页
2
1
1
2
3
124
112
1A
2
1
1
2
3
100
124010
112001
)( EA
上页下页
§ 7 向量空间定义 15 设 V为 n维向量的集合,如果 V非空且对于向量加法及数乘运算封闭,即对任意的 和常数 k
都有就称集合 V为一个 向量空间 。
VkV,,
,,V
例 n维向量的全体 Rn构成一个向量空间 。 3维向量可以用有向线段来表示,所以 R3也可以看作以坐标原点为起点的有向线段的全体 。
例 n维零向量所形成的集合 {0}构成一个向量空间。
上页下页定义 16 如果 V1和 V2都是向量空间且,就称 V1
是 V2的 子空间 。
21 VV?
(2)V中任意向量都可以经 线性表出，
那么，向量组 就称为 V的一个 基,r称为 V的维数，并称 V为一个 r维向量空间。
定义 17 设 V为一个向量空间。如果 V中的向量组满足r,,21
r,,21
r,,21
r,,21
(1) 线性无关；
如果向量空间 V没有基,就说 V的维数为 0,0维向量空间只含一个零向量 。
上页下页如果把向量空间 V看作向量组，那么 V的基就是它的极大线性无关组,V的维数就是它的秩。当 V由 n维向量组成时，它的维数不会超过 n。
例 设
( ) ( ),
24
30
41
,,
221
212
122
,,21321
A
验证 是 R3的一个基并将 用这个基线性表示出来。
321,, 21,
解 由 0?A
知 线性无关，
因此 是 R3的一个基。
321,,
321,,
上页下页
( ) BAA
xx
xx
xx
1
21
1
3231
2221
1211
,
＝那么
( ) ( )
3231
2221
1211
32121,,,
xx
xx
xx
即
3322221122
3312211111
xxx
xxx
设如果 P1,P2,…,Pl为初等矩阵，使
P1P2…P lA=E,
则 A-1=P1P2…P l
BPPP
xx
xx
xx
l?21
3231
2221
1211
且上页下页因此只需对矩阵 (A|B) 作初等行变换，当把 A变为 E时，
B就变成了 A-1B。
41122
30212
24221
)3,1(r
87360
78630
24221
))2(13(
))2(12(
r
r
69900
78630
24221
))2(23(
))1(1(
r
r
3
2
1100
32030
3
2
2021
))2(31(
))6(32(
))
9
1
(3(
r
r
r
,
3
2
1100
1
3
2
010
3
4
3
2
001
))2(21(
))
3
1
(2(
r
r
( )
24221
30212
41122
BA
上页下页
3
2
1100
1
3
2
010
3
4
3
2
001
所以
3212
3211
3
2
3
4
3
2
3
2
