上页下页第五章特征值与二次型上页下页
5.1 向量的内积
.'],[
,
yxyx?用矩阵形式可表为内积是向量的一种运算
.],[
,
1
2211
2
1
2
1
的内积与为称维向量设有定义
yxyxyxyxyx
y
y
y
y
x
x
x
x
n
nn
nn
上页下页
),4,8,6,3(),3,0,1,2()2(
);3,1,0,2(),2,5,1,0()1(
:,],,[
yx
yx
yxyx 如下其中计算例
113)2()1(501)2(0],[)1(yx解
04380)6(13)2(],[)2(yx
].,[],[],[)(
],,[],[)(
],,[],[)(
,,,,
zyzxzyxiii
yxyxii
xyyxi
nzyx
内积的性质为：为实数维实向量为若上页下页
.],[:)(
.:)(
,:)(
,00,0,0:)(
:
22
2
yxyxS c hw ar zC auc h yiv
yxyxiii
xxii
xxxxi
不等式三角不等式齐次性时当时当非负性基本性质
.,1),(
2 22221
为单位向量称时当或范数长度的为向量称定义
xx
xxxxxxx n
上页下页
.
.
.,0],[
向量组为正交向量组称一组两两正交的非零维向量正交维零向量与任意正交与称时当
nn
yxyx?
.
],[
ar c c os
,0,0,
).0(1
],[
的夹角与为称时当于是定义不等式可得由
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
SC
上页下页
r
i
iir
1
21,0,,, 使设有证?
.,,,
,,,2,1,0
,0],[,0
21
2
线性无关于是从而故因
r
k
kkkk
rk
0]0,[],[
,,,2,1(
kkkk
k rk
即得
）与上式两端作内积分别用?
.
,,,,1 21
组则它们为线性无关向量为正交向量组维非零向量若定理 rn
上页下页
.,
0,)(
,
,
,
,
0
0
0
,
,
,
0,0,0
2
1
2
1
21
此非零解即为所求非零解必有故齐次线性方程组则记
，即，应该满足证
AxnrAR
Ax
xxxx
rr
r
.
,,,,,
,,,,,2
21
21
也为正交向量组使维非零向量则必存在且是正交向量组若定理
x
xn
nr
r
r
上页下页
.,,,
,)'1,2,1(,)'1,1,1(
3213
21
两两正交使非零向量试求一个正交已知例
,
0
0
121
111
3
2
1
x
x
x
解方程组解
.,
1
0
1
,
1
0
1
33 即为所求则取得基础解系为
.
)(
的一个正交基扩充成维非零向量总可以两两正交的个推论
nR
nnrr?
上页下页
.,,2,1,],,['
''
,
,,,,
,,,,
2211
21
21
riee
eee
eee
eee
VVeee
iiii
iiiii
rr
r
r
唯一确定得则由设唯一线性表示可由向量中任一则的一个正规范基是若
).(
,
,,,,)(
,,,3
21
21
标准正交基正交规范基的一个则称之为正交且都是单位向量两两如果的一个基是向量空间维向量设定义
V
eeeRVV
eeen
r
n
r
上页下页
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
1
11
1
2
22
21
1
11
1
1
11
21
2211
r
rr
rrr
rr
取
.,,,
,,,,
,,,,,,
21
2
2
2
1
1
1
21
的一个正交规范基就是则即令将它们单位化非零两两正交容易验证
Veee
eee
r
r
r
r
r
:
,
,,,)( 21
其具体步骤如下正交化方法转换为一正交规范基的的任一基将向量空间
Sc hm i d t
RVV rn
上页下页
.
,,
)'1,1,1(,)'1,0,1(,)'0,1,1(
3
3
321
的一个正交规范基构造正交化方法试用的一个基是已知例
R
S c h m i dtR
,
0
1
1
11
取解
10
1
1
2
1
1
0
1
],[
],[
2
1
2
1
1
11
21
22?
上页下页
3
1
3
1
3
1
2
1
2
1
2
22
32
1
11
31
33
1
3
2
0
1
1
1
1
1
],[
],[
],[
],[
,,,
0
,,,
3
1
3
1
3
1
3
3
3
6
2
6
1
6
1
2
2
22
1
2
1
1
1
1
3
321
eee
R 的一个正交规范基即得单位化再将上页下页
.,,2,1,
,0
,1
2
nji
ji
ji
n
ijji
个关系式由此得到
).()'(
,,,,,
.
),'('4
21
2
1
1
ijji
n
n
EA
A
AAEAAn
亦即即是的列向量表示用为正交矩阵就称即阶方阵满足如果定义
上页下页
.
:
的正交规范基的列向量组构成条件为正交矩阵的充分必要说明方阵
nRA
A
.
,''
的行向量组也成立所以上述结论对注意到
A
AAEAA
.,,)(
,,',)(
,1,)(
:,
1
2
也是正交矩阵则阶正交矩阵是若也是正交矩阵则是正交矩阵若则是正交矩阵若不难得到下列性质由正交矩阵定义
ABnBAiii
AAAii
AAi
上页下页,
,
,)
c o s
s i n
s i n
c o s
(
,
再关于纵轴对称反射角相当于旋转正交变换为正交矩阵例如射和旋转的叠合其实正交变换相当于反
Txy
T
.
,
,''''
,
性之一这是正交变换的优良特长度保持不变表明经正交变换向量的则有是正交变换设
xxxTxTxyyy
Txy
,
,5
称为正交变换则线性变换是正交矩阵若定义
Txy
T
上页下页
1.2 方阵的特征值和特征向量
0
0)(
EA
xEA
解的充分必要条件是齐次线性方程组有非零也可写成
.
,,
,,6
的特征向量对应特征值为矩阵称的特征值为矩阵则称使得维向量和非零若存在数阶方阵为设定义
Ax
AxAx
xnnA
.
,
,,)(
,,
的特征方程方程称为项式的根的特征值即为其特征多则矩阵的特征多项式称为记的根的特征值就是该多项式因此次多项式的左端为
A
A
AEAf
An
上页下页
.),(
,
个特征值有阶方阵因此重根按重数计算其个数为方程的次数恒有解特征方程在复数范围内
nAn
),
,,(
,
0)(
,
为复向量则为复数若可取实向量则为实数若的特征向量特征值的对应于便是那么可求得非零解则由方程为其中的一个特征值设
ii
iii
ii
i
i
p
p
APpx
xEA
上页下页
.
31
13 的特征值和特征向量求例
A
.4,2
0)2)(4(1)3(
31
13
21
2
的特征值为所以的特征方程为解
A
A;
1
1
,
0
0
231
123
,2
21
2
1
1
i
pxx
x
x
取为所以对应的特征向量可可得由时当?
上页下页
,
1
1
,
0
0
11
11
0
0
431
143
`,4
221
2
1
2
1
2
pxx
x
x
x
x
取为所以对应的特征向量可解得即由时当?
.
,,
,
,)0(
,,
属于一个特征值也即一个特征向量只能特征向量绝不会相等不同的特征值所对应的反之征值唯一确定所以特征向量不能由特的特征向量也是对应于则的特征向量是对应于特征值若显然
ii
ii
kkp
p
上页下页
.
163
053
064
的特征值和特征向量求矩阵例
A
)2()1(
163
053
064
2
EA
A 的特征多项式为解
000
000
021
063
0153
0614
,0)(,1
21
EA
xEAA 由解方程时的特征值为
上页下页
1
0
0
,
0
1
2
21 pp得基础解系
.1
)0(
21
2
2
2
12211
的全部特征向量为对应于于是
kkpkpk
000
110
011
363
0253
0624
2
,0)2(,2
3
EA
xEA 由解方程时当?
上页下页
.2)0(
.
1
1
1
3333
3
的全部特征向量为对应于所以得基础解系
kpk
p
.,22 的特征值是证明的特征值是方阵设例 AA
.
,)(
,,0,
22
22
的特征值是所以于是使故有的特征值是因证
A
pApApApA
pAppA
上页下页
0
0)(
0
,,,
222111
2211
2211
21
mmm
mm
mm
m
pxpxpx
pxpxpxA
pxpxpx
xxx
即则使设有常数证
)1,,2,1(
0222111
mk
pxpxpx mmkmkk
类推有
.,,,
,,,,,
,,,3
21
21
21
线性无关则向量依次是与之对应的特征特征值个互不相同的的是方阵设定理
m
m
m
ppp
ppp
mA
上页下页
.
1
1
1
),,,(
,
1
1
22
1
11
2211
Opxpxpx
m
mm
m
m
mm
得写成矩阵形式
.,,,
.,,2,1,0,0,0
,),,,(
21
2211
线性无关所以向量组故但即于是有
m
iiii
mm
ppp
mixppx
Opxpxpx
.,该矩阵可逆各不相同时当 i?
范德蒙行列式上页下页
5.3 相似矩阵
,
)()(
,,,
1
111
1
EAPEAP
PEAPPEPAPPEB
BAPPPBA
故使即有可逆矩阵相似与因证
.,
,,7
1 是相似的与则称使如果存在一个可逆矩阵阶方阵是与设定义
BAAPPB
PnBA
.,
,4
的特征值相同与从而相同的特征多项式与则相似与阶方阵若定理
BA
BABAn
上页下页
.,,,
,),,,(
21
21
的特征值即是则相似与对角矩阵阶方阵若推论
A
d i a gAn
n
n
.,,,
,,
,,
,,,,
:5
21
21
1
21
n
n
n
A
ppp
APPP
pppnA
An
的特征值的对应元素依次是与此对角矩阵的主对角线而且为对角矩阵能使为列向量组的矩阵并且以它们个线性无关的特征向量有件是可对角化的充分必要条阶方阵定理
上页下页
.0,,
,
xxAxx
A
即为对应的特征向量复向量的特征值为实对称矩阵设复数证
xxxxxxAxAxAxx
xxxxAxx
xxAxxAxA
xx
')'()'()''('
'''
.)(
,,
及于是有则的共轭复向量表示的共轭复数表示用
n
i
n
i
iii xxxxxx
xx
1 1
2
.0',0
0')(,
所以但因得两式相减
定理 6 实对称矩阵的特征值都是实数。
上页下页
.,,0 是实数这表明即故
.
,,
0)(
,,
量的特征向量必可取实向即对应于从而必有实的基础解系是实系数线性方程组齐次线性方程组为实数时当特征值显然
i
i
i
xEA
.,0,
,0)(
,)(''
,''')'()'(
,,,,
212121
2121
21222121211
1111111
21222111
正交与即故但即于是故对称因证
pppp
pp
ppppApppp
ApApAppp
AAppApp
.,,
,,,7
2121
2121
正交与则若对应的特征向量是征值是实对称矩阵的两个特设定理
pp
pp
上页下页,3
.2
.1
:
,
,
每个列向量是单位向量任意两个列向量正交每个列向量是特征向量列向量组有三个要求的因此对组成个线性无关的特征向量的是由位向量组的列向量组是正交的单是正交矩阵，
TnA
TT
定理 8 设 A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵 T，使
.,,
21
2
1
1
的特征值是其中 A
ATT
n
n
上页下页
:1 如下为对角矩阵的具体步骤使求正交矩阵 ATTT?
.,,,21 nA的所有不同的特征值求出第一步
.,
,
:
1
ATT
T
n
n
即为所求的对角矩阵对角线元素的以相应的特征值作为主矩阵交阶方阵即为所求作的正作为列向量所得的个正交单位特征向量以上面求出的第三步
.,
7,
,,
0)(,
:
个正交的单位特征向量的如此可得向量正交知对应于不同特征再由定理基础解系正交规范化把此组正交化方法并且利用一个基础解系的即求出齐次线性方程组的特征向量的一组线性无关对应每个特征值求出第二步
nA
Sc h m i d t
EA
A
i
i
上页下页例 设
122
212
221
A 求正交矩阵 T，使
T-1AT为对角矩阵。
解 显然 A'=A。
故一定存在正交矩阵 T，使 T-1AT为对角矩阵。
先求 A的特征值
12 2
212
2 21
EA
12 5
215
2 2 5
上页下页
12 5
215
2 2 5
)1(2 0
2)1(0
2 2 1
)5(
2)1)(5(
5)(1 21,二重的特征值为A
0)(11 EA，求解齐次线性方程组对于?
000
000
111
122
212
221
EA
上页下页求得一基础解系为
1
0
1
,
0
1
1
21
正交化，令
1
21
21
0
1
1
2
1
1
0
1
,
,
0
1
1
1
11
21
2211?
再单位化，令
36
66
66
,
0
21
21
2
1
1
1
上页下页
0)5(52 EA，求解齐次线性方程组对于?
422
242
422
422
242
224
5 EA
000
110
211
000
660
422
求得一基础解系为
1
1
1
3?
只有一个向量，只要单位化，得
31
31
31
3
3
3
上页下页以正交单位向量组 为列向量的矩阵 T 就是所求的正交矩阵。
321,,
31360
316121
316121
),,( 321T
有
500
010
001
1 ATT
上页下页
§ 4 化二次型为标准型
ijjijiijjiijjiij xxaxxaxxajiaa 2),( 则取二次型写成对称形式定义 8 n元变量 的二次齐次多项式
nxxx,,,21?
nnnnnn
nnnn
xxaxxaxxaxxa
xaxaxaxxxf
1,13223112112
22
222
2
11121
2222
),,,(
称为二次型。
ija
ija
f
f
当 为复数时,称为复二次型，
为实数时 称为实二次型。
上页下页
n
ji
jiijnnnnnnnnn
nn
xxaxaxxaxxaxxa
xaxxaxxaxxaxaf
1,
2
221122
2
2221221112112
2
111
记
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
n
x
x
x
x
2
1
Axx
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxaf
nnnnn
n
n
n
ji
jiij
2
1
21
22221
11211
1,?
其中 A为实对称矩阵。
上页下页说明经可逆变换 x=Cy后,二次型 f 的矩阵 A变为对称矩阵 C'AC,且二次型的秩不变,矩阵的合同关系与相似关系一样,都满足反身性,对称性,传递性,
证 因 A'= A,故 B'=(C'A C)'= C'A'C = C'AC = B即 B为对称矩阵,
又因为 B = C'AC,而 C'与 C均为可逆矩阵,故 A与 B等价,于是 R(B)=R(A).
定理 9 任给可逆矩阵 C,令 B= C'AC,如果 A为对称矩阵,
则 B亦为对称矩阵,且 R(B)=R(A),此时,也称 A与 B合同,
上页下页要使二次型 f 经可逆变换 x=Cy变成标准形,这就是要使
,),,,(
''
2
1
2
1
21
2
1
2
21
2
11
nn
n
n
y
y
y
k
k
k
yyy
ykykykACyCy
也就是要使 C'AC成为对角矩阵。
上页下页
.
222222
,
434142323121
化为标准形把二次型求一个正交变换例
xxxxxxxxxxxxf
Tyx
的矩阵是解 f:
,
0111
1011
1101
1110
A
.)(,,
,
,,10
21
22
22
2
11
1,
的特征值的矩阵是其中化成标准形使总有正交变换任给二次型定理
ijn
nn
n
ji
jiij
aAf
yyyff
Tyxxxaf
上页下页
1
0
0
1
,
0
1
0
1
,
0
0
1
1
321
求得一组基础解系
).3()1(
111
111
111
111
3
EA
,
0000
0000
0000
1111
1111
1111
1111
1111
.3),(1
21
EA
A 三重的全部特征值为于是上页下页
.
10
13
1
0
0
1
1
2
1
1
0
0
1
],[
],[
],[
],[
0
1
0
0
1
1
2
1
0
1
0
1
],[
],[
0
0
1
1
3
1
3
1
3
1
2
1
2
1
2
22
32
1
11
31
33
2
1
2
1
1
11
21
2211
,令
.,
0
,
0
0
2
3
6
3
6
3
6
3
3
3
3
3
6
6
6
6
6
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
上页下页
0000
1100
1010
3111
3111
1311
1131
1113
3
,0)3(,3
2
EA
xEA 由解齐次线性方程组对于?
.,
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
4
44
令求得一组基础解系为上页下页
2
4
2
3
2
2
2
1 3)'(''
,
yyyyyATTyAxxf
Tyx
则可得再令
,
00
0
),,,(
2
1
2
3
2
1
6
3
3
6
2
1
6
3
6
6
2
2
2
1
6
3
6
6
2
2
4321
T
取正交矩阵上页下页
.,
622 323121
并求所用的变换矩阵成标准形化二次型例 xxxxxxf
,
,
,
,,:
33
212
211
21
yx
yyx
yyx
xxf
故令乘积项由于含有中不含平方项在解
,
,2
,
,2
,
33
322
311
33
322
211
zy
zzy
zzy
yz
yyz
yyz
即故令
2
3
2
32
2
21
3231
2
2
2
1
6)2(2)(2,
8422
yyyyyf
yyyyyyf
得再配方代入可得上页下页所有变换矩阵为即有,622 232221 zzzf
).02(
100
111
311
100
210
101
100
011
011
CC
.
)).(())((')),(())(('),,(),('
,
21 sEEEC
kjiEkjiEkiEkiEjiEjiE
记易见关于初等矩阵
).,,,('''
,,,,
,11
212112
21
nSS
S
ddddi agEEAEEEE
EEE
A
使得阵一定存在一系列初等矩对实对称矩阵定理上页下页
。就得到变换矩阵于单位阵初等列变换施加而相应地将这一系列的得到对角矩阵初等行、列变换同时施行一系列同类的对定理表明
C
A
,
,
,:
.
,,
,,,2
,
初等变换法这就是换矩阵把单位阵化成了可逆变成对角形的同时化把列变换对此矩阵作相同的行矩阵形成一个的下面放在二次型的矩阵阶单位阵其具体做法是将
C
Ann
AEn
上页下页
.62252 323121232221 化为标准型用初等变换法将例
xxxxxxxxxf
,
531
321
111
:
Af 的矩阵二次型解
100
010
111
420
210
001
100
010
001
531
321
111
E
A
100
210
111
000
010
001
上页下页
2
2
2
1,
100
210
111
yyfyx
则故令
100
210
111
000
010
001
E
A
上页下页
5.5 正定二次型
.
,,,,,,
)0(
)0(
,,
,
,')(12
2121
22
22
2
11
22
22
2
11
正数的个数相同中中正数的个数与则及使及变换有两个实的非退化线性它的秩为设有二次型惯性定理定理
rr
irr
irr
kkk
zzzf
kykykykf
PzxCxx
r
Axxf
上页下页
.,
2,
,
,),,,(9
21
的秩为二次型这里符号差称为称为负惯性指数的平方项的个数系数为负指数称为此二次型的正惯性平方项的个数系数为正的的标准型中二次型定义
fr
rpspr
p
xxxf
n
.
'13
n
Axxf
是它的正惯性指数等于要条件为正定二次型的充分必定理?
.,
,0)(,0;
,],0)0([0)(
,0,')(10
为负定矩阵其矩阵二次型为负定则称都有如果对任何正定矩阵为称为正定二次型则称显然都有如果对任何设有二次型定义
A
fxfx
Affxf
xAxxxf
推论 对称矩阵 A正定当且仅当 A的特征值全为正,
上页下页
.,,2,1,0)1(
:,)(
,)(
.,,2,1,0:,
)(14
21
22221
11211
21
22221
11211
nr
aaa
aaa
aaa
AA
nr
aaa
aaa
aaa
AA
rrrr
r
r
r
rrrr
r
r
即主子式为正顺序偶数阶主子式为负顺序的奇数阶负定当且仅当对称矩阵即主子式全为正顺序的各阶正定当且仅当对称矩阵定理上页下页
.
100
032
023
),,(),,(
3
2
1
321321
的正定性判定例
x
x
x
xxxxxxf
.,
,13.5,1,1
),5()1(,2
为正定二次型从而为正定矩阵之推论知根据定理的特征值为得由解
fA
A
EA
上页下页
.,
,42244 323121232221
为正定二次型取何值时问设例
f
xxxxxxxxxf
.
421
24
11
:
Af 的矩阵解
),2)(1(4,4,01 2
2221
1211
11 Aaa
aaa由
.12
0)2)(1(4
,04
12
2
正定时所给二次型即当知根据定理
f
上页下页
.题究多变量函数的极值问利用二次型的正定性研
Rxxxf
x
x
x
x
x
x
xxxf
x
x
x
x
x
x
xxxfxxxxxxf
T ay l or
xxxpxxxfn
n
n
n
n
n
n
nnn
nn
),,,()(
!2
1
),,,()(
),,,(),,(
,
),,,(),,,(
00
2
0
1
2
2
2
1
1
00
2
0
1
2
2
1
1
00
2
0
1
0
2
0
21
0
1
00
2
0
1021
公式得由多元函数的偏导数某个领域内有二阶连续的在元函数设
,'
2
1
')()( 00 RAxxxPfPPf
简写为矩阵表达式上页下页
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
12
2
1
2
21
2
2
1
2
2
1
,,
),,,,()(
),,,,()(
2
1
0
2
0
21
0
10
00
2
0
10
n
nn
n
n
n x
f
xx
f
xx
f
xx
f
x
f
xx
f
xx
f
xx
f
x
f
x
f
x
f
x
f
n
nn
n
A
x
x
x
x
xxxxxxfPPf
xxxfPf
其中
.为实对称矩阵显然 A
.,,2,1,0
,)(
0
0
ni
x
f
PPf
Pi
即为零向量处有极值的必要条件是在函数?
上页下页
.')()(
,,
2
1
00
0
RAxxPfPPf
P
有为驻点点在此条件下
.'
,),,2,1(
来决定由二次型上式右端正负号完全足够小时当
Axx
nix i
.,')3(
.,')2(
.,')1(
,
0
0
0
不是极值点为不定时当的一个极大值点为为负定时当的一个极小值点为为正定时当则故若这二次型的秩为
PAxx
fPAxx
fPAxx
n
.
,,' 0
R
PfnAxx
还需研究余项的性态在点要决定时的秩小于当上页下页
.,)3(;,)2(;,)1(
,2)(
,
,,,
,0
,,2
0
0
0
2
2
2
21
2
2
1
2
21
0
0
0
0
00
的极值点不是不定时当的一个极大值点为负定时当的一个极小值点为正定时当有时于是当得记即若有极值的充分条件就得到二元函数在时当
fPAxx
fPAxx
fPAxx
AR
cb
ba
A
x
f
c
xx
f
b
x
f
a
x
f
x
f
Pn
P
P
P
PP
上页下页,)(,0
,
63
36
,
222
22
为极大值故为负定且有处在
PfAA
AP
.3),( 33 的极值求函数例 yxxyyxf
)1,1(),0,0(
033
033
,21
2
2
PP
yx
y
f
xy
x
f
得驻点解方程组解
.)(,0,
03
30
,6,3,6
11111
2
22
2
2
非极值故为不定且处有所以在又因为
PfAAAP
y
y
f
yx
f
x
x
f
5.1 向量的内积
.'],[
,
yxyx?用矩阵形式可表为内积是向量的一种运算
.],[
,
1
2211
2
1
2
1
的内积与为称维向量设有定义
yxyxyxyxyx
y
y
y
y
x
x
x
x
n
nn
nn
上页下页
),4,8,6,3(),3,0,1,2()2(
);3,1,0,2(),2,5,1,0()1(
:,],,[
yx
yx
yxyx 如下其中计算例
113)2()1(501)2(0],[)1(yx解
04380)6(13)2(],[)2(yx
].,[],[],[)(
],,[],[)(
],,[],[)(
,,,,
zyzxzyxiii
yxyxii
xyyxi
nzyx
内积的性质为：为实数维实向量为若上页下页
.],[:)(
.:)(
,:)(
,00,0,0:)(
:
22
2
yxyxS c hw ar zC auc h yiv
yxyxiii
xxii
xxxxi
不等式三角不等式齐次性时当时当非负性基本性质
.,1),(
2 22221
为单位向量称时当或范数长度的为向量称定义
xx
xxxxxxx n
上页下页
.
.
.,0],[
向量组为正交向量组称一组两两正交的非零维向量正交维零向量与任意正交与称时当
nn
yxyx?
.
],[
ar c c os
,0,0,
).0(1
],[
的夹角与为称时当于是定义不等式可得由
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
SC
上页下页
r
i
iir
1
21,0,,, 使设有证?
.,,,
,,,2,1,0
,0],[,0
21
2
线性无关于是从而故因
r
k
kkkk
rk
0]0,[],[
,,,2,1(
kkkk
k rk
即得
）与上式两端作内积分别用?
.
,,,,1 21
组则它们为线性无关向量为正交向量组维非零向量若定理 rn
上页下页
.,
0,)(
,
,
,
,
0
0
0
,
,
,
0,0,0
2
1
2
1
21
此非零解即为所求非零解必有故齐次线性方程组则记
，即，应该满足证
AxnrAR
Ax
xxxx
rr
r
.
,,,,,
,,,,,2
21
21
也为正交向量组使维非零向量则必存在且是正交向量组若定理
x
xn
nr
r
r
上页下页
.,,,
,)'1,2,1(,)'1,1,1(
3213
21
两两正交使非零向量试求一个正交已知例
,
0
0
121
111
3
2
1
x
x
x
解方程组解
.,
1
0
1
,
1
0
1
33 即为所求则取得基础解系为
.
)(
的一个正交基扩充成维非零向量总可以两两正交的个推论
nR
nnrr?
上页下页
.,,2,1,],,['
''
,
,,,,
,,,,
2211
21
21
riee
eee
eee
eee
VVeee
iiii
iiiii
rr
r
r
唯一确定得则由设唯一线性表示可由向量中任一则的一个正规范基是若
).(
,
,,,,)(
,,,3
21
21
标准正交基正交规范基的一个则称之为正交且都是单位向量两两如果的一个基是向量空间维向量设定义
V
eeeRVV
eeen
r
n
r
上页下页
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
1
11
1
2
22
21
1
11
1
1
11
21
2211
r
rr
rrr
rr
取
.,,,
,,,,
,,,,,,
21
2
2
2
1
1
1
21
的一个正交规范基就是则即令将它们单位化非零两两正交容易验证
Veee
eee
r
r
r
r
r
:
,
,,,)( 21
其具体步骤如下正交化方法转换为一正交规范基的的任一基将向量空间
Sc hm i d t
RVV rn
上页下页
.
,,
)'1,1,1(,)'1,0,1(,)'0,1,1(
3
3
321
的一个正交规范基构造正交化方法试用的一个基是已知例
R
S c h m i dtR
,
0
1
1
11
取解
10
1
1
2
1
1
0
1
],[
],[
2
1
2
1
1
11
21
22?
上页下页
3
1
3
1
3
1
2
1
2
1
2
22
32
1
11
31
33
1
3
2
0
1
1
1
1
1
],[
],[
],[
],[
,,,
0
,,,
3
1
3
1
3
1
3
3
3
6
2
6
1
6
1
2
2
22
1
2
1
1
1
1
3
321
eee
R 的一个正交规范基即得单位化再将上页下页
.,,2,1,
,0
,1
2
nji
ji
ji
n
ijji
个关系式由此得到
).()'(
,,,,,
.
),'('4
21
2
1
1
ijji
n
n
EA
A
AAEAAn
亦即即是的列向量表示用为正交矩阵就称即阶方阵满足如果定义
上页下页
.
:
的正交规范基的列向量组构成条件为正交矩阵的充分必要说明方阵
nRA
A
.
,''
的行向量组也成立所以上述结论对注意到
A
AAEAA
.,,)(
,,',)(
,1,)(
:,
1
2
也是正交矩阵则阶正交矩阵是若也是正交矩阵则是正交矩阵若则是正交矩阵若不难得到下列性质由正交矩阵定义
ABnBAiii
AAAii
AAi
上页下页,
,
,)
c o s
s i n
s i n
c o s
(
,
再关于纵轴对称反射角相当于旋转正交变换为正交矩阵例如射和旋转的叠合其实正交变换相当于反
Txy
T
.
,
,''''
,
性之一这是正交变换的优良特长度保持不变表明经正交变换向量的则有是正交变换设
xxxTxTxyyy
Txy
,
,5
称为正交变换则线性变换是正交矩阵若定义
Txy
T
上页下页
1.2 方阵的特征值和特征向量
0
0)(
EA
xEA
解的充分必要条件是齐次线性方程组有非零也可写成
.
,,
,,6
的特征向量对应特征值为矩阵称的特征值为矩阵则称使得维向量和非零若存在数阶方阵为设定义
Ax
AxAx
xnnA
.
,
,,)(
,,
的特征方程方程称为项式的根的特征值即为其特征多则矩阵的特征多项式称为记的根的特征值就是该多项式因此次多项式的左端为
A
A
AEAf
An
上页下页
.),(
,
个特征值有阶方阵因此重根按重数计算其个数为方程的次数恒有解特征方程在复数范围内
nAn
),
,,(
,
0)(
,
为复向量则为复数若可取实向量则为实数若的特征向量特征值的对应于便是那么可求得非零解则由方程为其中的一个特征值设
ii
iii
ii
i
i
p
p
APpx
xEA
上页下页
.
31
13 的特征值和特征向量求例
A
.4,2
0)2)(4(1)3(
31
13
21
2
的特征值为所以的特征方程为解
A
A;
1
1
,
0
0
231
123
,2
21
2
1
1
i
pxx
x
x
取为所以对应的特征向量可可得由时当?
上页下页
,
1
1
,
0
0
11
11
0
0
431
143
`,4
221
2
1
2
1
2
pxx
x
x
x
x
取为所以对应的特征向量可解得即由时当?
.
,,
,
,)0(
,,
属于一个特征值也即一个特征向量只能特征向量绝不会相等不同的特征值所对应的反之征值唯一确定所以特征向量不能由特的特征向量也是对应于则的特征向量是对应于特征值若显然
ii
ii
kkp
p
上页下页
.
163
053
064
的特征值和特征向量求矩阵例
A
)2()1(
163
053
064
2
EA
A 的特征多项式为解
000
000
021
063
0153
0614
,0)(,1
21
EA
xEAA 由解方程时的特征值为
上页下页
1
0
0
,
0
1
2
21 pp得基础解系
.1
)0(
21
2
2
2
12211
的全部特征向量为对应于于是
kkpkpk
000
110
011
363
0253
0624
2
,0)2(,2
3
EA
xEA 由解方程时当?
上页下页
.2)0(
.
1
1
1
3333
3
的全部特征向量为对应于所以得基础解系
kpk
p
.,22 的特征值是证明的特征值是方阵设例 AA
.
,)(
,,0,
22
22
的特征值是所以于是使故有的特征值是因证
A
pApApApA
pAppA
上页下页
0
0)(
0
,,,
222111
2211
2211
21
mmm
mm
mm
m
pxpxpx
pxpxpxA
pxpxpx
xxx
即则使设有常数证
)1,,2,1(
0222111
mk
pxpxpx mmkmkk
类推有
.,,,
,,,,,
,,,3
21
21
21
线性无关则向量依次是与之对应的特征特征值个互不相同的的是方阵设定理
m
m
m
ppp
ppp
mA
上页下页
.
1
1
1
),,,(
,
1
1
22
1
11
2211
Opxpxpx
m
mm
m
m
mm
得写成矩阵形式
.,,,
.,,2,1,0,0,0
,),,,(
21
2211
线性无关所以向量组故但即于是有
m
iiii
mm
ppp
mixppx
Opxpxpx
.,该矩阵可逆各不相同时当 i?
范德蒙行列式上页下页
5.3 相似矩阵
,
)()(
,,,
1
111
1
EAPEAP
PEAPPEPAPPEB
BAPPPBA
故使即有可逆矩阵相似与因证
.,
,,7
1 是相似的与则称使如果存在一个可逆矩阵阶方阵是与设定义
BAAPPB
PnBA
.,
,4
的特征值相同与从而相同的特征多项式与则相似与阶方阵若定理
BA
BABAn
上页下页
.,,,
,),,,(
21
21
的特征值即是则相似与对角矩阵阶方阵若推论
A
d i a gAn
n
n
.,,,
,,
,,
,,,,
:5
21
21
1
21
n
n
n
A
ppp
APPP
pppnA
An
的特征值的对应元素依次是与此对角矩阵的主对角线而且为对角矩阵能使为列向量组的矩阵并且以它们个线性无关的特征向量有件是可对角化的充分必要条阶方阵定理
上页下页
.0,,
,
xxAxx
A
即为对应的特征向量复向量的特征值为实对称矩阵设复数证
xxxxxxAxAxAxx
xxxxAxx
xxAxxAxA
xx
')'()'()''('
'''
.)(
,,
及于是有则的共轭复向量表示的共轭复数表示用
n
i
n
i
iii xxxxxx
xx
1 1
2
.0',0
0')(,
所以但因得两式相减
定理 6 实对称矩阵的特征值都是实数。
上页下页
.,,0 是实数这表明即故
.
,,
0)(
,,
量的特征向量必可取实向即对应于从而必有实的基础解系是实系数线性方程组齐次线性方程组为实数时当特征值显然
i
i
i
xEA
.,0,
,0)(
,)(''
,''')'()'(
,,,,
212121
2121
21222121211
1111111
21222111
正交与即故但即于是故对称因证
pppp
pp
ppppApppp
ApApAppp
AAppApp
.,,
,,,7
2121
2121
正交与则若对应的特征向量是征值是实对称矩阵的两个特设定理
pp
pp
上页下页,3
.2
.1
:
,
,
每个列向量是单位向量任意两个列向量正交每个列向量是特征向量列向量组有三个要求的因此对组成个线性无关的特征向量的是由位向量组的列向量组是正交的单是正交矩阵，
TnA
TT
定理 8 设 A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵 T，使
.,,
21
2
1
1
的特征值是其中 A
ATT
n
n
上页下页
:1 如下为对角矩阵的具体步骤使求正交矩阵 ATTT?
.,,,21 nA的所有不同的特征值求出第一步
.,
,
:
1
ATT
T
n
n
即为所求的对角矩阵对角线元素的以相应的特征值作为主矩阵交阶方阵即为所求作的正作为列向量所得的个正交单位特征向量以上面求出的第三步
.,
7,
,,
0)(,
:
个正交的单位特征向量的如此可得向量正交知对应于不同特征再由定理基础解系正交规范化把此组正交化方法并且利用一个基础解系的即求出齐次线性方程组的特征向量的一组线性无关对应每个特征值求出第二步
nA
Sc h m i d t
EA
A
i
i
上页下页例 设
122
212
221
A 求正交矩阵 T，使
T-1AT为对角矩阵。
解 显然 A'=A。
故一定存在正交矩阵 T，使 T-1AT为对角矩阵。
先求 A的特征值
12 2
212
2 21
EA
12 5
215
2 2 5
上页下页
12 5
215
2 2 5
)1(2 0
2)1(0
2 2 1
)5(
2)1)(5(
5)(1 21,二重的特征值为A
0)(11 EA，求解齐次线性方程组对于?
000
000
111
122
212
221
EA
上页下页求得一基础解系为
1
0
1
,
0
1
1
21
正交化，令
1
21
21
0
1
1
2
1
1
0
1
,
,
0
1
1
1
11
21
2211?
再单位化，令
36
66
66
,
0
21
21
2
1
1
1
上页下页
0)5(52 EA，求解齐次线性方程组对于?
422
242
422
422
242
224
5 EA
000
110
211
000
660
422
求得一基础解系为
1
1
1
3?
只有一个向量，只要单位化，得
31
31
31
3
3
3
上页下页以正交单位向量组 为列向量的矩阵 T 就是所求的正交矩阵。
321,,
31360
316121
316121
),,( 321T
有
500
010
001
1 ATT
上页下页
§ 4 化二次型为标准型
ijjijiijjiijjiij xxaxxaxxajiaa 2),( 则取二次型写成对称形式定义 8 n元变量 的二次齐次多项式
nxxx,,,21?
nnnnnn
nnnn
xxaxxaxxaxxa
xaxaxaxxxf
1,13223112112
22
222
2
11121
2222
),,,(
称为二次型。
ija
ija
f
f
当 为复数时,称为复二次型，
为实数时 称为实二次型。
上页下页
n
ji
jiijnnnnnnnnn
nn
xxaxaxxaxxaxxa
xaxxaxxaxxaxaf
1,
2
221122
2
2221221112112
2
111
记
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
n
x
x
x
x
2
1
Axx
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxaf
nnnnn
n
n
n
ji
jiij
2
1
21
22221
11211
1,?
其中 A为实对称矩阵。
上页下页说明经可逆变换 x=Cy后,二次型 f 的矩阵 A变为对称矩阵 C'AC,且二次型的秩不变,矩阵的合同关系与相似关系一样,都满足反身性,对称性,传递性,
证 因 A'= A,故 B'=(C'A C)'= C'A'C = C'AC = B即 B为对称矩阵,
又因为 B = C'AC,而 C'与 C均为可逆矩阵,故 A与 B等价,于是 R(B)=R(A).
定理 9 任给可逆矩阵 C,令 B= C'AC,如果 A为对称矩阵,
则 B亦为对称矩阵,且 R(B)=R(A),此时,也称 A与 B合同,
上页下页要使二次型 f 经可逆变换 x=Cy变成标准形,这就是要使
,),,,(
''
2
1
2
1
21
2
1
2
21
2
11
nn
n
n
y
y
y
k
k
k
yyy
ykykykACyCy
也就是要使 C'AC成为对角矩阵。
上页下页
.
222222
,
434142323121
化为标准形把二次型求一个正交变换例
xxxxxxxxxxxxf
Tyx
的矩阵是解 f:
,
0111
1011
1101
1110
A
.)(,,
,
,,10
21
22
22
2
11
1,
的特征值的矩阵是其中化成标准形使总有正交变换任给二次型定理
ijn
nn
n
ji
jiij
aAf
yyyff
Tyxxxaf
上页下页
1
0
0
1
,
0
1
0
1
,
0
0
1
1
321
求得一组基础解系
).3()1(
111
111
111
111
3
EA
,
0000
0000
0000
1111
1111
1111
1111
1111
.3),(1
21
EA
A 三重的全部特征值为于是上页下页
.
10
13
1
0
0
1
1
2
1
1
0
0
1
],[
],[
],[
],[
0
1
0
0
1
1
2
1
0
1
0
1
],[
],[
0
0
1
1
3
1
3
1
3
1
2
1
2
1
2
22
32
1
11
31
33
2
1
2
1
1
11
21
2211
,令
.,
0
,
0
0
2
3
6
3
6
3
6
3
3
3
3
3
6
6
6
6
6
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
上页下页
0000
1100
1010
3111
3111
1311
1131
1113
3
,0)3(,3
2
EA
xEA 由解齐次线性方程组对于?
.,
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
4
44
令求得一组基础解系为上页下页
2
4
2
3
2
2
2
1 3)'(''
,
yyyyyATTyAxxf
Tyx
则可得再令
,
00
0
),,,(
2
1
2
3
2
1
6
3
3
6
2
1
6
3
6
6
2
2
2
1
6
3
6
6
2
2
4321
T
取正交矩阵上页下页
.,
622 323121
并求所用的变换矩阵成标准形化二次型例 xxxxxxf
,
,
,
,,:
33
212
211
21
yx
yyx
yyx
xxf
故令乘积项由于含有中不含平方项在解
,
,2
,
,2
,
33
322
311
33
322
211
zy
zzy
zzy
yz
yyz
yyz
即故令
2
3
2
32
2
21
3231
2
2
2
1
6)2(2)(2,
8422
yyyyyf
yyyyyyf
得再配方代入可得上页下页所有变换矩阵为即有,622 232221 zzzf
).02(
100
111
311
100
210
101
100
011
011
CC
.
)).(())((')),(())(('),,(),('
,
21 sEEEC
kjiEkjiEkiEkiEjiEjiE
记易见关于初等矩阵
).,,,('''
,,,,
,11
212112
21
nSS
S
ddddi agEEAEEEE
EEE
A
使得阵一定存在一系列初等矩对实对称矩阵定理上页下页
。就得到变换矩阵于单位阵初等列变换施加而相应地将这一系列的得到对角矩阵初等行、列变换同时施行一系列同类的对定理表明
C
A
,
,
,:
.
,,
,,,2
,
初等变换法这就是换矩阵把单位阵化成了可逆变成对角形的同时化把列变换对此矩阵作相同的行矩阵形成一个的下面放在二次型的矩阵阶单位阵其具体做法是将
C
Ann
AEn
上页下页
.62252 323121232221 化为标准型用初等变换法将例
xxxxxxxxxf
,
531
321
111
:
Af 的矩阵二次型解
100
010
111
420
210
001
100
010
001
531
321
111
E
A
100
210
111
000
010
001
上页下页
2
2
2
1,
100
210
111
yyfyx
则故令
100
210
111
000
010
001
E
A
上页下页
5.5 正定二次型
.
,,,,,,
)0(
)0(
,,
,
,')(12
2121
22
22
2
11
22
22
2
11
正数的个数相同中中正数的个数与则及使及变换有两个实的非退化线性它的秩为设有二次型惯性定理定理
rr
irr
irr
kkk
zzzf
kykykykf
PzxCxx
r
Axxf
上页下页
.,
2,
,
,),,,(9
21
的秩为二次型这里符号差称为称为负惯性指数的平方项的个数系数为负指数称为此二次型的正惯性平方项的个数系数为正的的标准型中二次型定义
fr
rpspr
p
xxxf
n
.
'13
n
Axxf
是它的正惯性指数等于要条件为正定二次型的充分必定理?
.,
,0)(,0;
,],0)0([0)(
,0,')(10
为负定矩阵其矩阵二次型为负定则称都有如果对任何正定矩阵为称为正定二次型则称显然都有如果对任何设有二次型定义
A
fxfx
Affxf
xAxxxf
推论 对称矩阵 A正定当且仅当 A的特征值全为正,
上页下页
.,,2,1,0)1(
:,)(
,)(
.,,2,1,0:,
)(14
21
22221
11211
21
22221
11211
nr
aaa
aaa
aaa
AA
nr
aaa
aaa
aaa
AA
rrrr
r
r
r
rrrr
r
r
即主子式为正顺序偶数阶主子式为负顺序的奇数阶负定当且仅当对称矩阵即主子式全为正顺序的各阶正定当且仅当对称矩阵定理上页下页
.
100
032
023
),,(),,(
3
2
1
321321
的正定性判定例
x
x
x
xxxxxxf
.,
,13.5,1,1
),5()1(,2
为正定二次型从而为正定矩阵之推论知根据定理的特征值为得由解
fA
A
EA
上页下页
.,
,42244 323121232221
为正定二次型取何值时问设例
f
xxxxxxxxxf
.
421
24
11
:
Af 的矩阵解
),2)(1(4,4,01 2
2221
1211
11 Aaa
aaa由
.12
0)2)(1(4
,04
12
2
正定时所给二次型即当知根据定理
f
上页下页
.题究多变量函数的极值问利用二次型的正定性研
Rxxxf
x
x
x
x
x
x
xxxf
x
x
x
x
x
x
xxxfxxxxxxf
T ay l or
xxxpxxxfn
n
n
n
n
n
n
nnn
nn
),,,()(
!2
1
),,,()(
),,,(),,(
,
),,,(),,,(
00
2
0
1
2
2
2
1
1
00
2
0
1
2
2
1
1
00
2
0
1
0
2
0
21
0
1
00
2
0
1021
公式得由多元函数的偏导数某个领域内有二阶连续的在元函数设
,'
2
1
')()( 00 RAxxxPfPPf
简写为矩阵表达式上页下页
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
12
2
1
2
21
2
2
1
2
2
1
,,
),,,,()(
),,,,()(
2
1
0
2
0
21
0
10
00
2
0
10
n
nn
n
n
n x
f
xx
f
xx
f
xx
f
x
f
xx
f
xx
f
xx
f
x
f
x
f
x
f
x
f
n
nn
n
A
x
x
x
x
xxxxxxfPPf
xxxfPf
其中
.为实对称矩阵显然 A
.,,2,1,0
,)(
0
0
ni
x
f
PPf
Pi
即为零向量处有极值的必要条件是在函数?
上页下页
.')()(
,,
2
1
00
0
RAxxPfPPf
P
有为驻点点在此条件下
.'
,),,2,1(
来决定由二次型上式右端正负号完全足够小时当
Axx
nix i
.,')3(
.,')2(
.,')1(
,
0
0
0
不是极值点为不定时当的一个极大值点为为负定时当的一个极小值点为为正定时当则故若这二次型的秩为
PAxx
fPAxx
fPAxx
n
.
,,' 0
R
PfnAxx
还需研究余项的性态在点要决定时的秩小于当上页下页
.,)3(;,)2(;,)1(
,2)(
,
,,,
,0
,,2
0
0
0
2
2
2
21
2
2
1
2
21
0
0
0
0
00
的极值点不是不定时当的一个极大值点为负定时当的一个极小值点为正定时当有时于是当得记即若有极值的充分条件就得到二元函数在时当
fPAxx
fPAxx
fPAxx
AR
cb
ba
A
x
f
c
xx
f
b
x
f
a
x
f
x
f
Pn
P
P
P
PP
上页下页,)(,0
,
63
36
,
222
22
为极大值故为负定且有处在
PfAA
AP
.3),( 33 的极值求函数例 yxxyyxf
)1,1(),0,0(
033
033
,21
2
2
PP
yx
y
f
xy
x
f
得驻点解方程组解
.)(,0,
03
30
,6,3,6
11111
2
22
2
2
非极值故为不定且处有所以在又因为
PfAAAP
y
y
f
yx
f
x
x
f
