上页下页第二章矩 阵上页下页
§ 1 矩阵的定义定义 1 给出 m?n个数,排成 m行 n列的矩形数表
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
此数表叫做 m行 n列矩阵,简称 m?n矩阵 。
记为
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211 亦记为 A=(a
ij) mn,
或 A=(aij)或 A=Amn
上页下页如果矩阵 A的元素 aij全为实 (复 )数,就称 A为 实 (复 )数矩阵 。
只有一行的矩阵 A=(a1 a2,.,an)叫做 行矩阵,
行矩阵也记作 A=(a1,a2,...,an)。
只有一列的矩阵
m
b
b
b
B
2
1
叫做 列矩阵 。
两个矩阵的行数相等,列数也相等,就称它们是 同型矩阵 。
元素都是零的矩阵称为 零矩阵,记作 O。
上页下页方阵
100
010
001
n
E
叫做 n阶单位阵,简记作 En 。
特点,从左上角到右下角的直线 (主对角线 )上的元素都是 1,其他元素都是 0。
上页下页如变量 y1,y2,...,yn可由变量 x1,x2,...,xn线性表示,即
,
,
,
2211
22221212
12121111
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
称由变量 x1,x2,...,xn到变量 y1,y2,...,ym的变换为 线性变换 。
它的系数构成一矩阵 (aij) m? n(称为系数矩阵 )是确定的。
上页下页例 线性变换
.
,
,
222
111
nnn
xy
xy
xy
对应 n阶矩阵
n
A
00
00
00
2
1
这个方阵的 特点,不在对角线上的元素全为 0,这种方阵称为 对角阵,当?1 =?2 =,..=?n=?时,A称为 数量矩阵 。
上页下页
§ 2 矩阵的运算一,矩阵的加法定义 2 设有两个 m?n矩阵 A=(aij),B=(bij),那么 A与 B的和记为 A+B,规定为
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
2211
2222222121
1112121111
注意,只有当 两个矩阵同型 时,才能进行加法运算。
加法满足运算规律,
(1) A+B= B + A; (交换律 )
(2) (A + B)+C= A +(B +C),(结合律 )
上页下页二,数与矩阵相乘定义 3 数?与矩阵 A的乘积记做?A,规定为
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
数乘矩阵满足 运算规律,
)())(1( AA
AAA ))(2(
BABA )()3(
上页下页设矩阵 A=(aij),记 -A =(-1)A=(-1aij)= (-aij),-A称为 A的负矩阵,显然有
A+(-A)=O.
其中 O为各元素均为 0的同型矩阵,
由此规定 A-B=A+(-B).
上页下页三,矩阵与矩阵相乘定义 4 设 A=(aij) m?s,B=(bij) s?n那么规定矩阵 A与 B的乘积是 C=(cij) m? n,
其中?
s
k
kjiksjisjijiij babababac
1
2211?
并把此乘积记作 C=AB。
行矩阵与列矩阵相乘
)(,,,
2211
2
1
21 sjisjiji
sj
j
j
isii
bababa
b
b
b
aaa?
注意,只有当第一矩阵（左矩阵）的列数与第二矩阵
（右矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘。
上页下页例
cbaA
000
0
0
0
1
1
1
c
b
a
B
求,AB和 BA。
解：
0
00
111 ccbbaa
AB
000
000
000
BA
表明矩阵乘法不满足交换律。
上页下页矩阵的乘法满足运算律：
)()()1( BCACAB?结合律
CABAACB
ACABCBA
)(
)()2(
右分配律左分配律
BAAB )()()3(
对于单位矩阵，有
nmnnmnmnmm AEAAAE,
一般称
n
n AAAA
为方阵的 n次幂。
规定； EA?0
上页下页四、矩阵的转置定义 5 把矩阵 A的行换成同序数的列,得到的新矩阵称为 A的 转置矩阵,记作 A' 。
cbaA
000
c
b
a
A
0
0
0
满足运算律：
AA))(1(
BABA ))(2(
AA ))(3(
nn AAABAB )()(,))(4(
上页下页
nnijnmij
nsijsmij
dDABcCAB
bBaA
)(,)(
,)(,)(
记设有?
s
k
kijkij bac
1
s
k
kijkjk
s
k
ki
js
j
j
siiiij
baab
a
a
a
bbbd
11
2
1
21
),,,(
所以 ),2,1;,,2,1( mjnicd
jiij
ABABDC )'(,或即上页下页设 A为 n阶方阵,若 A'=A,即
aij= aji (i,j=1,2,…,n),
那么,A称为 对称矩阵 ;
若 A'=-A,即
aij=- aji (i,j=1,2,…,n),
那么,A称为 反对称矩阵 。
对称矩阵的特点 是,
它的元素以主对角线为对称轴对应相等 。
反对称矩阵的特点 是,
以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等,符号相反,且主对角线上各元素均为 0 。
上页下页五、方阵的行列式定义 6 由 n阶方阵 A的元素构成的行列式 (各元素位置不变 ),称为 方阵 A的行列式,记作 |A|或 detA 。
设 A,B为 n阶方阵,?为实数,则有下列等式成立
AA n)2(
AA)1(
BAAB)3(
上页下页若 A为方阵,行列式的各元素的代数余子式 Aij亦可构成如下方阵
,
21
22212
12111
*
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
称为 A的伴随矩阵 。
EAAAAA **
定义 7 矩阵的初等行变换是指,
1.交换两行的位置；
2.把某一行乘以一个非零常数 ;
3.把某一行的倍数加到另一行。
上页下页
§ 3 矩阵的逆定义 8 设 A为 n阶方阵,若?A?=0,则称 A为 奇异矩阵 ;
否则,A为 非奇异矩阵 。
定义 9 对于 n阶方阵 A,如果有一个 n阶方阵 B,满足
AB=BA=E,
则称 方阵 A可逆,且把方阵 B称为 A的 逆矩阵 。
如果 A是可逆的,则 A的逆矩阵唯一 。
设 B,C都是 A的逆矩阵,则一定有
B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.
A的逆矩阵记作 A-1,即若 AB=BA=E,则 B=A-1 。
上页下页定理 1 设 A是 n阶方阵,A是非奇异矩阵的充分必要条件为 A是可逆的,
证 先证必要性 。
设 A为非奇异矩阵,设 A的伴随矩阵为 A*,则有
EAAAAA **
0?A因为
EAA
A
A
A
A )1()1( **有 *1
1 A
AA?
说明 A是可逆的。
上页下页证充分性。
由于 A是可逆的,即有 A -1,使 A -1 A = E
11 EAA故 11 AA 0?A
说明 A是非奇异矩阵。
设 A,B均为同阶可逆方阵,数0,下列运算法成立：
AAA 111 )(,)1( 且亦可逆
111 1)(,)2( AAA
且亦可逆
111)(,)3( ABABAB 且亦可逆
nn AAAABA )()(,)()(,112112 一般有则若
)()(,)4( 11 AAA 且亦可逆上页下页例 求方阵
631
321
222
A 的逆矩阵。
解 因为 02A
所以 A-1存在,先求 A的伴随矩阵 A*
A11=3,A12=-3,A13=1,
A21=-6,A22=10,A23=-4,
A31=2,A32=-4,A33=2?
241
4103
263
*A
241
4103
263
2
11 *1
A
A
A
上页下页
§ 4 矩阵的分块定义 将矩阵 A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每个小矩阵称为 A的子块,以子块为元素的矩阵称为 分块矩阵 。
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
A
列举三种分块形式：
34333231
24232221
14131211
)1(
aaaa
aaaa
aaaa
2221
1211
AA
AAA
上页下页
34333231
24232221
14131211
)2(
aaaa
aaaa
aaaa
34333231
24232221
14131211
)3(
aaaa
aaaa
aaaa
分块矩阵的运算法则,
(1)矩阵 A与 B为同型矩阵,采用同样的分块法,有
srss
r
r
srss
r
r
BBB
BBB
BBB
B
AAA
AAA
AAA
A
21
22221
11211
21
22221
11211
,
srsrssss
rr
rr
BABABA
BABABA
BABABA
BA
2211
2222222121
1112121111
上页下页
(2)A为 m?l矩阵,B为 l?n矩阵,将 A,B分成
trt
r
sts
t
AA
BB
B
AA
AA
A
1
111
1
111
,
其中 Ai1,Ai2…,A it的列数分别等于 B1j,B2j,…,B ij的行数,
则有
srs
r
CC
CC
AB
1
111
),...,2,1;,...,2,1(
1
rjsiBAC
t
k
kjikij
其中上页下页
,
0211
1401
1021
0101
,
1011
0121
0010
0001
BA
例求 AB.
解 A,B分块成
EA
E
A
1
0
1011
0121
0010
0001
2221
11
0211
1401
1021
0101
BB
EB
B
上页下页
22121111
11
2221
11
1
0
BABBA
EB
BB
EB
EA
EAB
11
42
21
01
20
43
11
01
21
01
11
21
21111 BBA
13
33
02
14
11
21
221 BA
.
1311
3342
1021
0101
AB
上页下页
(3)设
srss
r
r
AAA
AAA
AAA
A
21
22221
11211 则
srrr
s
s
AAA
AAA
AAA
A
21
22212
12111
(4)设方阵 A的分块矩阵为
mA
A
A
A
0
02
1
除主对角线上的子块不为零子块外,其余子块都为零矩阵,且 Ai(i=1,2,…,m )为方阵,则 A称为 分块对角矩阵 (或 准对角矩阵 ),
准对角矩阵的行列式为 mAAAA?21d e t?
上页下页若有与 A同阶的准对角矩阵
mB
B
B
B
0
02
1
其中 Ai与 Bi (i=1,2,…,m )亦为同阶矩阵,则有
mm BA
BA
BA
AB
0
022
11
若 A可逆,则有
1
1
2
1
1
1
0
0
mA
A
A
A
上页下页
,
120
130
005
A 求 A-1,
例 设解
32
11,
12
13;
5
1),5( 1
22
1
1 AAAA
2
1
0
0
120
130
005
A
A
A
.
320
110
00
5
1
1
A
§ 1 矩阵的定义定义 1 给出 m?n个数,排成 m行 n列的矩形数表
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
此数表叫做 m行 n列矩阵,简称 m?n矩阵 。
记为
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211 亦记为 A=(a
ij) mn,
或 A=(aij)或 A=Amn
上页下页如果矩阵 A的元素 aij全为实 (复 )数,就称 A为 实 (复 )数矩阵 。
只有一行的矩阵 A=(a1 a2,.,an)叫做 行矩阵,
行矩阵也记作 A=(a1,a2,...,an)。
只有一列的矩阵
m
b
b
b
B
2
1
叫做 列矩阵 。
两个矩阵的行数相等,列数也相等,就称它们是 同型矩阵 。
元素都是零的矩阵称为 零矩阵,记作 O。
上页下页方阵
100
010
001
n
E
叫做 n阶单位阵,简记作 En 。
特点,从左上角到右下角的直线 (主对角线 )上的元素都是 1,其他元素都是 0。
上页下页如变量 y1,y2,...,yn可由变量 x1,x2,...,xn线性表示,即
,
,
,
2211
22221212
12121111
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
称由变量 x1,x2,...,xn到变量 y1,y2,...,ym的变换为 线性变换 。
它的系数构成一矩阵 (aij) m? n(称为系数矩阵 )是确定的。
上页下页例 线性变换
.
,
,
222
111
nnn
xy
xy
xy
对应 n阶矩阵
n
A
00
00
00
2
1
这个方阵的 特点,不在对角线上的元素全为 0,这种方阵称为 对角阵,当?1 =?2 =,..=?n=?时,A称为 数量矩阵 。
上页下页
§ 2 矩阵的运算一,矩阵的加法定义 2 设有两个 m?n矩阵 A=(aij),B=(bij),那么 A与 B的和记为 A+B,规定为
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
2211
2222222121
1112121111
注意,只有当 两个矩阵同型 时,才能进行加法运算。
加法满足运算规律,
(1) A+B= B + A; (交换律 )
(2) (A + B)+C= A +(B +C),(结合律 )
上页下页二,数与矩阵相乘定义 3 数?与矩阵 A的乘积记做?A,规定为
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
数乘矩阵满足 运算规律,
)())(1( AA
AAA ))(2(
BABA )()3(
上页下页设矩阵 A=(aij),记 -A =(-1)A=(-1aij)= (-aij),-A称为 A的负矩阵,显然有
A+(-A)=O.
其中 O为各元素均为 0的同型矩阵,
由此规定 A-B=A+(-B).
上页下页三,矩阵与矩阵相乘定义 4 设 A=(aij) m?s,B=(bij) s?n那么规定矩阵 A与 B的乘积是 C=(cij) m? n,
其中?
s
k
kjiksjisjijiij babababac
1
2211?
并把此乘积记作 C=AB。
行矩阵与列矩阵相乘
)(,,,
2211
2
1
21 sjisjiji
sj
j
j
isii
bababa
b
b
b
aaa?
注意,只有当第一矩阵（左矩阵）的列数与第二矩阵
（右矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘。
上页下页例
cbaA
000
0
0
0
1
1
1
c
b
a
B
求,AB和 BA。
解：
0
00
111 ccbbaa
AB
000
000
000
BA
表明矩阵乘法不满足交换律。
上页下页矩阵的乘法满足运算律：
)()()1( BCACAB?结合律
CABAACB
ACABCBA
)(
)()2(
右分配律左分配律
BAAB )()()3(
对于单位矩阵，有
nmnnmnmnmm AEAAAE,
一般称
n
n AAAA
为方阵的 n次幂。
规定； EA?0
上页下页四、矩阵的转置定义 5 把矩阵 A的行换成同序数的列,得到的新矩阵称为 A的 转置矩阵,记作 A' 。
cbaA
000
c
b
a
A
0
0
0
满足运算律：
AA))(1(
BABA ))(2(
AA ))(3(
nn AAABAB )()(,))(4(
上页下页
nnijnmij
nsijsmij
dDABcCAB
bBaA
)(,)(
,)(,)(
记设有?
s
k
kijkij bac
1
s
k
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s
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j
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baab
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11
2
1
21
),,,(
所以 ),2,1;,,2,1( mjnicd
jiij
ABABDC )'(,或即上页下页设 A为 n阶方阵,若 A'=A,即
aij= aji (i,j=1,2,…,n),
那么,A称为 对称矩阵 ;
若 A'=-A,即
aij=- aji (i,j=1,2,…,n),
那么,A称为 反对称矩阵 。
对称矩阵的特点 是,
它的元素以主对角线为对称轴对应相等 。
反对称矩阵的特点 是,
以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等,符号相反,且主对角线上各元素均为 0 。
上页下页五、方阵的行列式定义 6 由 n阶方阵 A的元素构成的行列式 (各元素位置不变 ),称为 方阵 A的行列式,记作 |A|或 detA 。
设 A,B为 n阶方阵,?为实数,则有下列等式成立
AA n)2(
AA)1(
BAAB)3(
上页下页若 A为方阵,行列式的各元素的代数余子式 Aij亦可构成如下方阵
,
21
22212
12111
*
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
称为 A的伴随矩阵 。
EAAAAA **
定义 7 矩阵的初等行变换是指,
1.交换两行的位置；
2.把某一行乘以一个非零常数 ;
3.把某一行的倍数加到另一行。
上页下页
§ 3 矩阵的逆定义 8 设 A为 n阶方阵,若?A?=0,则称 A为 奇异矩阵 ;
否则,A为 非奇异矩阵 。
定义 9 对于 n阶方阵 A,如果有一个 n阶方阵 B,满足
AB=BA=E,
则称 方阵 A可逆,且把方阵 B称为 A的 逆矩阵 。
如果 A是可逆的,则 A的逆矩阵唯一 。
设 B,C都是 A的逆矩阵,则一定有
B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.
A的逆矩阵记作 A-1,即若 AB=BA=E,则 B=A-1 。
上页下页定理 1 设 A是 n阶方阵,A是非奇异矩阵的充分必要条件为 A是可逆的,
证 先证必要性 。
设 A为非奇异矩阵,设 A的伴随矩阵为 A*,则有
EAAAAA **
0?A因为
EAA
A
A
A
A )1()1( **有 *1
1 A
AA?
说明 A是可逆的。
上页下页证充分性。
由于 A是可逆的,即有 A -1,使 A -1 A = E
11 EAA故 11 AA 0?A
说明 A是非奇异矩阵。
设 A,B均为同阶可逆方阵,数0,下列运算法成立：
AAA 111 )(,)1( 且亦可逆
111 1)(,)2( AAA
且亦可逆
111)(,)3( ABABAB 且亦可逆
nn AAAABA )()(,)()(,112112 一般有则若
)()(,)4( 11 AAA 且亦可逆上页下页例 求方阵
631
321
222
A 的逆矩阵。
解 因为 02A
所以 A-1存在,先求 A的伴随矩阵 A*
A11=3,A12=-3,A13=1,
A21=-6,A22=10,A23=-4,
A31=2,A32=-4,A33=2?
241
4103
263
*A
241
4103
263
2
11 *1
A
A
A
上页下页
§ 4 矩阵的分块定义 将矩阵 A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每个小矩阵称为 A的子块,以子块为元素的矩阵称为 分块矩阵 。
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
A
列举三种分块形式：
34333231
24232221
14131211
)1(
aaaa
aaaa
aaaa
2221
1211
AA
AAA
上页下页
34333231
24232221
14131211
)2(
aaaa
aaaa
aaaa
34333231
24232221
14131211
)3(
aaaa
aaaa
aaaa
分块矩阵的运算法则,
(1)矩阵 A与 B为同型矩阵,采用同样的分块法,有
srss
r
r
srss
r
r
BBB
BBB
BBB
B
AAA
AAA
AAA
A
21
22221
11211
21
22221
11211
,
srsrssss
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BABABA
BABABA
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2211
2222222121
1112121111
上页下页
(2)A为 m?l矩阵,B为 l?n矩阵,将 A,B分成
trt
r
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t
AA
BB
B
AA
AA
A
1
111
1
111
,
其中 Ai1,Ai2…,A it的列数分别等于 B1j,B2j,…,B ij的行数,
则有
srs
r
CC
CC
AB
1
111
),...,2,1;,...,2,1(
1
rjsiBAC
t
k
kjikij
其中上页下页
,
0211
1401
1021
0101
,
1011
0121
0010
0001
BA
例求 AB.
解 A,B分块成
EA
E
A
1
0
1011
0121
0010
0001
2221
11
0211
1401
1021
0101
BB
EB
B
上页下页
22121111
11
2221
11
1
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BABBA
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BB
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11
42
21
01
20
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11
01
21
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11
21
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13
33
02
14
11
21
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.
1311
3342
1021
0101
AB
上页下页
(3)设
srss
r
r
AAA
AAA
AAA
A
21
22221
11211 则
srrr
s
s
AAA
AAA
AAA
A
21
22212
12111
(4)设方阵 A的分块矩阵为
mA
A
A
A
0
02
1
除主对角线上的子块不为零子块外,其余子块都为零矩阵,且 Ai(i=1,2,…,m )为方阵,则 A称为 分块对角矩阵 (或 准对角矩阵 ),
准对角矩阵的行列式为 mAAAA?21d e t?
上页下页若有与 A同阶的准对角矩阵
mB
B
B
B
0
02
1
其中 Ai与 Bi (i=1,2,…,m )亦为同阶矩阵,则有
mm BA
BA
BA
AB
0
022
11
若 A可逆,则有
1
1
2
1
1
1
0
0
mA
A
A
A
上页下页
,
120
130
005
A 求 A-1,
例 设解
32
11,
12
13;
5
1),5( 1
22
1
1 AAAA
2
1
0
0
120
130
005
A
A
A
.
320
110
00
5
1
1
A
