上页下页线性方程组第四章上页下页
§ 1 消元法定理 1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组 。
定义 1 线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方程组的 系数矩阵,把系数及常数所组成的矩阵叫做 增广矩阵 。
设线性方程组
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
上页下页系数矩阵是
aaa
aaa
aaa
mnmm
n
n
A
...
......,.....
...
...
21
22221
11211
增广矩阵是
b
b
b
aaa
aaa
aaa
mmnmm
n
n
B 2
1
21
22221
11211
...
....,...,.,.
...
...
对一个方程组实行消元法求解,即对方程组实行了初等变换,相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初等变换。而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵。
上页下页例 解线性方程组
.25
3
4
2
,33
3
5
,1
3
1
2
1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解 增广矩阵是
25
3
4
2
33
3
5
1
11
3
1
2
1
B 交换矩阵第一行与第二行,再把第一行分别乘以 (-1/2)和 (-2)加到第二行和第三行,再把第二行乘以 (-2)得上页下页
4120
1110
33
3
5
1
1B
在 B1中将第二行乘以 2加到第三行得?
2100
1110
33
3
5
1
2
B
相应的方程组变为三角形 (阶梯形 )方程组,
2
1
33
3
5
3
32
321
x
xx
xxx
回代得 x3=-2,x2=3,x1=4
上页下页
§ 2 线性方程组有解判别定理定理 2 设 A是一个 m行 n列矩阵
mmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
....,.,.,.,.
...
...
21
22221
11211
通过矩阵的行初等变换能把 A化为以下形式
00
00
1000
0010
0001
1,
21,2
11,1
mrr
nr
nr
CC
CC
CC
nr
mr
r
,
,0
上页下页由定理 2,我们可以把线性方程组的增广矩阵进行初等变换化为,
m
r
rrnr
n
n
d
d
dcrc
dcrc
dcrc
0.........,...............0
....................................
0.......................0
...1,1...00
........................
...1,0...10
...1,0...01
1
222
111
与之相应的线性方程组为上页下页
m
r
rnrnrrrr
nnrr
nnrr
d
d
dxcxcx
dxcxcx
dxcxcx
0
0
1
11,
2211,22
1111,11
其解与原方程组相同。
(1)若 dr+1,dr+2,…,d m中有一个不为 0,方程组无解,
那么原方程组也无解
(2)若 dr+1,dr+2,…,d m全为 0,则方程组有解,那么原方程组也有解,
上页下页定理 3 (线性方程组有解的判别定理 )线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有 相同的秩 r。
(1)当 r等于方程组所含未知量个数 n时,
方程组有唯一的解 ;
(2)当 r<n时,方程组有无穷多解。
线性方程组无解的充分必要条件 是系数矩阵 A的秩与增广矩阵 B的秩不相等。
在方程组有无穷多解的情况下,方程组有 n-r个自由未知量,其解为 nrnrrrrr
nnrr
nnrr
xcxcdx
xcxcdx
xcxcdx
11,
211,222
111,111
上页下页其中 xr+1,xr+2,…,x n是自由未知量,若给一组数
l1,l2,…,l n-r就得到方程组的一组解
rnn
r
r
rnrnrrrr
rnnr
rnnr
lx
lx
lx
lclcdx
lclcdx
lclcdx
22
11
11,
211,222
111,111
上页下页例 研究线性方程组
154
33223
242
13
431
4321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
解 写出增广矩阵
15401
33223
24112
11311
B
对 B进行初等行变化可化为
20000
00000
06710
11311
系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等,所以方程组无解。
上页下页
§ 3 线性方程组解的结构定义 2 若一个线性方程组的常数项都等于 0,那么这个线性方程组叫做 齐次线性方程组,
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
定理 4 一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是,它的系数矩阵的秩 r小于它的未知量的个数 n,
上页下页
r,,21
(1) 线性无关 ;
r,,21
(2)方程组的任意一个解向量都能由线性表出,则 称为齐次线性方程组的 基础解系,
r,,21
定理 5 齐次线性方程组若有非零解，则它一定有基础解系，且基础解系所含解向量的个数等于 n-r，
其中 r是系数矩阵的秩。
推论 （ 齐次线性方程组解的结构定理 ） 齐次线性方程组若有非零解，，则它的通解就是基础解系的线性组合。
定义 3 设 是齐次线性方程组的 r个解向量,如果满足下列条件,
r,,,21?
上页下页例 解齐次线性方程组
.022
,0
,0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解 齐次线性方程组的系数矩阵为
2211
1111
1111
A
对 A进行行初等变换，得
3300
2200
1111
A
3300
1100
1111
0000
1100
1111
上页下页
0000
1100
1111
0000
1100
0011
由此可以看出,r＝ 2<4，故有非零解,
其对应的方程组是
.0
,0
43
21
xx
xx
1
0,
0
1
4
1
x
x令
1
0,
0
1
3
2
x
x得基础解系为
1
1
0
0
,
0
0
1
1
21
方程组的通解为
2211 ccx
上页下页定理 6 （ 非齐次线性方程组解的结构定理 ）如果非齐次线性方程组有解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一个特解与其导出方程组的解之和。
例 试求
,151011654
,92782
,3423
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
的全部解。
解 对增广矩阵进行行初等变换
151011654
927812
342131
3631070
3631070
342131
上页下页
3631070
3631070
342131
000000
3631070
342131
000000
7
3
7
6
7
3
7
10
10
342131
000000
7
3
7
6
7
3
7
10
10
7
30
7
10
7
23
7
23
01
系数矩阵与增广矩阵的秩都是 2，故有解。
对应的齐次线性方程的基础解系（去掉常数列）为
0
0
1
7
10
7
23
1
0
1
0
7
3
7
23
2
1
0
0
7
6
7
10
3
上页下页令 x3＝ x4＝ x5＝ 0，得齐次线性方程组的一个特解为
(30/7,-3/7,0,0,0)'(不能忽略常数列 )，于是它的全部解为
332211
0
0
0
7
3
7
30
kkkx
其中 k1,k2,k3，为任意实数。
§ 1 消元法定理 1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组 。
定义 1 线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方程组的 系数矩阵,把系数及常数所组成的矩阵叫做 增广矩阵 。
设线性方程组
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
上页下页系数矩阵是
aaa
aaa
aaa
mnmm
n
n
A
...
......,.....
...
...
21
22221
11211
增广矩阵是
b
b
b
aaa
aaa
aaa
mmnmm
n
n
B 2
1
21
22221
11211
...
....,...,.,.
...
...
对一个方程组实行消元法求解,即对方程组实行了初等变换,相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初等变换。而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵。
上页下页例 解线性方程组
.25
3
4
2
,33
3
5
,1
3
1
2
1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解 增广矩阵是
25
3
4
2
33
3
5
1
11
3
1
2
1
B 交换矩阵第一行与第二行,再把第一行分别乘以 (-1/2)和 (-2)加到第二行和第三行,再把第二行乘以 (-2)得上页下页
4120
1110
33
3
5
1
1B
在 B1中将第二行乘以 2加到第三行得?
2100
1110
33
3
5
1
2
B
相应的方程组变为三角形 (阶梯形 )方程组,
2
1
33
3
5
3
32
321
x
xx
xxx
回代得 x3=-2,x2=3,x1=4
上页下页
§ 2 线性方程组有解判别定理定理 2 设 A是一个 m行 n列矩阵
mmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
....,.,.,.,.
...
...
21
22221
11211
通过矩阵的行初等变换能把 A化为以下形式
00
00
1000
0010
0001
1,
21,2
11,1
mrr
nr
nr
CC
CC
CC
nr
mr
r
,
,0
上页下页由定理 2,我们可以把线性方程组的增广矩阵进行初等变换化为,
m
r
rrnr
n
n
d
d
dcrc
dcrc
dcrc
0.........,...............0
....................................
0.......................0
...1,1...00
........................
...1,0...10
...1,0...01
1
222
111
与之相应的线性方程组为上页下页
m
r
rnrnrrrr
nnrr
nnrr
d
d
dxcxcx
dxcxcx
dxcxcx
0
0
1
11,
2211,22
1111,11
其解与原方程组相同。
(1)若 dr+1,dr+2,…,d m中有一个不为 0,方程组无解,
那么原方程组也无解
(2)若 dr+1,dr+2,…,d m全为 0,则方程组有解,那么原方程组也有解,
上页下页定理 3 (线性方程组有解的判别定理 )线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有 相同的秩 r。
(1)当 r等于方程组所含未知量个数 n时,
方程组有唯一的解 ;
(2)当 r<n时,方程组有无穷多解。
线性方程组无解的充分必要条件 是系数矩阵 A的秩与增广矩阵 B的秩不相等。
在方程组有无穷多解的情况下,方程组有 n-r个自由未知量,其解为 nrnrrrrr
nnrr
nnrr
xcxcdx
xcxcdx
xcxcdx
11,
211,222
111,111
上页下页其中 xr+1,xr+2,…,x n是自由未知量,若给一组数
l1,l2,…,l n-r就得到方程组的一组解
rnn
r
r
rnrnrrrr
rnnr
rnnr
lx
lx
lx
lclcdx
lclcdx
lclcdx
22
11
11,
211,222
111,111
上页下页例 研究线性方程组
154
33223
242
13
431
4321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
解 写出增广矩阵
15401
33223
24112
11311
B
对 B进行初等行变化可化为
20000
00000
06710
11311
系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等,所以方程组无解。
上页下页
§ 3 线性方程组解的结构定义 2 若一个线性方程组的常数项都等于 0,那么这个线性方程组叫做 齐次线性方程组,
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
定理 4 一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是,它的系数矩阵的秩 r小于它的未知量的个数 n,
上页下页
r,,21
(1) 线性无关 ;
r,,21
(2)方程组的任意一个解向量都能由线性表出,则 称为齐次线性方程组的 基础解系,
r,,21
定理 5 齐次线性方程组若有非零解，则它一定有基础解系，且基础解系所含解向量的个数等于 n-r，
其中 r是系数矩阵的秩。
推论 （ 齐次线性方程组解的结构定理 ） 齐次线性方程组若有非零解，，则它的通解就是基础解系的线性组合。
定义 3 设 是齐次线性方程组的 r个解向量,如果满足下列条件,
r,,,21?
上页下页例 解齐次线性方程组
.022
,0
,0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解 齐次线性方程组的系数矩阵为
2211
1111
1111
A
对 A进行行初等变换，得
3300
2200
1111
A
3300
1100
1111
0000
1100
1111
上页下页
0000
1100
1111
0000
1100
0011
由此可以看出,r＝ 2<4，故有非零解,
其对应的方程组是
.0
,0
43
21
xx
xx
1
0,
0
1
4
1
x
x令
1
0,
0
1
3
2
x
x得基础解系为
1
1
0
0
,
0
0
1
1
21
方程组的通解为
2211 ccx
上页下页定理 6 （ 非齐次线性方程组解的结构定理 ）如果非齐次线性方程组有解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一个特解与其导出方程组的解之和。
例 试求
,151011654
,92782
,3423
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
的全部解。
解 对增广矩阵进行行初等变换
151011654
927812
342131
3631070
3631070
342131
上页下页
3631070
3631070
342131
000000
3631070
342131
000000
7
3
7
6
7
3
7
10
10
342131
000000
7
3
7
6
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10
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7
30
7
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23
7
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01
系数矩阵与增广矩阵的秩都是 2，故有解。
对应的齐次线性方程的基础解系（去掉常数列）为
0
0
1
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1
0
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0
7
3
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23
2
1
0
0
7
6
7
10
3
上页下页令 x3＝ x4＝ x5＝ 0，得齐次线性方程组的一个特解为
(30/7,-3/7,0,0,0)'(不能忽略常数列 )，于是它的全部解为
332211
0
0
0
7
3
7
30
kkkx
其中 k1,k2,k3，为任意实数。
