复旦大学：数学分析（习题全角、教学教案）：ex13-2

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 (1) D
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(2) D ∫∫ + D dxdyyx )ln( [ ] ∫∫ + D dxdyyx 2 )ln(
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1
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? ^ 32 )()( yxyx +>+ ∫∫ + D dxdyyx 2 )( ∫∫ +> D dxdyyx 3 )( b
2
y1 ? ?
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? ^ D 3xy+≥ 2 )][ln()ln( yxyx +<+ ∫∫ + D dxdyyx )ln( [ ] ∫∫ +< D dxdyyx 2 )ln( b 3
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 (1) ∫∫
? 1> ? [,+ D dxdyyxxy )( D ] [,]01 01×
(2) ∫∫ ++ D yx dxdy 22 coscos100
? 1u×D {( , )| | | | | }xy x y+ ≤ 10
1 (3) dxdxdz xyz1 22 +++ ∫∫∫ ? 2
? ?1?êo {( , , )| }xyz x y z 222 1++≤b 3
1
y1 ? ? D 2)(0 ≤+≤ yxxy
 ?[ 2)(0 ≤+≤ ∫∫ D dxdyyxxy b
2
y1 ? ? D 100 1 coscos100 1 102 1 22 ≤ ++ ≤ yx
 ?[ 2 coscos100 51 100 22 ≤ ++ ≤ ∫∫ D yx dxdy b
3
y1 ? ? ? 1 1 1 2 1 222 ≤ +++ ≤ zyx
 ?[ ππ 3 4 1 3 2 222 ≤ +++ ≤ ∫∫∫ ? zyx dxdxdz b 4
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 (1) ∫∫
? 1> ? [,++ D dxdyyyxx )3( 323 D ] [,]01 01×
(2) ∫∫
? 1> ? [,] + D dxdyxy yx 22 e D [, ]ab cd×
(3) dxdydz xyz()++ ∫∫∫ 3 ?
? ?1éZ8 [,] [,] [,]12 12 12× × b 3
1
 ∫∫ ++ D dxdyyyxx )3( 323 ∫∫ ++= 1 0 323 1 0 )3( dxyyxxdy 1) 4 1 ( 1 0 3 =++= ∫ dyyy b
2
 ∫∫ + D dxdyxy yx 22 e == ∫∫ d c y b a x dyyedxxe 22 ( )( ) 2222 4 1 cdab eeee ?? b
3
 dxdydz xyz()++ ∫∫∫ 3 ? ∫∫∫∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ++ ? ++ ?= ++ = 2 1 22 2 1 2 1 3 2 1 2 1 )1( 1 )2( 1 2 1 )( dy yxyx dx zyx dz dydx 125 128 ln 2 1 2 1 3 2 4 1 2 1 2 1 = ? ? ? ? ? ? + + + ? + = ∫ dx xxx b 5
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 (1)
dx f x y dy a b a b a x ∫∫ <(,) ( ) (2) dx f x y dy a a ax x ax 0 2 2 2 2 0 ∫∫ ? >(,) ( )
(3)
dx f x y dy x 0 2 0 π ∫∫ (,) sin (4)
dy f x y dx dy f x y dx yy 0 1 0 2 1 3 0 3 ∫∫ ∫∫ + ? (,) (,) (5)
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  Z_? Z_￥Qdx dy f x y z dz xxy 0 1 0 1 0 ∫∫∫ ?+ (,,) y x z 2 ?s

(6) dx dy f x y z dz x x xy??? ? + ∫∫ ∫ 1 1 1 11 2 2 22 (,,)
??5 Z_
 Z_? Z _￥Q?s
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 b ∫∫∫∫ = b y b a x a b a dxyxfdydyyxfdx ),(),(
2
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3
 b dx f x y dy x 0 2 0 π ∫∫ (,) sin = ∫∫ ?1 0 arcsin arcsin ),( y y dxyxfdy π ∫∫ ? + ? ? 0 1 arcsin2 arcsin ),( y y dxyxfdy π π
4
 =+ ∫∫∫∫ ?yy dxyxfdydxyxfdy 3 0 3 1 2 0 1 0 ),(),( ∫∫ ?2 0 3 2 1 ),( x x dyyxfdx b
5
 dx dy f x y z dz xxy 0 1 0 1 0 ∫∫∫ ?+ (,,) b = ∫∫∫ ?1 0 1 0 1 0 ),,( x dyzyxfdxdz ∫∫∫ ? ? 1 000 ),,( zxz dyzyxfdxdz ?
9 V? b ∫∫∫∫∫∫ ? ? ? + x xz zx z dyzyxfdxdzdyzyxfdxdz 1 0 1 0 1 0 11 0 ),,(),,(
6
 = ∫∫∫ + ? ??? 11 1 1 1 22 2 2 ),,( yx x x dzzyxfdydx ∫∫ ∫ ? ? ?? 1 0 22 22 ),,( z z yz yz dxzyxfdydz b 6
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 (1) ∫∫
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(2) )0( 2 > ? ∫∫ a xa dxdy D
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D (,)aa a (3) ∫∫
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(4) ∫∫
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)0(3 >= aay (5) ∫∫
? 1?L￥B D ydxdy D )cos1(),sin( tayttax ?=?= )20( π≤≤t D xà ??￥u×
(6) ∫∫ ? ? ? ? ? ? + + D dxdyxy yx )( 2 1 22 e1
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1=x (7) ∫∫
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12

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1
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2
 ∫∫∫∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? = ? ?? axaxaa dxx xa a dy xa dx xa dxdy 0 2 00 222 2 D = 2 3 ) 3 8 22( a? b
3
 ∫∫ + D dxdy yx e =+= ∫∫∫∫ ? ? + ??? x x yx x x yx dyedxedyedxe 1 1 1 0 1 1 0 1 e e 1 ? b
4
 ∫∫ + D dxdyyx )( 22 ∫∫ ? += y ay a a dxyxdy )( 22 3 4 3 322 14) 3 1 2( adyayaay a a =+?= ∫ b
5
 ∫∫ D ydxdy =?== ∫∫∫ ππ 2 0 3 3 )( 0 2 0 )cos1( 2 dtt a ydydx xya 3 2 5 a π b
6
 ∫∫ ? ? ? ? ? ? + + D dxdyxy yx )( 2 1 22 e1 ∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? += + ? 1 )( 2 1 1 1 22 1 y yx dxxeydy 3 2 ( 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 ?=?= ? ? ? ? ? ? ? ? ?+?= ∫∫ ?? + dyydyeeyyy y y b
7
 ∫∫ D ydxdyx 2 20 49 )( 2 1 22 2 2 1 2 2 =?== ∫∫∫ ? dxxxxydydxx x xx b
8
 xy z dxdydz 23 ? ∫∫∫ 364 1 4 1 0 6 1 0 5 0 3 0 2 1 0 === ∫∫∫∫∫ xxyx dyydxxdzzdyyxdx b 4
9
 dxdydz xyz()1 3 +++ ∫∫∫ ? ∫∫∫ ??? +++ = yxx zyx dz dydx 1 0 3 1 0 1 0 )1( ∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ++ = x dy yx dx 1 0 2 1 0 4 1 )1( 1 2 1 = ? ? ? ? ? ? ? ?? + = ∫ 1 0 4 1 2 1 1 1 2 1 dx x x 16 5 2ln 2 1 ? b
10
 zdxdydz ? ∫∫∫ 3 0 2 0 3 1 hdzzdxdyzdz hh z ππ === ∫∫∫∫ ? b
11
 ∫∫∫ ∫ ∫∫ ?? = R z dxdydzzdxdydzz 0 22 =?+?= ∫∫ R R R dzzRzdzzRzz 2 222 2 0 22 )()2( ππ 5 480 59 Rπ b
12
 ∫∫∫ ∫ ∫∫ ??? = a a x dydzdxxdxdydzx 22 =?= ∫ ? a a dx a x xbc )1( 2 2 2 π bca 3 15 4 π b 7
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