复旦大学：数学分析（习题全角、教学教案）：ex13-3



5



×s￥M }D 1. ?¨US9 ?/ =×s

1

? ^??? ??u×
∫∫ +? D dxdye yx )( 22 D xyRR 22 2 0+= >()
2
 ∫∫ D dxdyx
? D ^??? ??u×
xyx =+ 22
3

? ^??? ??u×
∫∫ + D dxdyyx )( D xyx 22 +=+y
4
 ∫∫ ++ ?? D dxdy yx yx 22 22 1 1
 ? ^??? #USà ??? ￥?B`K ￥u×b D xy 22 1+= 3
1
 b ∫∫ +? D dxdye yx )( 22 )1( 22 0 2 0 R R r erdred ?? ?== ∫∫ πθ π
2
 ∫∫ D dxdyx 15 8 cos 5 4 cos 2 0 3 cos 0 2 2 === ∫∫∫ ? π θ π π θθθθ drdrrd b
3
 ∫∫ + D dxdyyx )( ∫∫ + ? += θθπ π θθθ cossin 0 2 4 3 4 )cos(sin drrd 3 1 = 2 sin 3 4 ) 4 (sin 3 4 )cos(sin 0 4 4 3 4 4 4 3 4 4 π θ π θθθθ ππ π π π ==+=+ ∫∫∫ ?? tdtdd b ?
'59 VYVTMD ) 2 1 0,20(sin 2 1 ,cos 2 1 ≤≤≤≤+=+= rryrx πθθθ ?p3b
4
 ∫∫ ++ ?? D dxdy yx yx 22 22 1 1 ∫∫∫ + ? = + ? = 1 0 1 0 2 2 2 0 1 1 4 1 1 dt t t rdr r r d π θ π = ? ? = ∫ 1 0 2 1 1 4 dt t tπ 48 2 ππ ? b 2. p/ m?￥ ?

1

()(ax by c ax by c 111 2 222 2 1++ + ++ =)δ = ? ≠ab ab 12 21 0
 ?? ￥ u×

2
??tL
°L ymxynx mn 22 0==<<,() yxyx== <<α β α β,(0 ) )0 ??￥u×

3
?= o>L () ??￥m?
( )(xy ax xy a 222 3 2 +=? >
4
wL x h y k x a y b hk ab+ ? ? ? ? ? ? =+ > > 4 2 2 2 2 0(, ; , )0 ??m? x y>>00, ￥ ?sb 1 3
1
TMD 222111 , cybxavcybxau ++=++=
5 1221 ),( ),( baba yx vu ?= ? ?
 ? ^ ? 12211221 1 ),( ),( baba dudv baba dudv vu yx S DD ? = ? = ? ? = ∫∫∫∫ ′′ π b
2
TMD x y v x y u == , 2
5 v u y v u x == , 2
 4 ),( ),( v u vu yx = ? ?
? ^ ? == ? ? = ∫∫∫∫ ′ β α 4 ),( ),( v dv udududv vu yx S n m D ) 11 )(( 6 1 33 22 βα ??mn b
3
 7 θθ sin,cos ryrx ==
 5wLZ? V?1US? T θ3cosar =
 ? ^ ? === ∫∫∫ ? 6 0 22 3cos 0 6 6 3cos33 π θ π π θθθ dardrdS a 2 4 a π b
4
TMD
5 ? ? ? ? ? = = θ θ 2 2 sin cos kry hrx θ θ 2sin ),( ),( hkr r yx = ? ?
7wLZ??1 θθ 4 2 2 4 2 2 2 sincos b k a h r +=
 ? ^ ? ∫∫ + = θθ π θθ 4 2 2 4 2 2 sincos 0 2 0 2sin b k a h rdrdhkS ? ? ? ? ? ? ? ? += ∫ 2 0 2 0 5 2 2 5 2 2 cossincossin ππ θθθθθθ d b k d a h hk = 22 2222 6 )( ba hbkahk + b 3. pK lim ( , ) ρ ρ πρ → +≤ ∫∫ 0 2 1 222 fxydxdy xy
 ? e??í ??b fxy(,) 3 ?s?′? ?
 2 ),(),( 222 πρηξ ρ fdxdyyxf yx = ∫∫ ≤+
 ? b 222 ρηξ ≤+ y1 ??
O?f 0→ρ H
 )0,0(),( →ηξ
 ?[ lim ( , ) ρ ρ πρ → +≤ ∫∫ 0 2 1 222 fxydxdy xy )0,0(f= b 4. ê| a?￥USMD9 ?/ =×s

1
 ( ) ∫∫ + D dxdyyx
? D ^?USà#?tL xy+=1 ?? 2 ￥u×

2
 ∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? + D dxdy b y a x 2 2 2 2
? ^? i
??D x a y b 2 2 2 2 1+= ??u×
ii
? ??￥u×
222 Ryx =+
3

? ^?°L ∫∫ D ydxdy D 0,2 =?= yx
 [#wL2=y 2 2 yyx ??= ??￥u×

4
 ∫∫ + ? D dxdye yx yx
 ? ^?°LD x y x+ = =20, # y = 0 ??￥u×

5
 ∫∫ ?+ + D dxdy yx yx 2 2 )(1 )(
?>u× }1|||||),{( ≤+= yxyxD

6
 ∫∫ ?? + D dxdy yxa yx 222 22 4
?>u× ^?wLD axay ??= 22

?°L0>a xy ?= ???b 3
1
TMD ? ? ? ? ? = = yv xu
5
 ? ? ? = = 2 2 vy ux uv vu yx 4 ),( ),( = ? ?
? ^ ( ) ∫∫ + D dxdyyx ∫∫∫∫ ? ′ =+= v D duuvdvuvdudvvu 1 0 2 1 0 84)( 15 2 ])1()1[(8 1 0 43 =???= ∫ dvvv b ?
'59 VYVTMD ?p3b θθ 44 sin,cos ryrx ==
2
 i
T<lUSMD
5 ? ? ? = = θ θ sin cos bry arx abr r yx = ? ? ),( ),( θ
? ^ ∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? + D dxdy b y a x 2 2 2 2 == ∫∫ 1 0 3 2 0 drrdab π θ ab 2 π
ii
 ?¨USMD
¤? ∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? + D dxdy b y a x 2 2 2 2 22 422 0 3 2 0 2 2 2 2 4 )(sincos ba Rba drrd ba R + = ? ? ? ? ? ? ? ? += ∫∫ π θ θθ π b
3
 ∫∫ D ydxdy 220 2 02 x yy x y ydxdy ydxdy ?≤≤ ?≥? ≤≤ =? ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫∫ ?=?= ? π π θπ π θθθθ 2 4 sin2 0 2 2 2 0 0 2 sin 3 8 4sin ddrrdydydx 2 4sin 3 8 4 2 0 4 π θθ π ?=?= ∫ d b
4
T M D yx yx vyxu + ? =+= ,
5 )1( 2 1 ),1( 2 1 vuyvux ?=+=
 °¤9 ?¤ 2),( ),( u vu yx ?= ? ? b 3 ?
 V¤2,0,0 ≤+≥≥ yxyx 11,20 ≤≤?≤≤ vu
? ^ ∫∫ + ? D dxdye yx yx e edveudu v 1 2 1 1 1 2 0 ?== ∫∫ ? b
5
TMD yxvyxu ?=+= ,
5 2 1 ),( ),( ,2 ),( ),( ?= ? ? ?= ? ? vu yx yx vu
? ^ ∫∫ ?+ + D dxdy yx yx 2 2 )(1 )( 6 1 2 1 1 1 2 1 1 2 π = + = ∫∫ ?? v dv duu b
6
 ?¨US
¤? ∫∫ ?? + D dxdy yxa yx 222 22 4 ∫∫ ? ? ? = θ π θ sin2 0 22 2 0 4 4 a dr ra r d
 ? ∫∫∫ ?+??=??= ? drrararrarddr ra r 222222 22 2 444 4 [# ∫∫ ∫ ??= ? ?? = ? drra r r adr ra raa dr ra r 222 22 222 22 2 4 2 arcsin4 4 )4(4 4
 V¤ Cra r a r adr ra r +??= ? ∫ 222 22 2 4 22 arcsin2 4
 ?[ ∫∫ ?? + D dxdy yxa yx 222 22 4 2 2 0 4 2 16 8 )cos(sin2 ada ? =?= ∫ ? π θθθθ π b 5. ê| a?￥USMD9 ?/ ?×s

1

? ?1o {(
()x y z dxdydz 222 ++ ∫∫∫ ? , , )| }xyz x y z 222 1++≤
2
 1 2 2 2 2 2 2 ??? ∫∫∫ x a y b z c dxdydz ?
? ?1?o ? ? ? ? ? ? ≤++ 1),,( 2 2 2 2 2 2 c z b y a x zyx

3
 z x y dxdydz 22 + ∫∫∫ ?
? ?1? ? yxx=?2 2 #ü ? ?zzaa== >00) ??￥u×
,( y = 0
4
 ( )zxyz xyz dxdydz ln 1 1 222 222 +++ +++ ∫∫∫ ?
? ?1?o }0,1|),,{( 222 ≥≤++ zzyxzyx

5

? ? 1?t ? Do ?()x y z dxdydz++ ∫∫∫ 2 ? xy a 22 2+=z 4 xyz a 222 2 3++= ()a > 0 ??￥u×b
6

? ? 1ü ?wL ? àèB ???￥w ?Dü ? () ∫∫∫ ? + dxdydzyx 22 ? ? ? = = 0 ,2 2 x zy z 8=z ??￥u×

7
 ∫∫∫ ? ++ dxdydz zyx 222 1
?>u× ?=

),,{( zyx | 1)1( 222 ≤?++ zyx }0,0 ≥≥ yz
8
 ∫∫∫
  ?>u× ? = ? ?++??+ dxdydzxzyzyxzyx ))()(( ),,{( zyx | }10,10,10 ≤?+≤≤+?≤≤?+≤ xzyzyxzyx b 3
1
?¨oUS
5 ( )x y z dxdydz 222 ++ ∫∫∫ ? 5 4 sin 1 0 4 0 2 0 π ??θ ππ == ∫∫∫ drrdd b
2
?¨<loUS
5 1 2 2 2 2 2 2 ??? ∫∫∫ x a y b z c dxdydz ? ∫∫∫ ?= 1 0 22 0 2 0 1sin drrrddabc ππ ??θ ∫ ?= 1 0 22 14 drrrabcπ
 7
5 tr sin= 1 2 2 2 2 2 2 ??? ∫∫∫ x a y b z c dxdydz ? ∫ = 2 0 22 sincos4 π π tdttabc =?== ∫∫ 2 0 2 0 2 )4cos1( 2 1 2sin ππ ππ dttabctdtabc abc 2 4 1 π b
3
?¨?US
5 z x y dxdydz 22 + ∫∫∫ ? ∫∫∫∫ == 2 0 32 0 cos2 0 2 2 0 cos 3 4 π θ π θθθ dazdzdrrd a = 2 9 8 a b
4
?¨?US
5 ( )zxyz xyz dxdydz ln 1 1 222 222 +++ +++ ∫∫∫ ? ∫∫∫∫ +?= ++ ++ = ? 1 0 222 1 0 22 22 1 0 2 0 )]1(ln2[ln 2 1 )1ln( 2 drrrdz zr zrz rdrd r π θ π =?= ∫ 2 1 22 ln 4 2ln 4 tdt ππ π)2ln 4 1 2 1 2(ln 2 ?? b
5
?? ?1? ü ??yz zxü ???
5
 0=== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ??? zxdxdydzyzdxdydzxydxdydz ? ^ 5 ()x y z dxdydz++ ∫∫∫ 2 ? ∫∫∫ ? ++= dxdydzzyx )( 222
 ?¨?US
üμ ()x y z dxdydz++ ∫∫∫ 2 ? ∫∫∫ ? += 22 2 3 2 22 2 0 2 0 )( ra a r a dzzrrdrd π θ ∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ??+??= a rdr a r ra a r rar 2 0 3 6 2 3 22 4 222 24 )3( 3 1 2 32π ∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ?????= a rdr a r a r raraa 2 0 3 64 2 3 22222 24 2 )3( 3 2 332π ? ? ? ? ? ? ? ? ?????= 3 86 55 96 16 6 8 )139( 15 4 )133(2 a a a a aaπ = 5 30 973108 aπ ? b
6
 V¤ ??w ? Dü ?zyx 2 22 =+ 8=z ??
?¨?US
5 () ∫∫∫ ? + dxdydzyx 22 = ∫∫∫∫ ?= 4 0 2 3 8 2 4 0 3 2 0 ) 2 8(2 2 dr r rdzdrrd r πθ π = π 3 1024 b
7
?¨oUS
5 ∫∫∫ ? ++ dxdydz zyx 222 1 ∫∫∫ = ?ππ ??θ cos2 000 sin rdrdd == ∫ π ???π 0 2 cossin2 d π 3 4 b
8
TMD xzywzyxvzyxu ?+=+?=?+= ,,
5 4 ),,( ),,( ?= ? ? zyx wvu
 ? ^ 4 1 ),,( ),,( ?= ? ? wvu zyx
 ?[ ∫∫∫ ? ?++??+ dxdydzxzyzyxzyx ))()(( 32 1 4 1 ),,( ),,( 1 0 1 0 1 0 == ? ? = ∫∫∫∫∫∫ ?′ wdwvdvudududvdw wvu zyx uvw b 6
po ? ??? ? ?? ?8￥8 b xyzR 222 ++= 2 )xyRxR 22 0+= >( 3 ∫∫∫∫ ?=??= ≤+ θ π θ cos 0 22 2 0 222 42 22 R Rxyx rdrrRddxdyyxRV =?= ∫ 2 0 33 )sin1( 3 4 π θθ dR 3 9 86 R ?π b 7
p?t ? D ?zx=? ?6 2 y 2 zxy=+ 22 ?? ?8￥8b 3 ó ? ?w ?Z?
3¤?L ?￥ü ?1 2=z
 ?? bWu× 6  xyü ?￥g?u×1 4: 22 ≤+ yxD
 ? ^ =??=+???= ∫∫∫∫ 2 0 2 2 0 2222 )6()6( rdrrrddxdyyxyxV D π θ π 3 32 b 8
p/ w ? ?? bWu×￥8

1
 x a y b z c ax abc 2 2 2 2 2 2 2 0++ ? ? ? ? ? ? =>(,, )

2
 )0,,(1 22 >= ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? + cba c z b y a x D?fü ? 0,0,0 === zyx ? ?￥?B?K￥ ?8b 3
1
TM }D
5 ? ? ? ? ? = = = ? θ? θ? cos sinsin cossin crz bry arx ? θ? sin ),,( ),,( 2 abcr r zyx = ? ? b ??
 ?[ 0≥x 3 1 2 )cossin(0,0, 22 θ?π? π θ π ar ≤≤≤≤≤≤? b? ^ ∫∫∫ ? = 3 1 2 )cossin( 0 2 0 2 2 sin θ?π π π ??θ a drrddabcV ∫∫ ? = π π π ??θθ 0 2 2 2 3 sincos 3 1 ddbca = bca 3 3 π b
2
 T M }D
5 ? ? ? ? ? ? ? = = = ? θ? θ? cos sinsin cossin 2 2 crz bry arx θ? θ? 2sinsin ),,( ),,( 2 abcr r zyx = ? ?
? ^ 3 sin2sin 1 0 2 2 0 2 0 abc drrddabcV == ∫∫∫ ππ ??θθ b 9
 !Bt8 bW￥V U1?w ? Dü ? ??? ￥B ?8b á1
pNt8￥é b )(254 222 yxz += 5=z 22 ),,( yxzyx +=ρ 3 !t8￥é 1 M
5 ∫∫∫∫∫∫∫ ?=== ? 2 0 3 5 2 5 2 0 3 2 0 ) 2 5 5(2),,( drrrdzdrrddxdydzzyxM r πθρ π π8= b 10. B??1è?t ? ￥?=
 Xü 9μzx y=+ 22 8π ?Z D ü￥ ￡
C??? 120π ?Z D ü￥ ￡
ù ￡ ?1e ? 6ú  D üb 3 !? 9μ 8π ?Z D ü ￡ H ￡ ?￥ú1
5 h πθ π 8)( 0 2 2 0 =? ∫∫ h drrhrd
 7 ' 4 4 1 2 1 22 =? hh
V73¤
cm
 b 4=h ? !? 9μ π128 ?Z D ü ￡ H ￡ ?￥ú1 H
5 πθ π 128)( 0 2 2 0 =? ∫∫ H drrHrd
 ' 64 4 1 2 1 22 =? HH
V73¤ 16=H
cm

 ?[ ￡ ?1e ? 6ú 12
cm
 b 11
pé 1 M￥ ( ?  à  ?)￥ ?êé ￥é?￥? ?b ? ? ? = ≤+ 0 222 z ayx z (,,)( )00 0cc> 3 ! ??êé?￥? ?1 (, ,) xyz F FF=F
 ? ??
 b 0== yx FF  ( ? ? ￥?í|Bl v
  ? !1)0,,( yx dxdyd =σ
? ￡μ? ?? p
?l v±íé?￥? ?1 33 222 222 222 22 ,, ()()() Gx Gy Gc d dxdy dxdy dxdy xyc xyc xyc ρρ ρ ?? ?? =? ++ ++ ++ ?? F 3
 ? ^ = z dF dxdy cyx cG 2 3 222 )( ++ ? ρ
 ∫∫∫∫ + ?= ++ ?= a D z cr rdr dcGdxdy cyx cG F 0 2 3 22 2 0 2 3 222 )()( π θρ ρ ?= ? ? ? ? ? ? ? ? + ??= 22 11 2 ca c cGρπ ? ? ? ? ? ? ? ? + ? 22 2 1 2 ca c a MG
 ? G ^￡μ? ?è ?
 M ^ ( ?￥é 
 ρ ^ ( ?￥ á b 12
X ? o 8
   ?B?￥ á ?  ??? ??e?  ?￥üZ
po8￥é D×?b xyz R 222 2++≤z 3 !o8￥é 1 M
5 ==++= ∫∫∫∫∫∫ ? ? π π ??θ cos2 0 4 2 0 2 0 222 sin)( R drrdddxdydzzyxM 5 15 32 Rπ b !×?￥US1 (, ,)x yz
???
 0== yx b? =++ ∫∫∫ ? dxdydzzyxz )( 222 6 cos2 0 5 2 0 2 0 3 8 cossin Rdrrdd R π???θ ? π π = ∫∫∫
 8 ¤? = ++ = ∫∫∫ ? M dxdydzzyxz z )( 222 R 4 5
 ?[×?US1 ) 4 5 ,0,0( R b 13
￡ ü?? T 4 sinsin16 )417(2 1 22 22 π π ≤ ++ ≤? ∫∫ ≤+yx yx dxdy b ￡ n5μ 44 1 sinsin16 11 22 2222 π =≤ ++ ∫∫∫∫ ≤+≤+ yxyx dxdy yx dxdy b 6BZ ?
?
¤? 22 sin uu ≤ 22 22 22 2 11 16 sin sin 16 xy xy dxdy dxdy 2 x yx +≤ +≤ ≥ ++ ++ ∫∫ ∫∫ y 21 200 16 rdr d r π θ= + ∫∫ )417(2 ?= π b ?[ 4 sinsin16 )417(2 1 22 22 π π ≤ ++ ≤? ∫∫ ≤+yx yx dxdy b 14
 !Bíf ?   ??
￡ ü )(uf ]1,1[? ∫∫∫ ? ≤+ =+ 1 1 1|||| )()( duufdxdyyxf yx b ￡ TMD yxvyxu ?=+= ,
5 11,11 ≤≤?≤≤? vu
 MD￥ Jacobi?  T1 2 1 ),( ),( ,2 ),( ),( ?= ? ? ?= ? ? vu yx yx vu b ? ^ ||||1 (, ) () () (,) xy D xy f x y dxdy f u dudv uv ′+≤ ? += ? ∫∫ ∫∫ 11 1 () 2 f udu dv ?? = ∫ ∫∫ ? = 1 1 )( duuf b 15
 !Bíf ?   ??b￡ ü )(uf ]1,1[? ∫∫∫∫ ? ? ?= 1 1 2 )1)(()( duuufdxdydzzf π
 ? 1?êo b ? 1 222 ≤++ zyx ￡ 1 1 () () z f z dxdydz f z dz dxdy ? ?? = ∫∫∫ ∫ ∫∫
 ? z ?= 22 1 2 x y+≤?z
? ^ 9 1 1 () () z f z dxdydz f z dz dxdy ? ?? = ∫∫∫ ∫ ∫∫ 1 2 1 ()(1 )f zzdz ∫ ? ?= 1 1 2 )1)(( duuufππ ? =? ∫ b 16
9 ?/  ×s
 n
1
 xx xdxdxdx nn12 12 +++ ∫ "" ?
? ? },,2,1,0,1|),,,{( 2121 nixxxxxxx inn """=≥≤+++=

2

? ()xx xdxdxdx nn1 2 2 22 12 +++ ∫ " ? " ?1 ?o8 b n }1|),,,{( 22 2 2 121 ≤+++ nn xxxxxx"" 3
1
 TM }D , 5 ? ? ? ? ? ? ? = +++= ++++= nn n n xy xxxy xxxxy " " " 322 3211 1 ),,( ),,( 2,1 2,1 = ? ? n n xxx yyy " "
V 7 1 ),,,( ),,,( 21 21 = ? ? n n yyy xxx " "
? ^ ∫ ? +++ nn dxdxdxxxx"" 2121 ∫ ?′ = n dydydyy" 211 ∫∫∫∫ ? = 1 0000 3211 12 1 yy y n n dydydydyy" ∫∫∫∫ ? ? ? = 1 0000 3211 12 1 )!( 1 yy y i in i i dyydydydyy in " = ? = ∫ ?+ 1 0 1 1 2 1 1 )!1( 1 dyy n n )12()!1( 2 +? nn b
2
To ?USMD , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = = = = ?? ??? 1221 12211 3213 212 11 sinsinsinsin cossinsinsin cossinsin cossin cos nnn nnn rx rx rx rx rx ???? ???? ??? ?? ? " " "" ?ü ?M1 { } 121 1 '(,,, , )|0 1,0 (1,2,, 2),0 2 nn i n rr n? ?? ?π ? π ?? ? ?= ≤ ≤ ≤ ≤ = ? ≤ ≤""b ?￥ Jacobi?  T1 10 12 312 12 11 (, , , ) sin sin sin (, , , ) nn nn n n xx x Jr r 2 ? ?? ?? ?? ? ? ? ? == ? " " "
 ? ^ ()xx xdxdxdx nn1 2 2 22 12 +++ ∫ "" ? b ∫∫∫∫∫ ????? ?+ = ππππ ??????? 2 0 1 0 22 0 33 2 0 11 2 1 0 1 sinsinsin nnnnn nn dddddrr" ??? 1?? ? H
k ∫∫ ?? = 2 0 1 0 1 sin2sin π π ???? dd kk
 ?¨ Wallis T
 2 0 (2 1)!! ,2 (2 )!! 2 sin (2 )!! ,2 (2 1)!! n m nm m d m nm m π π ?? ? ? = ? ? = ? ? 1= + ? + ? ∫
 ? ^¤? ()xx xdxdxdx nn1 2 2 22 12 +++ ∫ "" ? = ? ? ? ? ? ? ? += +? = +? + 12 )32(!)!12( 2 2 )1()!1( 1 mn mm mn mm mm m π π b 11