复旦大学：数学分析（习题全角、教学教案）：ex15-2



5



c?M ￥Qès
1. ￡ ü/ c?M Qès·?uW Bá l ?

1
 ∫ ∞+ + 0 22 cos dx yx xy


2
0>≥ ay ∫ ∞+ ? + 0 2sin dxe x x xα α
 0 0 αα ≤≤

3

 ∫ ∞+ 0 4 cossin xdxxx α ba ≤≤α b 3
1
y1 ≤ + 22 cos yx xy 22 1 ax +
7 ∫ ∞+ + 0 22 1 dx ax l ?
 ?[? Weierstrass?YE
 ∫ ∞+ + 0 22 cos dx yx xy  ),[ +∞a Bá l ?b
2
 12sin 0 ≤ ∫ A xdx
' 0 sin 2 A xdx ∫ 1? ],0[ 0 αα∈ Báμ?
α α + ? x e x 1? ??
 O? x xx e x 1 ≤ + ? α α
 V ? ? +∞→x H
 α α + ? x e x 1? ],0[ 0 αα∈ Bát? ,b ? ^? Dirichlet?YE
 V? ∫ ∞+ ? + 0 2sin dxe x x xα α  ],0[ 0 αα∈ Bá l ?b
3
?s?sE

44 2 1cos sin cos cos 4 AA x x xxdx dx x α α +∞ +∞ =? ∫∫
22 cos cos 1 sin cos 1 cos cos 44 2 AA A xx xx xx dx dx xx ααα α +∞ +∞ +∞ =? ? ? ∫∫ 4 3 x
?

22 cos cos 1 A xx x A α +∞ ≤

? 22 4 ),max( cossin x ba x xx ≤ αα # 33 4 1coscos xx xx ≤ α
 V¤?
4 22 max( , ) sin cos 1 max( , ) AA ab xx dx a b dx αα +∞ +∞ ≤= ∫∫ A
D
4 33 cos cos 1 1 2 AA xx dx dx x xA α +∞ +∞ ≤= ∫∫ b
? H
  ?? T1?+∞→A α Bát? ,
 ?[es1?],[ ba α Bá l ?b ],[ ba 2
 a ü/ c?M Qès·?uW dBá l ?
 1
1
 ∫ ∞+ + 0 2 )1( sin dx x xx α α
 +∞<<α0

2
 ∫ 1 0 1 sin 1 dx xx α
 20 <<α b 3
1
| 0 2 0 18 ε =>

| 0 0A?> 4 3 , 4 0 ππ n AA n A =′′>=′
 1 n n αα==

5?  sv H

n = + ∫ ′′ ′ A A dx x xx )1( sin 2 α α ? ? ? ? ? ? + ≥ + ∫ 2 22 4 3 4 2 ) 4 3 (116 2 )1( sin π π α α π π n n dx x xx n n n n 0 2 18 ε>=
 ? Cauchy l ?5
 ∫ ∞+ + 0 2 )1( sin dx x xx α α  ),0( +∞∈α ?Bá l ?b
2
TM }D t x 1 =
5
∫∫ ∞+ ? = 1 2 1 0 sin 11 sin 1 tdt t dx xx αα b | 0 2 0 8 επ=>

| 0 0A?> 4 3 2, 4 2 0 π π π π +=′′>+=′ nAAnA

1 2 n n αα==?
5?  sv H
 n = ∫ ′′ ′ ? A A tdt t sin 1 2 α n n n n tdt t n 1 4 3 2 4 2 2 4 3 24 2 sin 1 ? ? ? ? ? ? + ≥ ∫ + + ? π π π π π π π α 0 2 8 π ε>=
 ? Cauchy l ?5
 ∫ 1 0 1 sin 1 dx xx α  )2,0(∈α ?Bá l ?b 3
 !   ??
 Qès ?)(tf 0>t ∫ ∞+ 0 )( dttft λ a=λ D b=λ H? l ?
 ￡ ü 1? ∫ ∞+ 0 )( dttft λ λ Bá l ?b ],[ ba ￡ |Qès ? ∫ ∞+ 0 )( dttft λ ∫ +∞ = 0 )( dttft λ ∫ + ? 1 0 )]([ dttftt aaλ ∫ +∞ ? 1 )]([ dttftt bbλ b ?
y1 l ?V71? ∫ ? 1 0 )]([ dttftt aaλ ∫ 1 0 )( dttft a λ Bá l ?
 ^ t￥??f ?
 O ],[ ba a t ?λ 1≤ ?a t λ
'  a t ?λ [0,1]t∈ 1? [,]abλ∈ Báμ?
 ? Abel?YE
 V ? 1? ∫ ? 1 0 )]([ dttftt aaλ λ Bá l ?b ],[ ba ?
y1 l ?V71? ∫ +∞ ? 1 )]([ dttftt bbλ ∫ +∞ 1 )( dttft b λ B á l ?
 ^ ￥??f ?
O ],[ ba b t ?λ t 1≤ ?b t λ
' b t λ?  [1, )t∈ +∞ 1? 2 [,]abλ∈ Báμ?
 ? Abel?YE
 V ? 1? ∫ +∞ ? 1 )]([ dttftt bbλ λ Bá l ?b ],[ ba ?[ 1? ∫ ∞+ 0 )( dttft λ λ Bá l ?b ],[ ba 4. ) ?/ c?M Qès￥Bá l ??

1
 ∫ ∞+ 0 cos dx x xy

0 0 >≥ yy
2


I
 ∫ ∞+ ∞? ?? dxe x 2 )( α ba <<α

II
 +∞<<∞? α

3


I


II

∫ ? 1 0 21 ln xdxx p 0 0 >≥ pp 0>p
4


I
 ∫ ∞+ ? 0 sin xdxe xα 0 0 >≥αα

II
 0>α
3
1
 ∫ ∞+ 0 cos dx x xy ∫ = 1 0 cos dx x xy ∫ ∞+ + 1 cos dx x xy
 ? ∫ 1 0 cos dx x xy
?? xx xy 1cos ≤
 ∫ 1 0 x dx l ?
? Weierstrass ? YE
 V? ∫ 1 0 cos dx x xy 1? Bá l ?b y ? 1 cos xy dx x +∞ ∫
?? 0 1 2 cos y xydx A ≤ ∫
' 1? Báμ?
[# ∫ A xydx 1 cos ),[ 0 +∞∈ yy x 1 ??
? +∞→x H
 x 1 1? ),[ 0 +∞∈ yy Bát? ,
? Dirichlet?YE
 V? ∫ ∞+ 1 cos dx x xy 1? ),[ 0 +∞∈ yy Bá l ?
 ?[ ∫ ∞+ 0 cos dx x xy 1? ),[ 0 +∞∈ yy Bá l ?b
2

I
? ba <<α
|
 P0>A ],[),( AAba ?? b5 Ax ≥?
 2 2 )()( Axx ee ???? ≤ α
7 2 () A xA ed ? ?? ?∞ ∫ xD 2 ()xA A e +∞ ?? ∫ dx x x l ?
? Weierstrass ? YE￥￡ ü
 V?Qès D  20 ()x ed α?? ?∞ ∫ 2 () 0 x ed α +∞ ?? ∫ ),( ba∈α Bá l ?b ?[  ∫ ∞+ ∞? ?? dxe x 2 )( α ),( ba∈α Bá l ?b
II
? +∞<<∞? α
?
| ∫ ∞+ ?? 0 )( 2 dxe x α 0 1 0 e ε = >

|
 0 0A?> 0 ,1AnAAn′′′=> =+ n nα α==
5?  sv H
 n 22 1 ()() n An xx edx e dx αα ′′ + ???? ′ == ∫∫ 21 0 0 1 x edx e ε ? >= ∫

? Cauchy l ?5
  ∫ ∞+ ?? 0 )( 2 dxe x α ),( +∞?∞∈α ?Bá l ?b] ? 20 ()x e α?? ?∞ ∫ dx ),( +∞?∞∈α 9?Bá l ?b ?[  ∫ ∞+ ∞? ?? dxe x 2 )( α 3 ),( +∞?∞∈α ?Bá l ?b
3

I
?
0 0 >≥ pp xxxx pp 2121 lnln 0 ?? ≤
7 l ?
 ? Weierstrass?YE
  ∫ ? 1 0 21 ln 0 xdxx p ∫ ? 1 0 21 ln xdxx p ∈p ),[ 0 +∞p Bá l ?b
II
?
|0>p 1 0 n p n =>
?? 111 1 1 22 2 11 nn )0( +→ 22 11 ln ln ln 2 n p nnn nn xxdx xdxn nn ? ? ?? ≥=? ?? ?? ∫∫ +∞→ p
 ? Cauchy l ?5
 V?  ∫ ? 1 0 21 ln xdxx p ),0( +∞∈p ?Bá l ?b
4

I
? 0 0 >≥αα
 xx exe 0 sin αα ?? ≤ )0( ≥x
7 l ?
 ? Weierstrass?YE
  ∫ +∞ ? 0 0 dxe xα ∫ ∞+ ? 0 sin xdxe xα ),[ 0 +∞∈ αα Bá l ?b
II
? 0>α
| 0 2e π ε ? =
 0A? >
| ,(1)An AA nπ π′ ′′= >=+
 1 1 n n αα== +
5?  sv H

n (1) 0 sin 2 n n x n exdxe π α π π ε + ? ? ≥= ∫
 ? Cauchy l ?5
  ∫ ∞+ ? 0 sin xdxe xα ),0( +∞∈α ?Bá l ?b 5. ￡ üf ? ∫ ∞+ = 1 cos )( dx x x F α α  ),0( +∞  ??b ￡ ?| [,
] (0, )ab?+∞ 2cos 1 ≤ ∫ A xdx
' 1? ∫ A xdx 1 cos ],[ ba∈α Báμ ?
α x 1 1? ??
 Ox ],[ ba∈?α ? ? a xx 11 ≤ α
 ? [ ? +∞→x H
 α x 1 1? ],[ ba∈α Bát? ,b ? Dirichlet?YE
 V? ∫ ∞+ = 1 cos )( dx x x F α α  ],[ ba∈α Bá l ?
 V7 ∫ ∞+ = 1 cos )( dx x x F α α   ??
 ? ￥? i?
'? ],[ ba ba, ∫ ∞+ = 1 cos )( dx x x F α α  ),0( +∞  ??b 6. ??f ? ∫ ? ? = π π 0 2 )( sin )( dx xx x yF yy ￥ ??S?b 3 f ? ∫ ? ? = π π 0 2 )( sin )( dx xx x yF yy ￥?l×1 b/ ?á ì￡ ü(0,2) ∫ ? ? = π π 0 2 )( sin )( dx xx x yF yy  =>Bá l ?
'(0,2) 0>?η
 ∫ ? ? = π π 0 2 )( sin )( dx xx x yF yy  ]2,[ ηη ?∈y Bá l ?
 V7¤?  ￥ ???b ()Fy )2,0( 4 ??sμ ??
 ?[| ∫ ? ? = π π 0 2 )( sin )( dx xx x yF yy ? 2 2 0 sin () () yy x Fy dx xx π π ? = ? ∫ 2 2 sin () yy x dx xx π π π ? + ? ∫ )()( 21 yFyF += b ?
)1,0(∈x η?≤ 2y H
 yy xx x ? ? 2 )( sin π η? ≤ 2 sin x x
7 1 2 0 sin x dx x η?∫ l ?
 ? Weierstrass ?YE￥￡ ü
 V?Qès 2 1 2 0 sin () () yy x Fy dx xx π π ? = ? ∫  ]2,[ ηη ?∈y Bá l ?b ? (1,x )π π∈?
 η≥y H
 yy xx x ? ? 2 )( sin π η π ? ? ≤ 2 )( sin x x
7 2 1 sin () x dx x π η π π ? ? ? ∫ l ?
? Weierstrass ?YE￥￡ ü
 V?Qès 2 2 2 sin () () yy x Fy dx xx π π π ? = ? ∫  ]2,[ ηη ?∈y Bá l ?b ?[ ∫ ? ? = π π 0 2 )( sin )( dx xx x yF yy  ]2,[ ηη ?∈y Bá l ?b 7. ! ib￡ ü ￥ Laplace MD   ??b ∫ ∞+ 0 )( dxxf )(xf ∫ ∞+ ? = 0 )()( dxxfesF sx ),0[ ∞+ ￡ ?? l ?'1?  ∫ ∞+ 0 )( dxxf s ),0[ +∞ Bá l ?
 1? ??
 O sx e ? x 1≤ ?sx e
'  sx e ? ),0[),,0[ +∞∈+∞∈ sx Báμ?
? Abel?YE
  Bá l ?
V7   ??b ∫ ∞+ ? = 0 )()( dxxfesF sx [0, )s∈+∞ ()Fs ),0[ +∞ 8. ￡ üf ? ∫ ∞+ ++ = 0 2 )(1 cos )( dx tx x tI  ),( +∞?∞  V±b ￡ n5Qès ∫ ∞+ ++ = 0 2 )(1 cos )( dx tx x tI ?i (,t )∈ ?∞ +∞ l ?bQμ 2 0 cos 1( ) x dx txt +∞ ? ?? ? ? ?++ ? ? ∫ 2 0 2 2( ) cos 1( ) xt xdx xt +∞ + =? ??++ ?? ∫ b ?| [,

]ab 0>?A 2cos 0 ≤ ∫ A xdx
' 1? ∫ A xdx 0 cos ],[ bat∈ Báμ?
: },max{ bac =
?
cx > ],[ bat∈ H
 22 ])(1[ )(2 tx tx ++ + 1? ??
Ox 22 ])(1[ )(2 tx tx ++ + 2 )(1 1 cx?+ ≤
'? +∞→x H
 22 ])(1[ )(2 tx tx ++ + 1? B át? ,b ? Dirichlet?YE
 V? ],[ bat∈ 22 0 2( ) cos [1 ( ) ] xt xdx xt +∞ + ? ++ ∫  Bá l ?
 ?[ ],[ bat∈ ∫ ∞+ ++ = 0 2 )(1 cos )( dx tx x tI  ],[ bat∈  V±
Oμ 5 ∫ ∞+ ++ + ?=′ 0 22 ])(1[ cos)(2 )( dx tx xtx tI b ? ￥?i?
'?ba, ∫ ∞+ ++ = 0 2 )(1 cos )( dx tx x tI  ),( +∞?∞  V±b 9. ?¨ ∫ ? ?? = ? b a xy bxax dye x ee
9 ? ∫ ∞+ ?? ? 0 dx x ee bxax

b 0>> ab 3 ? H
[,]yab∈ xy ax ee ?? ≤
7 l ?
 ?[ 1? Bá l ?
?sQ??D? ?
 0 ax edx +∞ ? ∫ 0 xy edx +∞ ? ∫ [,]yab∈ ∫ ∞+ ?? ? 0 dx x ee bxax a b y dy dxedydyedx b a xy b a b a xy ln 00 ==== ∫∫∫∫∫ +∞ ?? ∞+ b 10
 ? ¨ ∫ = ? b a xydy x axbx cos sinsin
9 ? ∫ ∞+ ? ? 0 sinsin dx x axbx e px


b 0>p 0>> ab 3 ? H
[,]yab∈ 0 2 cos A xydx a ≤ ∫
' 0 cos A xydx ∫ 1? [,]yab∈ Báμ?
px e ? 1? ??
O?x x→+∞ H
 px e ? 1? Bát? ,b? Dirichlet ?YE
 1? y 0 cos px e xydx +∞ ? ∫ [,]yab∈ Bá l ?
 ?sQ??D? ?
 ∫ ∞+ ? ? 0 sinsin dx x axbx e px ∫∫∫∫ +∞ ? ∞+ ? == 00 )cos()cos( dxxyedydyxydxe px b a b a px b ?¨s?s
 ∫ +∞ ? 0 )cos( dxxye px 22 yp p + =
 ? ^ ∫ ∞+ ? ? 0 sinsin dx x axbx e px p a p b dy yp p b a arctanarctan 22 ?= + = ∫ b 11
 ?¨ ∫ ∞+ = + 0 2 2 a xa dx π


9 ?0>a ∫ ∞+ + + = 0 12 )( n n xa dx I
1?? ?
 b n 3 ?? ∫ ∞+ + 0 2 xa dx BM ),0( +∞∈a l ?
 2 0 1 dx aax +∞ ? ?? = ?? ?+ ?? ∫ () 2 0 2 dx ax +∞ ? + ∫ 1?  =>Bá l ?
yNa (0, )+∞ ∫ ∞+ + 0 2 xa dx  ),0( +∞∈a  V±O ? ? 2 0 ddx da a x +∞ = + ∫ 2 0 1 dx aax +∞ ? ?? = ?? ?+ ?? ∫ 22 0 () dx ax +∞ ? + ∫
 ?[ 2 2 d I da a π?? =? ?? ?? b ] ?  ?sˉ Vs|/p?
i V?é?/?b? 6 11 22 (2 1)!! (1) 2 n n n nn dn aa da ???? ? =? ?? ?? ? D 22 1(1) () nn n aax ax 1 ! + ?? ?? = ?? ?+ + ??
 ' V¤? ∫ ∞+ + + = 0 12 )( n n xa dx I = π 2 12 !)!2(2 !)!12( + ? ? n a n n b 12
9 ? ∫ ∞+ ? = 1 22 1 arctan )( dx xx x g α α b 3 ∫∫ ∞+∞+ + ? ?=?= 1 22 2 1 2 )1( 1 sgn 2 1 1arctan)( dx xx x x xdg α α α π αα b KaB?s?
 7 1 2 ?= xt
5 ∫ ∞+ +++ ?= 0 2222 2 )1)(1( sgn 2 )( dt xt t g αα α α π α ∫ ∞+ ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ++ + ?= 0 2222 2 1 1 1 1 sgn 2 dt ttαα α αα π = [] 2 11||sgn 2 ααα π +?+? b 13
 !   ??
O)(xf ),0[ +∞ 0)(lim = +∞→ xf x
￡ ü a b fdx x bxfaxf ln)0( )()( 0 = ? ∫ ∞+

b 0, >ba ￡ !
 0>′>′′ AA = ? ∫ ′′ ′ dx x bxfaxf A A )()( ∫∫ ′′ ′ ′′ ′ ? A A A A dx x bxf dx x axf )()( ∫∫ ′′ ′ ′′ ′ ?= Ab Ab Aa Aa dx x xf dx x xf )()( ∫∫ ′′ ′′ ′ ′ ?= Ab Aa Ab Aa dx x bxf dx x axf )()( a b ff ln)]()([ 21 ξξ ?=
 KaB?? T ?¨ s?′? ?
 ? 1 ξ  Aa ′D Ab ′-W
 2 ξ  Aa ′′ D -Wb 7
Ab ′′ 0+→′A +∞→′′A
5 +∞→→ 21 ,0 ξξ
?   ??
O
'¤ )(xf ),0[ +∞ 0)(lim = +∞→ xf x a b fdx x bxfaxf ln)0( )()( 0 = ? ∫ ∞+ b 14

1
 ?¨ 2 0 2 π = ∫ ∞+ ? dye y w cy c y edyecL 2 0 2 )( 2 2 2 ? ∞+ ?? == ∫ π


0>c 7
2
 ?¨s|/p?￥ZE? L dc dL 2?=
[ NwD
1
] "￥2T
i9 ? ∫ ∞+ ?? 0 2 2 dye y b ay

b 0,0 >> ba 3
1
 7 t c y =
5 2 2 2 0 () c y y Lc e dy ?? +∞ == ∫ ∫ ∞+ ?? 0 2 2 2 2 dt t c e t c t 2 2 2 2 0 c y y c ed y ?? +∞ = ∫ y
 ? ^ ∫∫ ∞+ ??? ∞+ ?? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? += 0 2)( 0 2 )(1)(2 2 2 2 2 y c ydedy y c ecL c y c y y c y b  7 c y y ?=x
¤? 2 2 2 0 () c y y Lc e dy ?? +∞ == ∫ ∫ ∞+ ∞? ? ? dxe e x c 2 2 2 2 2 c e π ? = b

2
 ?¨s|/p?
 = dc dL Ldye y c y c y 2 1 2 0 2 2 2 2 ?=? ∫ ∞+ ??
 ? ^ dc L dL 2?=
 ? T Hs
¤?
 c eLcL 2 0 )( ? = ?i? 2 )0( π =L
 ?[ c ecL 2 2 )( ? = π b 7 yat =
¤? ∫ ∞+ ?? 0 2 2 dye y b ay = = ∫ ∞+ ?? 0 2 2 1 dte a t ab t ab e a 2 2 1 ? π b 15
 ?¨ 22 0 )( 122 x dte xt + = ∫ ∞+ +? α α
9 ? ∫ ∞+ + = 0 22 cos dx x x J α β
0>α
b 3 n5μ ∫ ∞+ + = 0 22 cos dx x x J α β 22 () 00 cos tx xdx e dt α β +∞ +∞ ?+ == ∫∫ ∫∫ +∞ +? ∞+ 0 )( 0 cos 22 xdxedt xt β α b ?¨ è 15.2.8￥2T 8 22 2 2cos)( 0 xt extdtexI ? ∞+ ? == ∫ π
 V¤ = ∫ ∞+ ? 0 cos 2 xdxe tx β t tx e t xtdxt t e t 4 0 2 2 1 2 )( 2 2cos 1 β πβ ? ∞+ ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ∫
 ? ^ == ∫ ∞+ ? ? ? ? ? ? ? ? +? 0 4 2 2 tdeJ t t β α π || 2 βα α π ? e

?KaB?? T ?¨  5￥2 ?b 9