复旦大学：数学分析（习题全角、教学教案）：ex2-1,2

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 Bx∈?
μ 2 Mx ≤
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3
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4
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| ? ? ? ? ? ? = ε 1 N
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? ? Nn > ε<< + = +++ < n n n n n 1 2 121 0 23 null b
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ó lim n→∞ nn n 2 1 + =
? lim n→∞ ()nnn 2 1 2 +? =
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? lim n→∞ x n =1,? ? ? ? ? ? ? + = ?

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2
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| ? ? ? ? ? ? = ε2 1 N
? H
? ? Nn > 13 ε<< ++ =? + n nnn n nn 2 11 1 2 2 b
3
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| ? ? ? ? ? ? = ε8 1 N
? H
? ? Nn > ε<< ++ =??+ n nnn n nnn 8 1 )(2 2 1 )( 22 2 b
4
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| ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ε ε 1 lg, 1 max 2 N
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! lim n→∞ x nk+ = a
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￡ ü
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 1 Nn >?
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(2) lim n→∞ ? ? ? + 1 1 n + 1 2n + + l + ? ? ? ? + nn 1
(3) lim n→∞ ∑ + = 2 2 )1( 1 n nk k
(4) lim n→∞ 135 2 1 246 2 ??? ?? ??? ? null null () () n n b 3
1
? n n n n < ? ? ? ? ? ? ++++< 1 1 3 1 2 1 11 null D 1lim = ∞→ n n n
 V? 15 lim n→∞ 1 1 3 1 2 1 1 1 = ? ? ? ? ? ? ++++ n n null b
2
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 1lim = + ∞→ nn n n D 1 1 lim = + ∞→ n n n
 V? lim n→∞ ? ? ? + 1 1 n + 1 2n + + l + 1 1 = ? ? ? ? + nn b
3
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 V? lim n→∞ ∑ + = 2 2 )1( 1 n nk k 2= b
4
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 ? 0 12 1 lim = + ∞→ n n
 V? lim n→∞ 0 )2(642 )12(531 = ???? ????? n n null null b 9. p/  ? ￥K
 ò lim n→∞ 34 1 2 2 nn n +? + 1 ; ó lim n→∞ nnn nn 32 3 23 23 +?+ ?+ 1 ; ? lim n→∞ 3 31 3 13 n n n n + ++ + () ; ? lim n→∞ ()sin n n 2 11 2 +? π ; ? lim n→∞ nn n(+?1 ); × lim n→∞ nn n() 24 11+? + ; ? lim n→∞ 1 n n ! ; ù lim n→∞ ? ? ? ? ? ? ? 2 2 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 3 1 1 l ? ? ? ? ? ? ? 2 1 1 n
ú lim n→∞ lg n nn; ? lim n→∞ ? ? ? ? ? ? ? +++ n n 2 12 2 3 2 1 2 null b 16 3
1
 lim n→∞ 341 ∞→ = n lim 1 2 2 nn n +? + 3 1 1 14 3 2 2 = + ?+ n n n b
2
 lim n→∞ nnn nn 32 3 231+ ∞→ = n lim 23 +? ?+ 2 1 31 2 132 1 32 32 = +? +?+ nn nn n b
3
 lim n→∞ 31 3 )1(3 3 ++ + + n n n n ∞→ = n lim ? ? ? ? ? ? + + + +1 3 3 3 )1( 13 3 1 n n n n 3 1 = b
4
y1 lim n→∞ 11 2 =+ n n
 1| 2 sin| ≤ πn
 ?[ lim n→∞ ()sinn n n 2 11 2 +? π 0= b
5
 lim n→∞ nn n()+?1 ∞→ = n lim = ++ nn n 1 lim n→∞ = ++ 1 1 1 1 n 2 1 b
6
 lim n→∞ nn n() 24 11+? + )11)(11( ])1(1[ lim 24 2 22 ++++++ +?+ = ∞→ nnnn nnn n )11)(11( 2 lim 24 2 ++++++ ? = ∞→ nnnn nn n = ++++++ ? = ∞→ ) 1 1 1 1)( 1 1 1 1( 2 lim 2 4 2 n n n n n 2 1 ? b
7
 lim n→∞ 11 lg1 lg lg 2 n n +++ =?∞ null
 ?[ lim n→∞ = n n! 1 0b
8
 lim n→∞ ? ? ? ? ? ? ? 2 2 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 3 1 1 l ? ? ? ? ? ? ? 2 1 1 n 17 ∞→ = n lim = +? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 22222 )1)(1( )1( )2( 4 53 3 42 2 31 n nn n nn null lim n→∞ = + n n 2 1 2 1 b
9
 2 1lg n n nn n<<
 lim n→∞ 1 2 = n n
 ?[ lim n→∞ lg n nn= 1b
10
 ! n n n x 2 12 2 5 2 3 2 1 32 ? ++++= null
5 12 2 12 2 5 2 3 12 ? ? +++= n n n x null
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¤? nn n n x 2 12 ) 2 1 2 1 2 1 1(1 22 ? ?+++++= ? null b? ∞→n lim 2) 2 1 2 1 2 1 1( 22 =++++ ?n null
 0 2 12 lim = ? ∞→ n n n
 V? 3lim = ∞→ n n x b 10. ￡ ü
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5 b 0lim = ∞→ n n a ￡ |
?lr <<1 1lim 1 >= + ∞→ l a a n n n
 V? NnN >?? ,
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? ^ 1 1 1 0 ?? + ? ? ? ? ? ? << Nn Nn r aa b? 1 1 1 lim 0 nN N n a r ?? + →∞ ?? ???? = ?? ?? ?? ?? V? 0lim = ∞→ n n a b 11
￡ ü
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5 aa n n n = ∞→ lim b ￡ ? n n n n n a a a a a a aa 12 3 1 2 1 ? ????= null # a a a n n n = + ∞→ 1 lim
 V? aa n n n = ∞→ lim b 12. ! (aa )i
￡ ü
 lim n→∞ a n12 +++null (1) lim n→∞ 1 2 12 n aa na n ()+++null = 0
(2) lim n→∞ (! )naa a n n ? 12 1 null = 0 ( , i = 1,2,l,n)b a i > 0 18 3
1
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 nn Saaa =+++ null 21 lim n→∞ aS n =
5? V? ka nS S k k n k n == ? ∑∑ =? 11 1 k lim n→∞ 0] 1 11 [limlim 1 1 11 =?= ? ? ? ?= ∑∑ ? = ∞→∞→ = aaS nn n Ska n n k k n n n n k k b
2
? n n aaan 1 21 )!(0 null?< )2( 1 21 n naaa n +++≤ null D
1

'¤? lim n→∞ (! )naa a n n ? 12 1 null = 0b 13. X? lim n→∞ a n = a
 lim n→∞ b n b=
￡ ü
 lim n→∞ ab ab ab n ab nn n121 1 + + + = ? null b ￡ 7 nnnn bbaa βα +=+= ,
? lim n→∞ a n = a
 lim n→∞ b n b=
 V? lim n→∞ 0= n α
 lim n→∞ 0= n β b !
 + ∈? /n M n ≤β by1 += +++ ? ab n bababa nnn 1121 null ∑ = n k k n b 1 α ∑ = + n k k n a 1 β ∑ = +? + n k knk n 1 1 1 βα
 ∑ = +? ≤ n k knk n 1 1 || 1 βα || 1 ∑ = n k k n M α
 ? 0 1 lim 1 = ∑ = ∞→ n k k n n α
 0 1 lim 1 = ∑ = ∞→ n k k n n α # 0 1 lim 1 = ∑ = ∞→ n k k n n β
¤? lim n→∞ ab ab ab n ab nn n121 1 + + + = ? null b 14. ! ?  { a } ?@ n lim n→∞ aa a n n12 + + +null = a ?∞(
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 lim n→∞ a n n = 0b ￡ y1 = +++ ? ∞→ n aaa n n 121 lim null lim n→∞ a n aaa n n n = ? +++ ? ? ? ) 1 1 ( 121 null
 ?[ lim n→∞ a n n = lim n→∞ n aaa n +++ null 21 ( 0) 121 = +++ ? ? n aaa n null b 19