复旦大学：数学分析（习题全角、教学教案）：ex2-3,4



5



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(2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n a 1 log
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4

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1
 lim n→∞ = +++++ 3 2222 )12(531 n n" lim n→∞ 3 4 )1( )12( 33 2 = ?? + nn n b 21
2
 lim n→∞ ? ? ? ? ? ? ? +++++ 3 4)12(531 3 2222 n n n " ∞→ = n lim 2 3222 3 4])12(31[3 n nn ?++++ " ∞→ = n lim 22 332 )1(33 )1(44)12(3 ?? ?+?+ nn nnn ∞→ = n lim 4 36 124 = ? ? n n b 5. ?¨ Stolz? ?
￡ ü
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a >1 k ^?? ? )b ￡
1
 lim n→∞ log a n n = lim n→∞ 0 1 log = ?n n a b
2
 lim n→∞ n a k n = lim n→∞ = ? ?? ?1 )1( nn kk aa nn lim n→∞ )1( )( 1 1 ? ? ? aa nP n k
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 lim n→∞ xx yy nn nn ? ? ? ? 1 1 ∞→ = n lim ∞= ?? 1 )12()1( n n
 ? lim n→∞ x y n n n n )1(lim ?= ∞→ K?ib
2
??b I n è0 ,
xn n n =?+?++? ? 1234 1 1 " () yn n = 2 lim n→∞ xx yy nn nn ? ? ? ? 1 1 22 12 )1( lim 1 ? ? = ? ∞→ n n n n K?i
? lim n→∞ x y n n 0= b 7. ! 0
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 ?¨ Stolz ? ?
 lim n→∞ ( )aa a a nn n n ++++ ?? λλ λ 1 2 20 " n n n n n n k aakak 01 1 lim +++ = ? ? ∞→ " )1( lim 1 ? = ? ∞→ kk ak n n n n λ? = 1 a b 8. ! ,? HμKb { }1???9￥? ? ? 
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   TpK
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 lim n→∞ n nn p apapap +++ " 2211 n nnn n n n p ppAppAppA A )()()( limlim 11232121 ?? ∞→∞→ ?++?+? ?= " ?= A lim n→∞ 1 1 )( ? ? ? ? nn nnn pp ppA 0=?= AA b 23 

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1
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2
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3
 lim n→∞ n n ? ? ? ? ? ? + 2 1 1 ∞→ = n lim = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + 2 1 2 2 1 1 n n eb
4
 lim n→∞ n n ? ? ? ? ? ? + 2 1 1 ∞→ = n lim = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + nn n 1 2 2 1 1 1b
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24 (2) =x 1 2 , =x n+1 2x n , n =123,,,"
(3) =x 1 2 , =x n+1 ? + 1 2 x n ,n =123,,,"
(4) =1, =x 1 x n+1 43+ x n ,n =123,,,"
(5) 0
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! 1, =1x 1 x n+1 n x?? 1 ,n =123,,,"
(6) 0
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5 1 0 + < k x = 22 <+ k x
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 ! 20 << k x
5 1 0 + < k x = 22 < k x
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 b?20 << n x =? + nn xx 1 n x2 n x? 0)2( >?= nn xx
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4
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5 1 0 + < k x = 434 <+ k x
? ? DB,E V? n?
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? T = }{ n x ax n n = ∞→ lim x n+1 43+ x n  pK
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 !10 1 << x 10 << k x
5 1 0 + < k x = 1)2( <? kk xx
 ? ?D B,E V?
 b?n? 10 << n x =? + nn xx 1 0)1()2( >?=?? nnnnn xxxxx
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5
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 yN l ?b ! }{ n x ax n n = ∞→ lim
 ? T =x n+1 n x n n 32 2 + +  pK
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? ^ 0=a
yN lim n→∞ 2 3 3 5 4 7 1 21 0??? ? + + =" n n b
2
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0> n x 1 1 1 1 > ? ? ? ? ? ? += + n n n nx x
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 yN l ?b ! }{ n x ax n n = ∞→ lim
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 12 12 ?> +n x
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 =? + nn xx 222 =? + + n n n x x x 2 2 2 25 2 0 5 )12)(12(2 2 22 > + +++?? n nn x xx
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 5
 P¤Sx ∈? 2 axa <<? 22 ε
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 0}, 3 1 min{ 23 >?= xaε
5 Sx ∈? 3
 P¤ axa <<? 33 ε
? 3322 )( xaxaax <?≤??= ε
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5
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