复旦大学：数学分析（习题全角、教学教案）：ex4-4

70 

5



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 ò yxx=?+()21 22
ó yx x = esin 2 3
? y x = + 1 1 3
? y x x = ln
? yx= sin 3
× yx= cos
? yx xx=+? ++11ln( )
ù y x = ? arcsin (e ) 2
ú ? ? ? ? ? ? ?= 2 2 1 ln x xy
? y xx = + 1 2 22 (sin)
ü y x xx = + ? 1 1 2 2 ln
Y y x x = +1 2 csc
T y xx = ? + + 2 21 3 31 2 3 3 4
? y x = ? e sin 2
à yxa x x ax =?+ ? 22 22 . 3
1
 )14)(12(2)'12)(12(2' 222 ?+?=+?+?= xxxxxxxy b
2
 )3sin23cos3(3sin)'()'3(sin' 222 xxexexey xxx +=+= b
3
 2 3 323 2 3 3 )1( 2 3 )'1()1( 2 1 ' ?? +?=++?= xxxxy b
4
 2 1 2 ' 2 1 ln2 ln1ln ln2 1 ' ? ? ? ? ? ?? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = x x x x x x x x y b
5
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6
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7
 1 ( 1)' ( 1)' ' 2 11 xxx y xxx +++ =? ? +++ = 1121 2121(1) x x xx x ++ ? + +++ = 11 21 ( 1 ) xx x xx ?? + + ++ b
8
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9
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10
 2 23 2(2 sin )' ' (2 sin ) x x y x x ?+ = + = 32 )sin2( )cos4(2 xx xx + +? b
11
 2222 22 (1 ln ) ' 1 (1 ln )( 1 ) ' ' (1 ) x xx xxx y xx +??+? = ? = 2 3 22 222 )1( )21)(ln1(ln)1(2 xx xxxx ? ?+?? b
12
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13
 3 234 '( )'( )' 21 31 y xx =+ ?+ 4 5 232 3 4 11 2( )(2 1) (4 ) 3( )(3 1) (9 ) 34 x xxx ? ? =? ? +? + 4 5 223 3 4 827 (2 1) (3 1) 34 xx x x ? ? =? ? ? + b
14
 2 sin 2 'e (sin )' x yx ? =? 2 sin sin 2 x xe ? =? ? b 72
15
 22 22 () '( )' x ax x y ax ?+ = ? 22 22 22 223 1 (1)()(2) 31 2 () x ax x ax ax ax ?+???? ?+ =+ ?? 42242 3 22 2 23 () x ax a a ax ?++ = ? b ? p/ f ?￥? ?
 ò yx= ln sin
ó )cotln(csc xxy ?=
? ? ? ? ? ? ? +?= a x axaxy arcsin 2 1 222
? yxxa=++ln( ) 22
? yxxaaxxa=??+? 1 2 22 2 22 (ln(). 3
1
 1 '(sin)'cot sin yxx x ==b
2
 (csc cot ) ' ' csc cot xx y x x ? == ? 2 cot csc ( csc ) csc csc cot xx x x xx ??? = ? b
3
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4
 22 22 ()' ' x xa y x xa ++ = ++ 22 22 2 1 2 x x a x xa + + = ++ 22 1 x a = + b
5
 22 22 22 2 22 1()' '[' ( )' ] 2 xxa yxxaxxaa xxa +? =?+?? +? 22 22 2 22 22 1 1 2 x x x a xax a x axxa ?? + ?? ?? ? =?+ ?? ?? ?+ ?? ?? = 22 ax ? b à ! fx() V?
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? )(tanarc xf
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1
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2
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4
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5
 222 [(( )]' '(( )[( )]' xxx f fe f fe fe= 222 '(())'()()' xxx f fe f e e= = ))((')('2 222 xxx effefxe b
6
 [sin ( (sin ))]' cos( (sin ))( (sin )) 'fx fxfx= cos( (sin )) '(sin )(sin )'fxf xx= = xxfxf cos)(sin'))(sincos( b
7
 111 ' () () () ff f xfxfx ′ ′ ?? ?? ???? = ???? ???? ?? ???? ?? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? )( 1 ' )( )(' 2 xf f xf xf b
8
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 ò yx x =
ó () x xxy 1 3 sin+=
? yx x = cos
? yx x = +ln ( )21
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× yxx i i n =? = ∏ () 1
? yx x = sin . 3 ?? ' (ln )' y y y =
 ?[ '(ln)'yyy= b
1
 ln lnyxx= , ' (ln ) ' [ 'ln (ln ) '] (1 ln ) x yyy yxxxx x==+=+b
2
 () 3 1 ln ln sinyxx x =+
 ()() 33 11 ' (ln ) ' ln sin ln sin 'yyy y x x x x xx ?? ′ ?? ?? ?? == ++ + ?? ?? ?? ?? ?? = ? ? ? ? ? ? + ? + + + 2 3 3 2 1 3 )sinln( )sin( cos3 )sin( x xx xxx xx xx x b
3
 ln ln cosyx x=
 ' ( lncos )' [ 'lncos (lncos )']yyx x yx xx x==+=( ) xxxx x costancosln ? b
4
 ln ln ln(2 1)yx x=+
 ' [ 'ln ln(2 1) (ln ln(2 1)) ']yyx x x x=+++ = )12(ln )12ln()12( 2 )12ln(ln + ? ? ? ? ? ? ++ ++ x xx x x x b
5
 23 11 ln ln ln(1 ) ln(1 ) 22 yx x x=+ ?? +
 23 11 ' [(ln )' (ln(1 )) ' (ln(1 ))'] 22 yy x x x=+??+ = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? + ? )1(2 3 1 1 1 1 3 2 2 3 2 x x x x x x xx b
6
 1 ln ln( ) n i i yxx = =? ∑
 75 1 '[ln'( )] n i i yy xx = =? ∑ = ∏ ∑ = = ? ?? n i n i i i xx xx 1 1 1 )( b
7
 7 ,ln ln x ux u xx==
5 ln 1 2 ln '[()'ln (ln)']( )( ) 22 x x uux x xx u u x xx + =+=+=
? ^
 '(sin)'()'yuu= = xx xx x x cos 2 ln2+ b ? / ?f ?p dy dx
 ò yxy tanarc+=
ó yx y + =e1
? xyyx?=?cos sin
? xy y? + =ln( )10
? exy xy 2 2 0 + ?=
× 0)tan( =?+ xyyx
? 20yxxysin ln+ =
ù xy axy 33 30+ ? = . 3
1
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 3¤ 'y = 2 2 1 y y+ b
2
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 3¤ 'y = y y xe e + ? 1 b
3
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 xp?
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 3¤ 'y = yyxy xy sincos)(sin2 )(sin21 ?? ?+ b
4
? T H xp?
¤? 1 ''[ln(1)]' ' '0 1 xy xy y y xy y y + ?+=+? = +
 3¤ 'y = xyx yy ?? + 1 2 b
5
? T H xp?
¤? 22 22 2 ( ) ' ( ) ' (2 ') ( 2 ') 0 xy xy e x y xy e x y y xyy ++ +? = +? + =
 3¤ 2 2 2 2 ' 2 xy xy xey y exy + + ? =? ? b
6
? T H xp?
¤? 22 sec ( )( )' ( )' sec ( )(1 ') ( ') 0xyxy xy xy y yxy++?= ++?+=
 3¤ 2 2 sec ( ) ' sec ( ) x yy y x xy +? = ?+ b
7
? T H xp?
¤? ' 2'sin 2(sin)'(ln)' 2'sin 2cos ln 0 y yxyxxy yxyxyx y ++=+++?=
 3¤ 77 2 2cos ln ' 2sin yxyy y x yx + =? + b
8
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¤? 22 22 33'3'3'3( ' ')0x y y ax y axy x y y ay axy+??=+??=
 3¤ 2 2 ' ay x y yax ? = ? b 6
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5 00 ()() ()() '( ) lim lim xx f xxfx fxxfx fx x x ?→ ?→ ?+??? ??? ?= = ?? 0 (( ) () lim '( ) () x fx x fx f x x ?? → +?? ? =? =? ?? b
2
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5 00 (( ) ) ( ) ( ) ( ) '( ) lim lim '( ) xx f x T x fx T fx x fx f xT fx x x ?→ ?→ ++?? + +?? += = = ?? b 7
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' 78 230xy+?=
 ELZ?1 12( 1)yx?= ?
' 210xy??=b 8
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1
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2
 22 '13 3 1 '2 2 dy y t t dx x t t ? ? == = ? b
3
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4
 2 ' '( ) t t t dy y be b e dx x ae a ? == =? ? b
5
 2 2 '3sincos '3cos(sin) dy y a t t dx x a t t == ? = ttan? b
6
 'sh 'ch dy y b bt dx x a at == b 79
7
 12 12 '(1 )' 1 '(1 )' dy y t t dx x t t ?? ?? +? == = =? ? b
8
 1 '1 21 1 21 dy y t t dx x t t ? + ? == =? ? + b
9
 22 2 22 2 ' 2 sin 2sin cos (sin cos ) tan ' 2 cos 2cos ( sin ) sin cos tt dy y e t e t t t t t dx x e t e t t t t ?? ?+ ? == = ? + b
10
 2 2 1 1 ' 1 2 '2 1 dy y t t t dx x t ? + == = + b 9
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 3 2 1 2 t tt y + ? = D 1=t ?￥?)￥ML?ELZ ?b 3 | 1t = }?? ?Z?
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 23 23 3 22 32 32 (2 ) '(1 ) (2 )(1 ) ' (2 2 )(1 ) (2 )3 '( ) (1 ) (1 ) tt t tt t t t tt t yt tt ?+??+ ?+?? == ++ 34 32 22 4 (1 ) ttt t ?? + = + b ? ^ 34 34 22 4 22 4 dy t t t dx t t t ?? + = +? ? b ? 1t = H
 3 4 3 1 4 dy dx ? == ?
 ?[MLZ?1 80 31 3( ) 3 4 22 yx x=?+=?
 ELZ?1 131 () 1 3223 x yx=? ? + =? + b 10
 !Z? ? ? ? ? ? =+? ++= .0 2 sin ,123 2 π yyt tte x ?? y1 x￥f ?
? t1?M 
p 0=t dx dy b 3 | 0t = }?? ?Z?
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' 0, 2 xy π = = b  ?Z?￥   tp?
¤? '6 2, sin cos ' ' 0, x ex t yt yy y ? =+ ? +??= ? | 0t = }?
3¤ '(0) 2, '(0) 1xy==b ?[ 0 2 2 1 t dy dx = ==b 11. ￡ üwL ? ? ? ?= += ).cos(sin ),sin(cos tttay tttax ?B?￥EL?e?￥  ??? ||a b ￡ ?¨? ?? T ?V U￥f ?￥p? T
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7 yfu= () u 0 ) V?
? ugx= () x 0 )? V?
 yfu= () u 0 )9? V?b 3
1
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2
 22 00 ( ) | |, ( ) , 0, 0, ( ( )) | |ugx xfu ux u yfgx x x== = === ==b
3
 ( ) max{0, }, ( ) min{0, }gx x fu u==
5 ugx= () 0 0x = )? V?
 yfu= () 0 (0) 0ug==)9? V?
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1
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2
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3
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4
 () log ( ) hu dgu 2 ln ( ) [ln ( )]'ln ( ) ln ( )[ln ( )]' ln () ln () gu gu hu gu hu dd hu hu ? == 2 () '()ln () '()()ln () '( ) ()()ln () hug u hu h ugu gu x dx hugu hu ? ? = b
5
 () arctan () f u d hu ?? ?? ?? 2 22 () () '()() ()'() '( ) () () () 1 () fu hu fuhu fuhu du x dx fu hu fu hu ? ′ ?? ?? ? ?? == + ?? + ?? ?? b
6
 22 1 () () d f uhu+ 22 33 22 22 22 () () () '() ()'() '( ) 2( () ()) ( () ()) fu hu fuf u huhu du x dx fu hu fu hu ? ′ ??+ + ?? =? =? ++ b