§ 4 拱坝的应力分析
? 要求：
? ① 地基变形：掌握力与地基变位的对应关系 。
? 了解伏格特法的基本思路 。
? ② 应力计算：掌握纯拱法和拱冠梁法 。
? 了解多拱梁法的基本原理 。
一 >方法综述,
? 前面我们讲过, 拱坝是一个变厚度, 变曲率的,
边界条件荷载条件均特别复杂的一个空间整体的壳体
结构, 要想求出满足平衡, 边界, 几何, 物理及相容
方程的精确解答是不可能的 。 下面我们所讲的均只能
是一些近似处理办法 。 根据处理问题的出发点不同,
拱坝应力分析方法大致可分为以下的几种：
? 计算方法, 1,杆件结构计算方法：
? 单向杆件有圆筒法和纯拱法
? 双向杆件有多拱梁法和拱冠梁法
? 2,FEM
? 3,壳体理论
? 试验方法, 石膏模型
?
? 本课程只讲杆件结构计算法, 在讲该方法
之前, 我们先看一下, 拱坝受力后, 描述一个
空间点的受力状态需要几个内力 。
? 共计 12个力
单向杆件法：
? 假 定：坝体由多个独立的拱圈迭置在一起构成 。
每层拱圈都能单独抵抗相应的外荷载 。
? 圆筒法：认为圆拱圈是薄壁圆筒的一部分
? 用圆筒公式计算截面正应力 。
? 该方法只能近似的给出 12个内力中的一个 H
? 只能考虑径向荷载 。
? 适宜：尺寸初选
? 纯拱法：拱圈按弹性固端拱计算
? 与结构力学中所讲的拱的区别在于：
? 1,不能忽视 Q,H对变形的影响 。
? 2,地基变形用伏格特法 。
? 该方法可以给出三个内力, 即 H,Vr,Mz。
? 可以考虑径向荷载, 温度荷载和地基变形 。
? 适于：狭窄峡谷中的薄拱坝 （ 分层砌筑的拱坝 ）
双向杆件法：
? 假定：
? ① 将拱坝看成是许多水平拱圈和垂直的悬臂梁组成 。
? ② 荷载部分由拱承担, 部分由梁承担 。
? 其荷载分配由其交点处的变位一致条件来决定 。
? ③ 拱的应力根据拱承担的荷载按纯拱法计算
? 梁的应力按变截面弯曲悬臂梁来计算 。
? 由上可以看出, 该方法关键是荷载分配的求解 。 根据其
求解方法的不同, 又可分为许多种方程, 总的来说可分成：
? 试荷载法,人为的将载荷分成两部分,
? 分别加在拱梁上, 计算交点的变位,
? 如变位一致则划分正确, 否则修改, 再校检 。
? 解联立方程法：建立变位一致方程组, 求解该方程组 。
? 拱梁法可以分成许多种：如
? 力法 以荷载为未知数,
? 分载位移法 以节点位移为未知数,
? 内力平衡分载法等
? 又可以根据位移变位一致的个数分成：
? 三向, 四向, 五向, 全调整等 。
? 双向杆件：当考虑多拱多梁时, 是多拱梁法 。
? 考虑多拱单梁时, 是拱冠梁法 。
? 双向杆件可以考虑所有荷载, 拱冠梁法可
以考虑 6个内力, 多拱梁法可以考虑 6个以上的
内力 。
我国拱坝规范规定的应力计算方法：
多拱梁法
中, 小型工程或设计初级阶段
可以用 拱冠梁法 。
对结构新颖或大型或地基条件特别复
杂的工程应辅于 FEM或结构模型试验 。
二 >地基变形计算：
? （ 1） 概述
? 拱坝是一个高次超静定的空间壳体结构, 坝体受
荷载后, 将传给地基, 地基在坝体的力的作用下, 必
然要产生变位, 该变位反过来影响坝体的受力, 变形
及坝肩稳定 。 因此拱坝的地基变形的计算是一个很重
要的课题 。 但由于坝体受力的复杂性以及地基的物理
力学指标的复杂性, 要想精确计算坝基变形量是不可
能, 只能做近似处理 。 现在有的办法有：
? F.Vogt方法
? 延长坝高法
? FEM法
地基变形计算方法
? F.Vogt方法,是借助半无限弹性体受集中力作用下的理论解为依据导出的 。
? 延长坝高法,是将坝体沿周边添加一定的长度 。
? 在延长的部分用坝体尺寸代替坝基,
? 其上作用水荷等, 用延长的坝体的变形代替
? 原地基的变形, 该方法关键是坝体延长的长度 。
? FEM法,随着坝基条件越来越复杂, 地基变形越来越受地基缺陷的控制
? 使传统的方法一般只能考虑均匀地基, 而不能考虑各种构造的
? 影响, 因此, 如何考虑复杂地基的变形是近来水工研究人员的
? 一个重要课题 。
? 现在所能采用的方法为：
? 综合弹性模量法,即用 FEM先计算出地基所谓综合弹性 。
? FEM与多拱梁法的耦合法,成勘院已经编制了有关程序，
? 但仍处于研究阶段，没有达到实用程序。
（二） F.Vogt方法基本概念：
1） 拱坝作用在坝基上的力
任一个断面共计六个力：即三个力, 三个矩 。
其变位也有六个,△ r,△ s,△ z,θ z,θ s,θ r
Vs
θ
Nz
Vr
Mz
Mr Ms
2）变位系数：
? 定义,均匀, 连续各向同性的半无限弹性体
表面 （ a× b） 范围内受均匀力时, （ a× b） 范围
内的平均变位, 即伏格特早在 1925年推导出的变
位系数, 其荷载强度为单宽上力为单位力 1。
? ①如在均匀法向力作用下，其变形为虚线所示，取其平均
值，则为：
?
f
2
E
k'??
k2可由 b/a,μ 查
② 在均匀弯矩
?
?
?
?
?
?
?
??
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TE
Ks
"
TE
k
'
f
2
f
1
b
a
b
I I
?
?
?
?
?
?
?
?
?
TE
K
TE
K
f
L
L
f
L
L
5
2
1
"
'
?
?
由 b/a,μ 查
由 b/a, μ 查
?
?
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?
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TE
K
"
E
K
'
f
5
f
3
r
TE
K
E
K
f
f
5
3
"
'
?
??
?
??
?
?
③ 剪力
由 b/a,μ 查
由 a/b, μ 查
④ 扭矩 Mz
2
f
4
TE
K
' ??
由 b/a,μ 查
3）力与变形的关系如下：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
Mr
Vs
Mz
Vr
Nz
Ms
'"
"'
'
'"
'
"'
r
s
z
z
s
4）变位系数在拱坝中的应用：
? 变位系数是在半无限体表面 （ a× b） 矩形内受
力的平均变位而拱坝坝基的表面：
? I,不是一个平面, 且形状不规则
? Ii,拱坝所要知道的是：单位宽度上力与其变位的关系 。
? Iii,坝体给地基的力在各点不相同, 而且互有影响, 即要
求 A断面的变位除了本断面上所受的力有影响外, 其它点
所受的力对该点也有影响
? Iv,由于岸坡倾斜, 所知道的力与坝基面不正交 。
? 因此要想利用变位系数来解决拱坝的地基变形
需要有一些假定及变换，即书上 P161.1.2.3
① 假定
a）等量矩形代替不规则坝基面：
具体方法：
R1 φ 1
R2 φ 2
R3 φ 3
R4 φ 4
R5 φ 5
L4
L3
L2
L1
L5
b/2
要求,Ⅰ, a× b=原面积；
Ⅱ, Tmin≤ a≤ Tmax。
? b） （ T× 1） 范围内受力后的变形相当于
（ T× b`） 受力后的变形：
用该办法来考虑其它各点受力后
对该点的影响
?
c）不考虑库水压力对地基变形的影响。
② 两岸倾斜时
已知力 H,Mz,V，求 △ s,△ r，△ z。
求解步骤：
I、将单位铅直面上的力向斜面投影成正交和相切的力
V
MzH
1
Δ r θ z
Δ s
Mzcos φ
1/cos
φ
Hcos φ
V
φ
H
Mz
φ
Mzsin φ
φ
Hsin
Mzsin φ cos φ
Mzcos φ2
Vcos φ Hcos φ2
Hsin φ cos φ
Ⅱ,求斜面单
位宽度上力的
大小，即：
Ⅲ,求斜面上的变位
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
?
0
c o ss i nH
c o ss i nMz
c o sV
c o sH
c o sMz
'"
"'
'
'"
'
"'
'r
's
'z
'
'z
's
2
2
Ⅳ,将基表面上的变位向铅直面投影：
θ s'
θ z'
Δ z'
Δ r'
θ z
Δ s'sin φ
Δ s'
Δ z'
φ
Δ s'
Δ s'
Δ r
φ
φ)co s'co ss i n'(
H
)co sH'co ss i nH'(
)co s'zs i n'S(S
32
32
?????????
???
?????????
????????
VMzc o sV'c o sMz"'rr 22 ?????????????
???? 22 c o s"
???? c os'
φ
θ s'cos φ
φ
θ z'sin φ
????????
????
??????????
???????
32
2z
23
z
2
z
c o s'c o ss i n'
VM
c o sV"c o sM'c o ss i nM'
c o s'ss i n'zz
③ 两岸倾斜时梁底变位的求解：
计算方法和步骤同拱端，详细推导自己做，结果书上有。
三）纯拱法：
? （ 一 ） 概述
? 1) 假定：
? ① 拱坝由相互独立的拱圈组成 。
? ② 一般只考虑径向荷载和温度荷载, 荷载全部由拱承担 。
? ③ 沿坝高均匀地取 5～ 7层单独高度的拱圈
? 按弹性固端拱计算内力及应力, 作为整个拱坝的代表 。
? 2) 区别：
? 此处所讲的拱与结力中所讲的拱的区别在于：
? ① 由于 V,H较大, 要考虑其对变形的影响 。
? ② 考虑地基变形影响, 考虑方法按由伏格特法 。
? 3) 优点：
? 计算简便, 概念明确, 同时也是拱梁法的基础 。
? 4) 缺点：
? 只能计算坝体的三个内力, 不合实际 。
? 5) 适于：
? 狭窄河谷的薄拱坝, 分层砌筑的砌石拱坝 。
? 6) 具体作法：
? ① 按基本公式求解内力, 变形及应力 。
? ② 按简约法查表求解内力, 变形及应力 。
7) 符号规定：
? 见 P164 图 4－ 25
? ① 内力：
? a,轴力：受压为正
? b,剪力,左半拱：使脱离体逆时针旋转为正
? 右半拱：使脱离体顺时针旋转为正
? c,弯矩：以拱下游面受拉为正
? ② 变位：
? a,径向：向上游
? b,切向：向左岸为正
? c,转角：逆时针转
? ③ 坐标系
? x:指向右岸
? y:指向下游
? θ,以 y轴为界反时针为正, 顺时针为负
④ 静定内力：即在基本结构上作用外
荷时产生的内力的方向
ML：上游面受拉为正
HL：受压为正
VL：与 V相反
ML
HL
VL
（二）基本公式法：
? 结力弹性固端拱求解方法：
? 在我们这里：由于要考虑地基变形及 H,V的
影响，弹性中心不易求得，而位移法在此也
有一定的限制。同时考虑到本公式的通用性，
选用最基本的力法求解。
?
?
?
位移法
弹性中心法力法：
②
—①
结力力法求解步骤为：
? 去约束成静定结构, 加超静定力, 求超
静定力对它的变位, 利用变位协调求超
静定力 。 具体到我们这里则为：
? 1,取基本结构, 设想在任意截面处切
开, 将拱圈分成左, 右半静定拱, 切开
处用超静定力 M0,H0,V0代替 。
2、求静定结构的内力：
N0
V0
结构：悬臂曲梁
荷载：
?
?
?
?
?
温度荷载
，，超静定力：
外荷载
000 VHM
以左半拱为例 H0
ψ
ψ
yHM
s inHV
c o sHH
0
0
0
?
??
??
ψ
ψ
xVM
c o sVV
s inVH
0
0
0
?
??
???
0VH
0MM
??
?
0VHM ???
温荷
⑤ 外荷载产生的静定内力 ML,HL,VL
以圆弧拱受均匀荷载 P为例：
ψ
r
Rn
?
?
?
?
?
?????
????
??????
s i nPRVV
)c o s1(PRHH
)c o s1(rPRMM
nL
nL
nL
则内力为①～⑤项之和，因此有：
?
?
?
?
?
????
?????
????
L00
L00
L000
Hc o sVs i nHV
Hs i nVc o sHH
MxVyHMM
＝
同理，可以求出右半拱的内力。
3) 求切开处的变位：
静定结构变位的求解方法有很多，在我们这里采用以虚功
原理为基础的单位荷载法来讲：
求任意一点任何方向的位移，可在该点施加单位力，该单
位力产生的内力为
则位移为：
KAAAKKAAkp
kpkp
kp NSQMQdsGA
QkQds
EA
NNds
EI
MM ?????????? ?? ?’
kkk N,Q,M
如以左半拱为例求转角 ∠ θ 0
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
0QN
1M
0NQ
1M
KAKA
KA
KK
K
代入上式则得：
10101010
L2LA
L
1
A2A1
A2A1
１
2LA0A0
LA00
L000
2AA
L000
A
D-VCHBMA
VMds
EI
M
D
c o sx
EI
x d s
C
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EI
y d s
＝Ｂ
EI
ds
Ａ
)Vc o sVs i n(H
)MyHM(ds
EI
M
ds
EI
xV
ds
EI
yH
ds
EI
M
VMds
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MxVyHM
ds
EI
M
?????????
???????
???????
??????
????
???????
?????????
????
???
?
?????
?
?
?
?
????
?
?
则
令：
＝
同时可以求出左半拱的切向和径向变位为：
?
?
?
???????????
???????????
30203010
20202010
DVBHBMBS
DVCHBMC
采用相同的办法也可以求出右半拱的三个变位为：
?
?
?
?
?
?????
??????
???????
30203010
20202010
10101010
RDVRBHRBMRBSR
RDVRCHRBMRCR
RDVRCHRBMRAR
4) 列变位一致方程，即：
?
?
?
?
?
????
??????
??????
00
00
00
SRS
R
R
5) 解方程, 则可求超静定力 M0,H0,V0
如果拱圈形状左右对称，则有 C1=0,B2=0，
则超静定力为：
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
0
2
131
1131
0
2
131
1331
0
C
D
V
BBA
DBDA
H
BBA
BDBD
M
如果荷载也对称，
则有 D2=0
6) 求任一截面的内力
将 M0,H0,V0代入前面所推的公式，
则可以求出任一截面的内力。
7) 求任一截面的应力：
一般：采用偏心受压公式：
2T
M6
T
H ???
对厚拱，即：
3
1
0R
T ?
时，应考虑曲率的影响，其公式见书上 (4－ 23)式。
至此，拱圈的变形、内力、应力便已求得。
四．拱梁法的基本原理
1） 拱坝微元体的受力情况,两个面,12个内力
2） 拱坝中一个空间点的变位,6个
3）拱梁法的力学基础。
（ 1）如图所示一拱坝。
从中取出一个薄片即拱
的脱离体出来。在该脱
离体上施加原荷载以及
切割面上用力代替。则
可以得到图示的隔离体
在切割面上的力及外荷
载的共同作用下，按弹
性固端拱计算该脱离体
的内力、变形。显然只
要内力施加正确，显然
正确。将外荷载与切割
面上的力合成，则叫拱
荷载 {Pa}。
(2)同理如上从拱坝中
切出一梁的隔离体。在
该隔离体施加外力，以
及切割面上的内力。按
弹性固端梁计算该梁。
显然也可以解得真实的
内力及变形。将外荷载
与切割面上的力合成，
则为该梁承担的荷载
{Pb}。
（ 3）共轭点变位一致
? 按前述两种方法, 都可以求得相交点的真实变位 。 既
然是真实变位, 由于他们是空间中的同一个点, 因此
二者必然一致 。
? 反过来，如果将拱坝分割成拱梁系统，并在各种
切割面上施加某种内力系。调整这些内力系使拱及梁
两套系统在外荷载及内力系作用下，共轭点变位一致。
根据弹性力学中唯一解原理可知，其所加的内力系一
定代表切割面上真正应力的影响。所求出的拱梁应力
及变位就是拱坝的真实解答。
? （ 4） 因此试载法的基本原理是：
? 以独立的拱或梁所受的合成荷载为未知数，沿着
拱梁两种不同的途径求同一点的变位，再根据变位一
致条件，求解荷载分配，然后分别求拱梁应力等。
4）拱梁法具体实施有两种途径：
试载法
解方程法。
两种方法首先均是划分拱梁系统。
一般常用 7拱 13梁，对于对称拱坝可只取一半计算。
试载法
人为将荷载分为拱荷和梁荷。分别计算拱梁共轭点
处的变位。检查共轭点变位是否一致。如不一致，调整
荷载，直至基本一致为止。
解方程法
以梁荷或拱荷为未知量，分别按拱梁系统将拱梁共轭
点的变位用未知数表示出来，然后由变位一致条件解出
未知数。
5）变位一致有主次
（！）内力的主次
如前所述空间点有 12个内力。但对拱坝最重要的只有 6
个。即：
扭矩可以合并
Vz.Qs.二个 Mr一般较小。
（ 2）变位的主次
在 6个变位中以 Δ r最大，其次是 Δ s,θ s,θ z。
Δ Z,θ r一般较小。
（ 3）变位一致的个数
? a,全调整 。
– 因一点有 6个变位 。 因此在拱或梁中也有 6种荷
载 。 在一点应有 6个未知数 。 且通过 6个变位一致解
出 6个未知数 。 这就是所谓的 6向全调整 。
? b,三向调整法
– 在 6个变位中, △ r,Δ s,θ z,θ s是主要的, θ r，
Δ z是次要的 。 因此可以忽略 θ r,Δ z方向的变位
一致 。 同时在壳体中, θ z,θ s具有一定的关系,
不是独立的 。 因此 θ s可用 θ z表示 。 这样, 在进行
变位调整时, 就只需要 3个参数,△ r,Δ s,θ z。
即三向调整法 。
? C,四向, 五向调整法等 。
? 要求：
? ① 地基变形：掌握力与地基变位的对应关系 。
? 了解伏格特法的基本思路 。
? ② 应力计算：掌握纯拱法和拱冠梁法 。
? 了解多拱梁法的基本原理 。
一 >方法综述,
? 前面我们讲过, 拱坝是一个变厚度, 变曲率的,
边界条件荷载条件均特别复杂的一个空间整体的壳体
结构, 要想求出满足平衡, 边界, 几何, 物理及相容
方程的精确解答是不可能的 。 下面我们所讲的均只能
是一些近似处理办法 。 根据处理问题的出发点不同,
拱坝应力分析方法大致可分为以下的几种：
? 计算方法, 1,杆件结构计算方法：
? 单向杆件有圆筒法和纯拱法
? 双向杆件有多拱梁法和拱冠梁法
? 2,FEM
? 3,壳体理论
? 试验方法, 石膏模型
?
? 本课程只讲杆件结构计算法, 在讲该方法
之前, 我们先看一下, 拱坝受力后, 描述一个
空间点的受力状态需要几个内力 。
? 共计 12个力
单向杆件法：
? 假 定：坝体由多个独立的拱圈迭置在一起构成 。
每层拱圈都能单独抵抗相应的外荷载 。
? 圆筒法：认为圆拱圈是薄壁圆筒的一部分
? 用圆筒公式计算截面正应力 。
? 该方法只能近似的给出 12个内力中的一个 H
? 只能考虑径向荷载 。
? 适宜：尺寸初选
? 纯拱法：拱圈按弹性固端拱计算
? 与结构力学中所讲的拱的区别在于：
? 1,不能忽视 Q,H对变形的影响 。
? 2,地基变形用伏格特法 。
? 该方法可以给出三个内力, 即 H,Vr,Mz。
? 可以考虑径向荷载, 温度荷载和地基变形 。
? 适于：狭窄峡谷中的薄拱坝 （ 分层砌筑的拱坝 ）
双向杆件法：
? 假定：
? ① 将拱坝看成是许多水平拱圈和垂直的悬臂梁组成 。
? ② 荷载部分由拱承担, 部分由梁承担 。
? 其荷载分配由其交点处的变位一致条件来决定 。
? ③ 拱的应力根据拱承担的荷载按纯拱法计算
? 梁的应力按变截面弯曲悬臂梁来计算 。
? 由上可以看出, 该方法关键是荷载分配的求解 。 根据其
求解方法的不同, 又可分为许多种方程, 总的来说可分成：
? 试荷载法,人为的将载荷分成两部分,
? 分别加在拱梁上, 计算交点的变位,
? 如变位一致则划分正确, 否则修改, 再校检 。
? 解联立方程法：建立变位一致方程组, 求解该方程组 。
? 拱梁法可以分成许多种：如
? 力法 以荷载为未知数,
? 分载位移法 以节点位移为未知数,
? 内力平衡分载法等
? 又可以根据位移变位一致的个数分成：
? 三向, 四向, 五向, 全调整等 。
? 双向杆件：当考虑多拱多梁时, 是多拱梁法 。
? 考虑多拱单梁时, 是拱冠梁法 。
? 双向杆件可以考虑所有荷载, 拱冠梁法可
以考虑 6个内力, 多拱梁法可以考虑 6个以上的
内力 。
我国拱坝规范规定的应力计算方法：
多拱梁法
中, 小型工程或设计初级阶段
可以用 拱冠梁法 。
对结构新颖或大型或地基条件特别复
杂的工程应辅于 FEM或结构模型试验 。
二 >地基变形计算：
? （ 1） 概述
? 拱坝是一个高次超静定的空间壳体结构, 坝体受
荷载后, 将传给地基, 地基在坝体的力的作用下, 必
然要产生变位, 该变位反过来影响坝体的受力, 变形
及坝肩稳定 。 因此拱坝的地基变形的计算是一个很重
要的课题 。 但由于坝体受力的复杂性以及地基的物理
力学指标的复杂性, 要想精确计算坝基变形量是不可
能, 只能做近似处理 。 现在有的办法有：
? F.Vogt方法
? 延长坝高法
? FEM法
地基变形计算方法
? F.Vogt方法,是借助半无限弹性体受集中力作用下的理论解为依据导出的 。
? 延长坝高法,是将坝体沿周边添加一定的长度 。
? 在延长的部分用坝体尺寸代替坝基,
? 其上作用水荷等, 用延长的坝体的变形代替
? 原地基的变形, 该方法关键是坝体延长的长度 。
? FEM法,随着坝基条件越来越复杂, 地基变形越来越受地基缺陷的控制
? 使传统的方法一般只能考虑均匀地基, 而不能考虑各种构造的
? 影响, 因此, 如何考虑复杂地基的变形是近来水工研究人员的
? 一个重要课题 。
? 现在所能采用的方法为：
? 综合弹性模量法,即用 FEM先计算出地基所谓综合弹性 。
? FEM与多拱梁法的耦合法,成勘院已经编制了有关程序，
? 但仍处于研究阶段，没有达到实用程序。
（二） F.Vogt方法基本概念：
1） 拱坝作用在坝基上的力
任一个断面共计六个力：即三个力, 三个矩 。
其变位也有六个,△ r,△ s,△ z,θ z,θ s,θ r
Vs
θ
Nz
Vr
Mz
Mr Ms
2）变位系数：
? 定义,均匀, 连续各向同性的半无限弹性体
表面 （ a× b） 范围内受均匀力时, （ a× b） 范围
内的平均变位, 即伏格特早在 1925年推导出的变
位系数, 其荷载强度为单宽上力为单位力 1。
? ①如在均匀法向力作用下，其变形为虚线所示，取其平均
值，则为：
?
f
2
E
k'??
k2可由 b/a,μ 查
② 在均匀弯矩
?
?
?
?
?
?
?
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TE
Ks
"
TE
k
'
f
2
f
1
b
a
b
I I
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?
?
TE
K
TE
K
f
L
L
f
L
L
5
2
1
"
'
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由 b/a,μ 查
由 b/a, μ 查
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TE
K
"
E
K
'
f
5
f
3
r
TE
K
E
K
f
f
5
3
"
'
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??
?
?
③ 剪力
由 b/a,μ 查
由 a/b, μ 查
④ 扭矩 Mz
2
f
4
TE
K
' ??
由 b/a,μ 查
3）力与变形的关系如下：
?
?
?
?
?
?
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Mr
Vs
Mz
Vr
Nz
Ms
'"
"'
'
'"
'
"'
r
s
z
z
s
4）变位系数在拱坝中的应用：
? 变位系数是在半无限体表面 （ a× b） 矩形内受
力的平均变位而拱坝坝基的表面：
? I,不是一个平面, 且形状不规则
? Ii,拱坝所要知道的是：单位宽度上力与其变位的关系 。
? Iii,坝体给地基的力在各点不相同, 而且互有影响, 即要
求 A断面的变位除了本断面上所受的力有影响外, 其它点
所受的力对该点也有影响
? Iv,由于岸坡倾斜, 所知道的力与坝基面不正交 。
? 因此要想利用变位系数来解决拱坝的地基变形
需要有一些假定及变换，即书上 P161.1.2.3
① 假定
a）等量矩形代替不规则坝基面：
具体方法：
R1 φ 1
R2 φ 2
R3 φ 3
R4 φ 4
R5 φ 5
L4
L3
L2
L1
L5
b/2
要求,Ⅰ, a× b=原面积；
Ⅱ, Tmin≤ a≤ Tmax。
? b） （ T× 1） 范围内受力后的变形相当于
（ T× b`） 受力后的变形：
用该办法来考虑其它各点受力后
对该点的影响
?
c）不考虑库水压力对地基变形的影响。
② 两岸倾斜时
已知力 H,Mz,V，求 △ s,△ r，△ z。
求解步骤：
I、将单位铅直面上的力向斜面投影成正交和相切的力
V
MzH
1
Δ r θ z
Δ s
Mzcos φ
1/cos
φ
Hcos φ
V
φ
H
Mz
φ
Mzsin φ
φ
Hsin
Mzsin φ cos φ
Mzcos φ2
Vcos φ Hcos φ2
Hsin φ cos φ
Ⅱ,求斜面单
位宽度上力的
大小，即：
Ⅲ,求斜面上的变位
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
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?
?
0
c o ss i nH
c o ss i nMz
c o sV
c o sH
c o sMz
'"
"'
'
'"
'
"'
'r
's
'z
'
'z
's
2
2
Ⅳ,将基表面上的变位向铅直面投影：
θ s'
θ z'
Δ z'
Δ r'
θ z
Δ s'sin φ
Δ s'
Δ z'
φ
Δ s'
Δ s'
Δ r
φ
φ)co s'co ss i n'(
H
)co sH'co ss i nH'(
)co s'zs i n'S(S
32
32
?????????
???
?????????
????????
VMzc o sV'c o sMz"'rr 22 ?????????????
???? 22 c o s"
???? c os'
φ
θ s'cos φ
φ
θ z'sin φ
????????
????
??????????
???????
32
2z
23
z
2
z
c o s'c o ss i n'
VM
c o sV"c o sM'c o ss i nM'
c o s'ss i n'zz
③ 两岸倾斜时梁底变位的求解：
计算方法和步骤同拱端，详细推导自己做，结果书上有。
三）纯拱法：
? （ 一 ） 概述
? 1) 假定：
? ① 拱坝由相互独立的拱圈组成 。
? ② 一般只考虑径向荷载和温度荷载, 荷载全部由拱承担 。
? ③ 沿坝高均匀地取 5～ 7层单独高度的拱圈
? 按弹性固端拱计算内力及应力, 作为整个拱坝的代表 。
? 2) 区别：
? 此处所讲的拱与结力中所讲的拱的区别在于：
? ① 由于 V,H较大, 要考虑其对变形的影响 。
? ② 考虑地基变形影响, 考虑方法按由伏格特法 。
? 3) 优点：
? 计算简便, 概念明确, 同时也是拱梁法的基础 。
? 4) 缺点：
? 只能计算坝体的三个内力, 不合实际 。
? 5) 适于：
? 狭窄河谷的薄拱坝, 分层砌筑的砌石拱坝 。
? 6) 具体作法：
? ① 按基本公式求解内力, 变形及应力 。
? ② 按简约法查表求解内力, 变形及应力 。
7) 符号规定：
? 见 P164 图 4－ 25
? ① 内力：
? a,轴力：受压为正
? b,剪力,左半拱：使脱离体逆时针旋转为正
? 右半拱：使脱离体顺时针旋转为正
? c,弯矩：以拱下游面受拉为正
? ② 变位：
? a,径向：向上游
? b,切向：向左岸为正
? c,转角：逆时针转
? ③ 坐标系
? x:指向右岸
? y:指向下游
? θ,以 y轴为界反时针为正, 顺时针为负
④ 静定内力：即在基本结构上作用外
荷时产生的内力的方向
ML：上游面受拉为正
HL：受压为正
VL：与 V相反
ML
HL
VL
（二）基本公式法：
? 结力弹性固端拱求解方法：
? 在我们这里：由于要考虑地基变形及 H,V的
影响，弹性中心不易求得，而位移法在此也
有一定的限制。同时考虑到本公式的通用性，
选用最基本的力法求解。
?
?
?
位移法
弹性中心法力法：
②
—①
结力力法求解步骤为：
? 去约束成静定结构, 加超静定力, 求超
静定力对它的变位, 利用变位协调求超
静定力 。 具体到我们这里则为：
? 1,取基本结构, 设想在任意截面处切
开, 将拱圈分成左, 右半静定拱, 切开
处用超静定力 M0,H0,V0代替 。
2、求静定结构的内力：
N0
V0
结构：悬臂曲梁
荷载：
?
?
?
?
?
温度荷载
，，超静定力：
外荷载
000 VHM
以左半拱为例 H0
ψ
ψ
yHM
s inHV
c o sHH
0
0
0
?
??
??
ψ
ψ
xVM
c o sVV
s inVH
0
0
0
?
??
???
0VH
0MM
??
?
0VHM ???
温荷
⑤ 外荷载产生的静定内力 ML,HL,VL
以圆弧拱受均匀荷载 P为例：
ψ
r
Rn
?
?
?
?
?
?????
????
??????
s i nPRVV
)c o s1(PRHH
)c o s1(rPRMM
nL
nL
nL
则内力为①～⑤项之和，因此有：
?
?
?
?
?
????
?????
????
L00
L00
L000
Hc o sVs i nHV
Hs i nVc o sHH
MxVyHMM
＝
同理，可以求出右半拱的内力。
3) 求切开处的变位：
静定结构变位的求解方法有很多，在我们这里采用以虚功
原理为基础的单位荷载法来讲：
求任意一点任何方向的位移，可在该点施加单位力，该单
位力产生的内力为
则位移为：
KAAAKKAAkp
kpkp
kp NSQMQdsGA
QkQds
EA
NNds
EI
MM ?????????? ?? ?’
kkk N,Q,M
如以左半拱为例求转角 ∠ θ 0
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
0QN
1M
0NQ
1M
KAKA
KA
KK
K
代入上式则得：
10101010
L2LA
L
1
A2A1
A2A1
１
2LA0A0
LA00
L000
2AA
L000
A
D-VCHBMA
VMds
EI
M
D
c o sx
EI
x d s
C
s i ny
EI
y d s
＝Ｂ
EI
ds
Ａ
)Vc o sVs i n(H
)MyHM(ds
EI
M
ds
EI
xV
ds
EI
yH
ds
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M
VMds
EI
MxVyHM
ds
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M
?????????
???????
???????
??????
????
???????
?????????
????
???
?
?????
?
?
?
?
????
?
?
则
令：
＝
同时可以求出左半拱的切向和径向变位为：
?
?
?
???????????
???????????
30203010
20202010
DVBHBMBS
DVCHBMC
采用相同的办法也可以求出右半拱的三个变位为：
?
?
?
?
?
?????
??????
???????
30203010
20202010
10101010
RDVRBHRBMRBSR
RDVRCHRBMRCR
RDVRCHRBMRAR
4) 列变位一致方程，即：
?
?
?
?
?
????
??????
??????
00
00
00
SRS
R
R
5) 解方程, 则可求超静定力 M0,H0,V0
如果拱圈形状左右对称，则有 C1=0,B2=0，
则超静定力为：
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
0
2
131
1131
0
2
131
1331
0
C
D
V
BBA
DBDA
H
BBA
BDBD
M
如果荷载也对称，
则有 D2=0
6) 求任一截面的内力
将 M0,H0,V0代入前面所推的公式，
则可以求出任一截面的内力。
7) 求任一截面的应力：
一般：采用偏心受压公式：
2T
M6
T
H ???
对厚拱，即：
3
1
0R
T ?
时，应考虑曲率的影响，其公式见书上 (4－ 23)式。
至此，拱圈的变形、内力、应力便已求得。
四．拱梁法的基本原理
1） 拱坝微元体的受力情况,两个面,12个内力
2） 拱坝中一个空间点的变位,6个
3）拱梁法的力学基础。
（ 1）如图所示一拱坝。
从中取出一个薄片即拱
的脱离体出来。在该脱
离体上施加原荷载以及
切割面上用力代替。则
可以得到图示的隔离体
在切割面上的力及外荷
载的共同作用下，按弹
性固端拱计算该脱离体
的内力、变形。显然只
要内力施加正确，显然
正确。将外荷载与切割
面上的力合成，则叫拱
荷载 {Pa}。
(2)同理如上从拱坝中
切出一梁的隔离体。在
该隔离体施加外力，以
及切割面上的内力。按
弹性固端梁计算该梁。
显然也可以解得真实的
内力及变形。将外荷载
与切割面上的力合成，
则为该梁承担的荷载
{Pb}。
（ 3）共轭点变位一致
? 按前述两种方法, 都可以求得相交点的真实变位 。 既
然是真实变位, 由于他们是空间中的同一个点, 因此
二者必然一致 。
? 反过来，如果将拱坝分割成拱梁系统，并在各种
切割面上施加某种内力系。调整这些内力系使拱及梁
两套系统在外荷载及内力系作用下，共轭点变位一致。
根据弹性力学中唯一解原理可知，其所加的内力系一
定代表切割面上真正应力的影响。所求出的拱梁应力
及变位就是拱坝的真实解答。
? （ 4） 因此试载法的基本原理是：
? 以独立的拱或梁所受的合成荷载为未知数，沿着
拱梁两种不同的途径求同一点的变位，再根据变位一
致条件，求解荷载分配，然后分别求拱梁应力等。
4）拱梁法具体实施有两种途径：
试载法
解方程法。
两种方法首先均是划分拱梁系统。
一般常用 7拱 13梁，对于对称拱坝可只取一半计算。
试载法
人为将荷载分为拱荷和梁荷。分别计算拱梁共轭点
处的变位。检查共轭点变位是否一致。如不一致，调整
荷载，直至基本一致为止。
解方程法
以梁荷或拱荷为未知量，分别按拱梁系统将拱梁共轭
点的变位用未知数表示出来，然后由变位一致条件解出
未知数。
5）变位一致有主次
（！）内力的主次
如前所述空间点有 12个内力。但对拱坝最重要的只有 6
个。即：
扭矩可以合并
Vz.Qs.二个 Mr一般较小。
（ 2）变位的主次
在 6个变位中以 Δ r最大，其次是 Δ s,θ s,θ z。
Δ Z,θ r一般较小。
（ 3）变位一致的个数
? a,全调整 。
– 因一点有 6个变位 。 因此在拱或梁中也有 6种荷
载 。 在一点应有 6个未知数 。 且通过 6个变位一致解
出 6个未知数 。 这就是所谓的 6向全调整 。
? b,三向调整法
– 在 6个变位中, △ r,Δ s,θ z,θ s是主要的, θ r，
Δ z是次要的 。 因此可以忽略 θ r,Δ z方向的变位
一致 。 同时在壳体中, θ z,θ s具有一定的关系,
不是独立的 。 因此 θ s可用 θ z表示 。 这样, 在进行
变位调整时, 就只需要 3个参数,△ r,Δ s,θ z。
即三向调整法 。
? C,四向, 五向调整法等 。
